编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题06 实系数一元二次方程难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根
C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根
【标准答案】D
【思路指引】
设方程的根为，带入方程利用复数相等解出，可判断根的情况.
【详解详析】
解：设方程的根为，则有，
即，即 ，解得：，所以方程的根为或.
故选：D.
2．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为，则这个方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由实系数一元二次方程虚根的性质可得，，再由韦达定理即可得解.
【详解详析】
由题意，该方程的一个根为，
则该方程的另一个根，
由，可得方程可以为.
故选：A.
3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【标准答案】A
【思路指引】
先根据题意写出点，再计算三边边长，判断，即得结果.
【详解详析】
依题意，复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则，
故|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，即，是直角三角形.
故选：A．
4．满足+=2n的最小自然数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
由复数的乘方与除法则化简后然后代入值验证．
【详解详析】
因为，，
所以
，
时，原式＝，
时，原式＝，
时，原式＝，满足题意．
故选：C．
5．已知方程有实根，且，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【详解详析】
由是方程的根可得,
整理可得：，
所以，解得，所以，故选A.
6．已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【标准答案】A
【思路指引】
关于的实系数方程两个虚根为，，所以，可得，
利用根与系数的关系可得，设，则，根据，可得可求得答案.
【详解详析】
关于的实系数方程两个虚根为，，
，所以
设
所以
，即，即
由，即，解得或.
又，，则，所以
所以
故选：A
【名师指路】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
7．方程在复数集中的解有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【标准答案】C
【思路指引】
设，代入方程，化简后按或进行分类讨论，由此求得方程的解，进而得出正确选项.
【详解详析】
设，代入方程得，
化简得①，
所以或，
当时，由①得，
即，
对应的复数为.
当时，由①得，解得或，
对应的复数为、.
综上所述，共有个解.
故选：C
【名师指路】
本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题.
8．设，若，则可以取（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【标准答案】C
【思路指引】
由，可得，从而可得，，再结合选项验证即可.
【详解详析】
因为，所以，
，，
，不合题意；
，不合题意；
，符合题意；
，不合题意；
故选：C.
9．复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意，表示出复数在复平面上对应的点的坐标，分别讨论横纵坐标的取值范围，即可得到正确选项.
【详解详析】
根据题意可知，复数的实部，虚部.
当时，，，故点可能在一、四象限；
当时，，，故点在第三象限.
综上，复数在复平面上对应的点不可能位于第二象限.
故选：B.
10．已知方程有两个虚根，若，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由于是虚根，所以方程判别式小于0，且是一对共轭复数，因此可以通过设出复数，通过韦达定理代入条件解出参数
【详解详析】
由已知方程有两个虚根，因此方程判别式小于0，即.,
设由韦达定理可知
所以, 即
, 即, 所以
所以
故答案为：C
二、填空题
11．设复数，满足，，则=_______.
【标准答案】4000
【详解详析】
由得,
所以
，
因此
12．设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数_______________.
【标准答案】
【思路指引】
由题意，可设α＝a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a﹣bi，且m与n为实数，b≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，由α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值
【详解详析】
设α＝a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．
由根与系数的关系可得α+β＝2a＝﹣2，α β＝a2+b2＝m．
∴m＞0．
∴a＝﹣1，m＝b2+1，
∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，
∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2＝1，所以m＝1+1＝2；，
故答案为2
【名师指路】
本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．
13．设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______．
【标准答案】-2
【思路指引】
设（s，，）．则．则，．利用是实数，可得．于是，．，取，则，．代入化简即可得出．
【详解详析】
设（s，，）．则．
则，．
∵是实数，
∴，
∴．
∴，．
∴，
∴，
取，
则，
∴．
则
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质，属于中档题.
14．已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是________．
【标准答案】
【思路指引】
确定复数对应点在第一象限，旋转后在轴的正半轴上，计算复数模得到答案.
【详解详析】
，对应的点为在第一象限，
逆时针旋转最小正角时，对应的点在轴的正半轴上，，故纯虚数为.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
15．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.
【标准答案】
【思路指引】
设，利用列方程组，解方程组求得题目所求两个数.
【详解详析】
设，依题意有，
即，所以.将代入，得；将代入，解得；将代入，得，结合解得或.所以对应的数为、.
故答案为：
【名师指路】
本小题主要考查复数运算，属于中档题.
16．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为____________.
【标准答案】1
【思路指引】
复数满足为虚数单位），设，，．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．
【详解详析】
解：复数满足为虚数单位），
设，，．
则，当且仅当时取等号．
故答案为：1．
【名师指路】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．设复数z，满足，，，则____________．
【标准答案】
【思路指引】
根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.
【详解详析】
设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故答案为：.
【名师指路】
结论点睛：复数的几何意义：
（1）复数复平面内的点；
（2）复数 平面向量.
18．设，则下列命题中为真命题的序号是___________.
①若，则；
②的充要条件为；
③复数为实数的充要条件为；
④若，则为纯虚数.
【标准答案】③
【思路指引】
利用实数可以比较大小，复数不能比较大小判断①；举反例判断结合充分，必要条件的定义可判断②；根据充分，必要条件的定义可判断③；举反例说明④.
