编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 共轭复数易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）设复数，若，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．不能确定大小
【标准答案】B
【思路指引】
利用复数的四则运算化简、，然后利用作差法可得出、的大小关系.
【详解详析】
，，
，则，故.
故选：B.
2．（2021·上海·高一课时练习）设、、.下列命题中，假命题的个数为（ ）
①；
②若，则；
③
④若，则；
⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
对于①，设 ,则，根据复数模的运算即可判断①正确;对于②，根据复数的性质：即可判断出②正确；对于③，根据复数模的性质，复数积商的模等于复数模的积商即可判断出③正确；对于④，举反例令，即可判断出④不正确；对于⑤，举反例令，即可判断出⑤不正确；
【详解详析】
对于①，设 ,则
因为 , 所以， 所以①正确;
对于②，根据复数的性质：，则，所以②正确；
对于③，根据复数模的性质，复数积商的模等于复数模的积商，，所以③正确；
对于④，令，则有，但不成立，所以④不正确；
对于⑤，令，显然不成立，所以⑤不正确；
则假命题的个数为2个，
故选：B.
3．（2021·上海·高一课时练习）若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（ ）
A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
【标准答案】D
【思路指引】
根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.
【详解详析】
因为(z-1)i=1+i，所以，
所以.
故选：D.
4．（2021·上海·高一课时练习）已知，其中i为虚数单位，a，b为实数，则复数z=ab+(a﹣b)i的共轭复数为（ ）
A．﹣2+3i B．2+3i C．2﹣3i D．﹣2﹣3i
【标准答案】D
【思路指引】
根据复数的除法运算法则以及复数相等的条件求解出的值，然后根据共轭复数的概念求解出.
【详解详析】
解：因为，所以，
所以，所以，
故选：D.
5．（2021·上海·高一课时练习）设复数z的共轭复数是，i是虚数单位，若复数，，且是实数，则实数t等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
利用共轭复数、复数的乘法运算法则，是实数，虚部为0求解即可.
【详解详析】
解：，，
.
又.
，
.
故选：A.
【名师指路】
本题考查复数的基本知识，复数概念的应用，属于基础题.
6．（2021·上海·高一课时练习）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
【标准答案】D
【思路指引】
利用复数的除法运算，化简，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.
【详解详析】
，
的共扼复数为，的虚部为，
，在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：D.
【名师指路】
本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
7．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据复数的乘方运算和复数的除法运算求得，再由共轭复数的概念可得选项.
【详解详析】
解：因为 ，所以，
故，
故选：D
【名师指路】
结论点睛：求解复数的运算问题时要牢记复数的相关运算技巧和结论：，，，，，，．
8．（2021·上海·高一月考）、是复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
举反例，可判断选项A、B，举反例，可判断选项C，设，，分别计算、即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解详析】
对于选项A：取，，，，
满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取，，，
而无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确；
对于选项D：设，，则
，
，，所以，所以，故选项D正确.
故选：D.
9．（2021·上海·高一课时练习）复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由已知得到向量对应复数，并求出的模，再表示成的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在范围的辐角主值．
【详解详析】
因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为，
，，则的幅角主值为
即对应复数的幅角主值为
故选：D
【名师指路】
方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．
10．（2021·上海·高一课时练习）设的共轭复数是，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
设，根据已知条件分别求出、，结合复数运算法则即可得到.
【详解详析】
设，则，
由，，得，即，
当 时，；
当时，.
综上，.
故选：D.
二、填空题
11．（2021·上海·高一月考）有下列4个命题：
①若是复数，且，则；
②若，则；
③若，则是实数；
④若分别对应点A、B（O为坐标原点）且，则，
上述命题中正确的是_________________．（写出所有正确命题的序号）
【标准答案】②③④
【思路指引】
利用复数的四则运算以及复数模的运算逐一判断即可.
