编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 复数的综合运算专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）已知，是虚数单位，，则可取的值为
A．1 B．-1 C．1或-1 D．任意实数
2．（2021·上海·高一课时练习）（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海·高一课时练习）若复数，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
4．（2021·上海·高一课时练习）设，方程的根有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·上海·高一课时练习）复数等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·上海·高一单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2021·上海·高一课时练习）已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2021·上海青浦·一模）已知均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若则为实数 B．若，则为纯虚数
C．若，则为纯虚数 D．若，则
9．（2021·上海·高一月考）当时，（ ）
A．1 B．-1 C． D．
10．（2021·上海市南洋模范中学高二期末）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：
①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；
②存在、，使得该方程最多有个互不相等的根．
其中正确的是（ ）．
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）若是实系数方程的一个虚根，且，则_________．
12．（2021·上海·高一课时练习）的所有能取到的值构成的集合为_____________.
13．（2021·上海普陀·模拟预测）已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.
14．（2021·上海·高一课时练习）______（用代数形式表示）.
15．（2021·上海·高一课时练习）______.
16．（2021·上海·位育中学高三开学考试）若复数满足(其中为虚数单位)，则的虚部是___________.
17．（2021·上海·高一课时练习）若z=1+i，则______________.
18．（2021·上海市建平中学高二期末）已知方程有两个虚根，则的取值范围是________
19．（2021·上海·高一课时练习）计算：_______________.
20．（2021·上海·高一单元测试）复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________.
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）复数满足，且．求．
22．（2021·上海·高一月考）方程的两个虚根为，，且，求实数的范围．
23．（2021·上海·高一课时练习）已知复数满足：，求的值．
24．（2021·上海·曹杨二中高二月考）为虚数单位，且是纯虚数，
（1）求的取值范围；
（2）若，，，求的最小值.
25．（2021·上海·高一课时练习）是实系数一元二次方程的两个虚根，且是实数，求的值．
26．（2021·上海·高一课时练习）已知关于的方程（）的两根为，且，求实数的值.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 复数的综合运算专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）已知，是虚数单位，，则可取的值为
A．1 B．-1 C．1或-1 D．任意实数
【标准答案】C
【思路指引】
首先根据复数的除法运算求出，然后再根据复数相等，可得，据此即可求出结果.
【详解详析】
由于，
所以，
所以 或 ，
所以可取的值为1或-1，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查复数的基本运算和相关性质，熟练掌握运算公式和相关性质是解题的关键．
2．（2021·上海·高一课时练习）（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出 再整理为 的形式.
【详解详析】
.
故选：C
【名师指路】
本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．（2021·上海·高一课时练习）若复数，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【标准答案】D
【思路指引】
分别推导充分性与必要性判定即可.
【详解详析】
因为都是复数,复数成立,则是非零复数,
此时当时,表明两复数是一对共轭复数,故,,
能得出成立；
反之,若成立,则可以是正实数,故不一定得出.
故可得出是成立的必要不充分条件.
故选：D.
【名师指路】
本题主要考查了复数及其模长的辨析,需要找到特例或者根据复数的性质证明.属于基础题.
4．（2021·上海·高一课时练习）设，方程的根有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
将表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解.
【详解详析】
设，代入方程得 解得或，所以方程的根有3个.
故答案选：C
【名师指路】
本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.
5．（2021·上海·高一课时练习）复数等于（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由复数的三角形式得， ，代入运算可得选项.
【详解详析】
解：，故，
=，故，
所以
.
故选：B.
【名师指路】
本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.
6．（2021·上海·高一单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【标准答案】B
【思路指引】
根据复数的性质有可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数可判断③的正误.
【详解详析】
①由，则是的一个平方根，正确；
②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误；
③如果，当时，当时不一定，错误；
故正确命题为1个.
故选：B
7．（2021·上海·高一课时练习）已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积
【详解详析】
解：方程的根为，
即，，
所以，
所以，，
，
所以，
所以，
故选：B
8．（2021·上海青浦·一模）已知均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若则为实数 B．若，则为纯虚数
C．若，则为纯虚数 D．若，则
【标准答案】C
【思路指引】
设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.
【详解详析】
由题意，设复数，
对于A中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A正确；
对于B中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是正确的；
对于C中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确；
对于D中，由，可得，即，解得或，
所以，所以是正确的.
故选C.
【名师指路】
本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．（2021·上海·高一月考）当时，（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据的结构特点，先由，得到，再代入求解.
【详解详析】
因为
所以
所以 ，
所，
故选：D
【名师指路】
本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.
10．（2021·上海市南洋模范中学高二期末）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：
①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；
②存在、，使得该方程最多有个互不相等的根．
其中正确的是（ ）．
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
【标准答案】A
【思路指引】
取可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.
【详解详析】
解：令，为正实数，则存在两个共轭的虚根，如，则存在两个共轭虚根，，故①正确；
若为实数，则方程可看做，只需保证有两个正解即可，此时方程有四个实根；若为虚数，则设， 有，等价于，所以，又为虚数，所以，则有，即，，即最多有两个根，所以方程最多有6个解.
只需即可，如，方程有四个实根，有 两个虚根.故②正确；
故选：A.
【名师指路】
本题考查复数范围内求解，属于中档题.