【详解详析】
对于①，实数可以比较大小，但复数不能比较大小，为实数，但与不一定为实数，如，，故①错误；
对于②，当，时，，故为的充分不必要条件，故②错误；；
对于③，设复数，若为实数，则；若，即，得；所以复数为实数的充要条件为，故③正确；
对于④，若，则为实数，故④错误.
故答案为：③
【名师指路】
思路点睛：本题考查命题真假的判定，充分必要条件的判定，复数的相关概念，解决复数的相关问题，可以设复数，再结合题目条件判断，属于基础题.
19．已知，，若复数z满足条件，则______.
【标准答案】
【思路指引】
先根据题意，求出，再结合复数运算法则即可求解.
【详解详析】
由，得，
因，所以.
故答案为：.
20．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
【标准答案】或
【思路指引】
设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值.
【详解详析】
解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，
设方程的两根分别为，，
则，得，，则，
则，
则或
当时，，
，
设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则，
则，得，
则，
当时，，，
，
此时，即，即，
∴，
故答案为：或.
三、解答题
21．是否存在实数，使得关于的一元二次方程的两个根在复平面上对应的向量的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】存在，．
【思路指引】
设方程的根，由向量的夹角可得，再由韦达定理可得运算即可得解.
【详解详析】
∵方程的两个根在复平面上对应的向量的夹角为，
∴方程的两个根为虚根，，解得．
设这两个根为，，
它们在复平面上对应的向量分别为，，
因为，所以．即，
又，，
由得，
∴存在满足条件的实数，．
22．设，已知，，，求的值.
【标准答案】
【思路指引】
利用复数的模的运算的性质进行转化，把复数的模转化为复数与其共轭复数的积，然后计算．
【详解详析】
同理，
所以，
故，.
【名师指路】
结论点睛：本题考查复数的模的运算，解题关键是把模转化为复数与其共轭复数的积．
，．
23．关于的方程的两根为，且，求实数的值.
【标准答案】或
【思路指引】
由于题目没有说明，所以可能为复数根.判断出.利用判别式进行分类讨论，结合根与系数关系列方程，解方程求得实数的值.
【详解详析】
依题意可能为复数根，
且，.
①当时，，
解得，（满足，另一个根不满足，舍去）.
②当时，虚根成对并且互为共轭复数，
所以，，
解得，（满足，另一个根不满足，舍去）；
综上或.
24．设为方程，（）的两个根，，
（1）求的解析式；
（2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值.
【标准答案】（1）；（2）定值为，证明见解析.
【思路指引】
（1）根据判别式讨论，根与系数之间的关系即可求解.
（2）作出函数图象，证出函数的图象关于直线对称，根据图象以及对称性即可求解.
【详解详析】
（1），
若，即时，
为方程，（）的两个根，
则，
由根与系数的关系，得，，
因此，
当时，，
当时，，
当，即时，
方程的根为共轭复数，，
综上可得，；
（2）作出的图象，如图：
当，函数关于直线对称，
当时，点关于直线对称点为，
由于，即
所以函数的图象关于直线对称
当时，为增函数，且；
当时，为减函数，且.
所以当，方程在区间上有唯一解，
在区间上也有唯一解，
则.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查了方程的复数根，解题的关键是判断函数函数的图象关于直线对称，考查了分类讨论的思想.
25．已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由题意，从而，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案.
（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可得答案.
【详解详析】
由题意知，，则，，
（1），
因为，所以，故的取值范围是.
（2）
因为，所以，所以.
26．已知关于的方程．
（1）在复数集中求方程的两根、；
（2）求的值．
【标准答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）.
【思路指引】
（1）由，分类讨论即可求得、的值；
（2）由方程有两根得到的范围，然后分类把中的绝对值去掉，再结合根与系数的关系得到答案．
【详解详析】
解：（1），
若，即，可得，
可得，；
若，即，可得，
可得，；
（2）①当时，，，
若，则，此时；
若，不妨设，则，，
则；
若，不妨设，则，，且，
；
②当时，由（1）知，两个为，，
．
综上，.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题06 实系数一元二次方程难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根
C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根
2．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为，则这个方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．满足+=2n的最小自然数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知方程有实根，且，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
7．方程在复数集中的解有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
8．设，若，则可以取（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．已知方程有两个虚根，若，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
二、填空题
11．设复数，满足，，则=_______.
12．设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数_______________.
13．设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______．
14．已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是________．
15．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.
16．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为____________.
17．设复数z，满足，，，则____________．
18．设，则下列命题中为真命题的序号是___________.
①若，则；
②的充要条件为；
③复数为实数的充要条件为；
④若，则为纯虚数.
19．已知，，若复数z满足条件，则______.
20．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
三、解答题
21．是否存在实数，使得关于的一元二次方程的两个根在复平面上对应的向量的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．设，已知，，，求的值.
23．关于的方程的两根为，且，求实数的值.
24．设为方程，（）的两个根，，
（1）求的解析式；
（2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值.
25．已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
26．已知关于的方程．
（1）在复数集中求方程的两根、；
（2）求的值．