【详解详析】
①，若取，，此时，①不正确；
②，设，，
，故，②正确；
③，设，，
则，，
所以
，所以是实数.
④，设，，
由复数的几何意义可得，
且，即
，
，
所以，即，④正确.
故答案为：②③④
12．（2021·上海·高一月考）以满足复数在复平面上对应的点为顶点，构成一个对称实轴的多边形，它的面积等于______________．
【标准答案】
【思路指引】
利用复数的乘法运算以及共轭复数可得复数在复平面上对应的点，进而求出面积.
【详解详析】
设，
则，，
解得或或，
而，所以满足复数在复平面上对应的点为顶点
的多边形是以为顶点的三角形，
它的面积.
故答案为：
13．（2021·上海交大附中高一期末）设复数，则的共轭复数的虚部是______．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，计算出复数的代数形式，即可求解.
【详解详析】
因,
所以，因此的共轭复数的虚部是.
故答案为：.
14．（2021·上海·高一单元测试）定义运算，则符合条件（是虚数单位）的复数的共轭复数对应的点在第________象限．
【标准答案】二
【思路指引】
由已知的定义化简求出复数，从而可得其共轭复数，进而可得答案
【详解详析】
，得，
则，则复数对应的点在第二象限．
故答案为：二
15．（2021·上海市曹杨中学高一月考）设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则______．
【标准答案】
【思路指引】
先求得，然后化简求得所求表达式的值.
【详解详析】
，
.
故答案为：
16．（2021·上海·高一月考）设复数虚数单位),的共轭复数为，则________.
【标准答案】
【详解详析】
分析：由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.
详解：因为，所以，
，故答案为.
点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意和
17．（2021·上海·高一课时练习）设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.
【标准答案】4.
【思路指引】
求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.
【详解详析】
，因为方程有两个虚根，所以.
又原方程可化为，故两虚根为，
两个虚根为共轭复数，
故，故，填.
【名师指路】
对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.
18．（2021·上海·高一单元测试）已知，则___________.
【标准答案】
【思路指引】
由，结合已知可得，再由即可求.
【详解详析】
，
∵，，
∴，
而，
∴，即.
故答案为：
19．（2021·上海·高一课时练习）已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____．
【标准答案】
【思路指引】
由于方程为实系数方程，故，互为共轭复数，根据，可得，进而结合韦达定理，构造关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解详析】
解：由题意，，互为共轭虚根，
则，，
，
由，得，，
因为时，，不合题意，所以．
故答案为：．
20．（2021·上海中学高一期末）已知，方程的解为___________．
【标准答案】或
【思路指引】
两边取共轭复数后可得方程组，得到，再将代入方程得到关于复数z的方程，因式分解从而求得复数z.
【详解详析】
两边取共轭复数后可得方程组：，
②①得，把代入②得：，
即，
∴或.
故答案为：或.
三、解答题
21．（2021·上海·高一月考）已知复数满足，其中为虚数单位，， 若<，求的取值范围．
【标准答案】
【思路指引】
由题意得，于是，由此能求出的取值范围．
【详解详析】
由题意得，
于是，
因为，<，
所以，
得，
解得．
所以的取值范围为.
22．（2021·上海·高一课时练习）设虚数、满足．
（1）若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、．
（2）若，，的辐角主值为，求的取值范围．
【标准答案】（1），或，；（2）．
【思路指引】
（1）由题意可得，设，则，再由，可得从而可求出的值，进而可得、；
（2）由，可得，则，所以，从而可求出的范围，进而可得的取值范围
【详解详析】
（1）∵、是实系数一元二次方程的两个根，
∴．设，则．
又∵，∴，
∴解得
∴，或，．
（2）∵，∴，
∴．
∴．
∵，∴，∴．
又∵，，∴，
即的取值范围是．
23．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，且，求的值.
【标准答案】
【思路指引】
由题设易得、、，进而可知，即可求的值.
【详解详析】
，即，同理.