易错点睛：（1）根为复数时，设，代入计算，可得；
（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）若是实系数方程的一个虚根，且，则_________．
【标准答案】4
【详解详析】
设,则方程的另一个根为,且，
由韦达定理直线
所以
12．（2021·上海·高一课时练习）的所有能取到的值构成的集合为_____________.
【标准答案】
【思路指引】
将变形为，化简后对进行奇偶讨论即可．
【详解详析】
，
当为奇数时，；
当为偶数时，．
故答案为．
【名师指路】
本题考查复数的乘方运算，注意对进行奇偶讨论，是基础题．
13．（2021·上海普陀·模拟预测）已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.
【标准答案】1
【思路指引】
先由复数除法求得，然后再计算．
【详解详析】
，
∴．
故答案为：1
【名师指路】
本题考查复数的运算，掌握复数四则运算法则是解题基础．本题还考查了共轭复数的概念．
14．（2021·上海·高一课时练习）______（用代数形式表示）.
【标准答案】
【思路指引】
先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出 再整理为 的形式.
【详解详析】
解析
.
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．（2021·上海·高一课时练习）______.
【标准答案】
【思路指引】
先将6转化三角形式，再用复数的除法求解.
【详解详析】
.
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．（2021·上海·位育中学高三开学考试）若复数满足(其中为虚数单位)，则的虚部是___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据复数的运算法则，化简，即可求解.
【详解详析】
由题意，复数满足，
可得，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
17．（2021·上海·高一课时练习）若z=1+i，则______________.
【标准答案】
【思路指引】
利用复数的四则运算以及模长公式求解即可．
【详解详析】
，则
故答案为：
18．（2021·上海市建平中学高二期末）已知方程有两个虚根，则的取值范围是________
【标准答案】
【详解详析】
因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.
19．（2021·上海·高一课时练习）计算：_______________.
【标准答案】
【思路指引】
由于次数比较高，先利用的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.
【详解详析】
.
故答案为：
【名师指路】
本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.
20．（2021·上海·高一单元测试）复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________.
【标准答案】①②③
【思路指引】
①根据平面向量加法交换律判定；
②结合平面向量加法运算法则判定；
③由判定；
④结合平面向量数量积判定；
⑤结合平面向量数量积判定.
【详解详析】
解：①成立，故①正确；
②由平面向量加法运算法则可得，故②正确；
③成立，故③正确；
④，故④不成立，
⑤若非零向量，满足，
则，则，
所以不一定成立，故⑤不成立.
故答案为：①②③
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）复数满足，且．求．
【标准答案】或
【思路指引】
由题意可知设复数,计算出,,,代入中可得可求得复数.
【详解详析】
由题意可知：,则,,,
∴,
∴,即，
若，则，由得，所以，
若，则，得，
∴或.
【名师指路】
本题考查复数的计算，关键在于设出复数的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.
22．（2021·上海·高一月考）方程的两个虚根为，，且，求实数的范围．
【标准答案】
【思路指引】
设，则．根据韦达定理可得，再根据模长公式化简不等式可得，由可得答案.
【详解详析】
设，则．
因为方程有虚根，，所以，解得，
根据韦达定理得，∴，即，
因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，
∴．
∴.
【名师指路】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.
23．（2021·上海·高一课时练习）已知复数满足：，求的值．
【标准答案】
【思路指引】
先根据复数相等解得，再根据复数运算法则求解
【详解详析】
设，而
即
则
所以
【名师指路】
本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
24．（2021·上海·曹杨二中高二月考）为虚数单位，且是纯虚数，
（1）求的取值范围；
（2）若，，，求的最小值.
【标准答案】（1）；（2）最小值为.
【思路指引】
（1）先利用是纯虚数得到或，再分两种情况讨论即可得出结果；（2）由（1）及可得，分别求出复数，代入，利用基本不等式求解即可.
【详解详析】
（1），
因为为纯虚数，
所以且，
所以或，
当时，
，
当时，
，，
所以，
综上：.
（2）由（1）或，又，
所以，，
，，
由题意知，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
【名师指路】
关键点睛：本题考查有关复数的问题以及基本不等式求最值问题.熟练掌握复数运算法则以及模的求法是解决本题的关键.
25．（2021·上海·高一课时练习）是实系数一元二次方程的两个虚根，且是实数，求的值．
【标准答案】
【思路指引】
利用实系数二次方程的两个虚根互为共轭的性质，结合是实数，利用共轭复数的运算性质将分母实数化，可以得到，再结合是虚数，利用1的立方根的性质，可以得到或，进而通过复数的运算求得.
【详解详析】
．
或，其中，
从而可得．
或，
∴.
【名师指路】
本题考查实系数一元二次方程的虚根互为共轭，考查共轭复数的性质和运算，关键是1的立方虚根的性质与应用，一般的一个虚数的立方根为实数，设这个数,则,则,于是可设或.
26．（2021·上海·高一课时练习）已知关于的方程（）的两根为，且，求实数的值.
【标准答案】或
【思路指引】
分与两种情况分类讨论，当时，由根与系数关系求解，当时，设，则，根据根与系数关系求解.
【详解详析】
①当即时，
由可知两根都是非负实根，
；
②当即时，此时方程两根为共轭虚根，
设，则，
；
综上，或.
【名师指路】
本题主要考查了实系数的一元二次方程的解法，分类讨论的思想，属于中档题.