由得：，即，
∴，故.
24．（2021·上海·高一课时练习）已知复数z满足，且是纯虚数.
（1）求的值；
（2）求z的辐角主值.
【标准答案】（1）；（2）答案见解析.
【思路指引】
（1）由复数乘法法则和共轭复数的性质计算．
（2）由是纯虚数.得，化简变形为得，结合（1）解方程可得．
【详解详析】
（1）由得.
因为，所以，所以；
（2）由是纯虚数得，
所以，
所以
所以，所以.
于是z，是方程的两根，解得，
所以
当时，z的辐角主值为；
当时，z的辐角主值为
25．（2021·上海·高一单元测试）设复数，满足．
（1）若，满足，求，；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值；
（3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1），或，；（2）或；（3）存在常数满足条件，．
【思路指引】
（1）先设，代入运算即可；
（2）由题意可设，则，代入运算即可；
（3）设，则，代入运算即可
【详解详析】
（1）设，由得到，
，
，
，
，
解得或，
故或；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，
则
设，则
由题意得，，
解得或，
故或；
（3）设，则，
由得，
，
故.
26．（2021·上海师大附中高一期末）已知，且，若．
（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；
（2）求．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）根据复数的三角形式的概念即可直接求出结果；
（2）根据复数相等的条件求出，然后结合复数运算法则求出，进而利用模长公式即可求解.
【详解详析】
（1）因为，
所以；
（2）设，又因为，，，
则，即，所以，
故，
则.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 共轭复数易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）设复数，若，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．不能确定大小
2．（2021·上海·高一课时练习）设、、.下列命题中，假命题的个数为（ ）
①；
②若，则；
③
④若，则；
⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
3．（2021·上海·高一课时练习）若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（ ）
A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
4．（2021·上海·高一课时练习）已知，其中i为虚数单位，a，b为实数，则复数z=ab+(a﹣b)i的共轭复数为（ ）
A．﹣2+3i B．2+3i C．2﹣3i D．﹣2﹣3i
5．（2021·上海·高一课时练习）设复数z的共轭复数是，i是虚数单位，若复数，，且是实数，则实数t等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海·高一课时练习）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
7．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海·高一月考）、是复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
9．（2021·上海·高一课时练习）复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·上海·高一课时练习）设的共轭复数是，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海·高一月考）有下列4个命题：
①若是复数，且，则；
②若，则；
③若，则是实数；
④若分别对应点A、B（O为坐标原点）且，则，
上述命题中正确的是_________________．（写出所有正确命题的序号）
12．（2021·上海·高一月考）以满足复数在复平面上对应的点为顶点，构成一个对称实轴的多边形，它的面积等于______________．
13．（2021·上海交大附中高一期末）设复数，则的共轭复数的虚部是______．
14．（2021·上海·高一单元测试）定义运算，则符合条件（是虚数单位）的复数的共轭复数对应的点在第________象限．
15．（2021·上海市曹杨中学高一月考）设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则______．
16．（2021·上海·高一月考）设复数虚数单位),的共轭复数为，则________.
17．（2021·上海·高一课时练习）设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.
18．（2021·上海·高一单元测试）已知，则___________.
19．（2021·上海·高一课时练习）已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____．
20．（2021·上海中学高一期末）已知，方程的解为___________．
三、解答题
21．（2021·上海·高一月考）已知复数满足，其中为虚数单位，， 若<，求的取值范围．
22．（2021·上海·高一课时练习）设虚数、满足．
（1）若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、．
（2）若，，的辐角主值为，求的取值范围．
23．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，且，求的值.
24．（2021·上海·高一课时练习）已知复数z满足，且是纯虚数.
（1）求的值；
（2）求z的辐角主值.
25．（2021·上海·高一单元测试）设复数，满足．
（1）若，满足，求，；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值；
（3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
26．（2021·上海师大附中高一期末）已知，且，若．
（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；
（2）求．
