编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题08 平面向量单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）非零向量垂直的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
对四个选项一一验证：
对于A：按数量积定义可以判断出夹角为0即可判断；
对于B：直接计算即可判断；；
对于C：直接判断；
对于D：按数量积计算直接判断.
【详解详析】
对于A：因为，所以夹角为0，所以非零向量不垂直；故A错误；
对于B：.故B正确；
对于C：是错误的写法，不正确；故C错误；
对于D：因为，所以，不能得到非零向量垂直，故D错误.
故选：B
2．（2021·上海·高一课时练习）已知非零向量，关于的分解，有如下四个命题：①给定，一定存在，使，②给定和，一定存在实数和，使；③给定单位向量和正数，一定存在单位向量和实数，使；④给定正数和，一定存在单位向量和单位向量，使．上述命题中的、、在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
命题①可用向量加法与减法互为逆运算判断；命题②可由平面向量基本定理判断；命题③④举特例说明并判断作答.
【详解详析】
因、、在同一平面内且两两不平行，
对于①，给定与，则存在且唯一，不妨令，即，①正确；
对于②，给定和，而和不共线，由平面向量基本定理知，对于任意向量给定都存在唯一实数对和，使得成立，即②正确；
对于③，令， ，显然，无论取何值，不成立，③不正确；
对于④，令，，
显然，即不成立，④不正确，
所以真命题个数为2.
故选：B
3．（2021·上海·高一单元测试）与的夹角为，与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【标准答案】D
【思路指引】
将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案.
【详解详析】
将沿与方向进行分解，延长、至、，以、为邻边、为对角线画出平行四边形，如图，
由平行四边形法则有，且，所以，
，又，，在中，，
即.
故选：D
【名师指路】
本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到，考查了学生的计算能力.
4．（2021·上海·高一单元测试）的外接圆的圆心为则等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
分别取的中点，连接，则可得，而，结合图形分别求出和的值，从而可求出结果
【详解详析】
解：分别取的中点，连接，则
，
所以，
所以，
，
所以
故选：C
【名师指路】
关键点点睛：此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是分别取的中点，连接，从而可得，进而可得和的值，考查数形结合思想，属于中档题
5．（2021·上海·高一课时练习）已知向量，，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由已知两边平方得，可判断A；再由得，结合可判断B；由可判断C；由可判断D.
【详解详析】
由得
，
即对任意恒成立，
所以，，
所以，
所以A错误；
由得，
由，所以B错误；
由，得，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：C.
【名师指路】
本题考查了向量的模长和数量积的有关运算，解题的关键点是判断出，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
6．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）下列说法中正确的是（ ）
A．；
B．若、非零向量且，则；
C．若且，则；
D．若，则有且只有一个实数，使得.
【标准答案】B
【思路指引】
注意到零向量的符号应当是，可知A错误；对于B：利用向量的模的性质和数量积运算可以证明，可得B正确；考虑到的情况，得到C错误；考虑到，，可知D错误.
【详解详析】
左边是向量的加法，结果是零向量，用表示，故A错误；
由、非零向量且，
两边平方可得，
即，所以，故B正确；
当时也有且，故C错误；
若，，不存在实数，使得，故D错误．
故选：B．
7．（2021·上海·高一单元测试） 为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反
C． D．无论什么关系均可
【标准答案】A
【思路指引】
根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.
【详解详析】
当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且；
当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且；
当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且，
所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同.
故选：A.
8．（2021·上海崇明·一模）设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.
【标准答案】C
【思路指引】
先由得中只能有一个为0，假设可得点在的边BC所在直线上，满足充分性；若点在的边所在直线上，假设在AB上，容易得，必要性满足，则可得答案.
【详解详析】
为所在平面上一点，且实数x、y、z满足
若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾；
假设（不为0），可得，，
向量和共线，点在的边BC所在直线上；
若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线，
，
“”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2021·上海松江·一模）已知正六边形的边长为2，当时，的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．
【标准答案】B
【思路指引】
建立平面直角坐标系，由坐标法表示出，并利用列举法求得最大值.
【详解详析】
以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系，
正六边形的边长为，所以：
，
令，下用例举法求得的所有可能取值.
1 1 1 1 1 24
1 1 1 1 -1 16
1 1 1 -1 1 0
1 1 -1 1 1 -8
1 -1 1 1 1 0
-1 1 1 1 1 22
-1 -1 1 1 1 -2
-1 1 -1 1 1 -2
-1 1 1 -1 1 -2
-1 1 1 1 -1 10
1 -1 -1 1 1 -8
1 -1 1 -1 1 -12
1 -1 1 1 -1 -8
1 1 -1 -1 1 -8
1 1 -1 1 -1 -8
1 1 1 -1 -1 4
-1 -1 -1 1 1 -2
-1 -1 1 -1 1 -14
-1 -1 1 1 -1 -14
-1 1 -1 -1 1 -2
-1 1 -1 1 -1 -6
-1 1 1 -1 -1 -2
1 -1 -1 -1 1 4
1 -1 -1 1 -1 -8
1 -1 1 -1 -1 -8
1 1 -1 -1 -1 4
-1 -1 -1 -1 1 10
-1 -1 -1 1 -1 -6
-1 -1 1 -1 -1 -14
-1 1 -1 -1 -1 6
1 -1 -1 -1 -1 16
-1 -1 -1 -1 -1 18
由表格数据可知的最大值为，
所以的最大值为.
故选：B
10．（2021·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【标准答案】C
【思路指引】
①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.
【详解详析】
由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
【名师指路】
向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值.
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）下列说法正确的是__________（写序号）．
①若与共线，则点A、B、C、D共线；
②四边形为平行四边形，则；
③若，则；
④四边形中，，则四边形为正方形．
【标准答案】③
【思路指引】
利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论．
【详解详析】
①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边；
②若四边形为平行四边形，则，不正确；
③若，，则，正确；
④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确；
故答案为：③.
12．（2021·上海·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，，，则______．
【标准答案】
【思路指引】
先通过线性运算表示出，然后采用先平方再开根号的方法求解出的值.
【详解详析】
因为，
所以
，
故答案为：.
13．（2021·上海·高一课时练习），为不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的__________条件．
【标准答案】充要
【思路指引】
由条件，可得；不等式化为．由于对一切，不等式恒成立，所以可得，化简即可得出．
【详解详析】
由条件，可得；
不等式化为，
∵对一切，不等式恒成立，
∴，
化为，
∴，所以．
故答案为：充要．
【名师指路】
关键点睛：本题的解题关键是由不等式化为后由一元二次不等式的知识得出，从而得解.
14．（2021·上海·高一期末）如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________．
【标准答案】
【思路指引】
设，根据向量的运算关系可求得，再结合已知建立关系即可求出.
【详解详析】
设，
则
，
，
，解得.
故答案为：.
【名师指路】
关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是设出，利用向量关系将表示出来.
15．（2021·上海·高一期末）在中，，若，则的取值范围为_________．
【标准答案】
【思路指引】
利用数量积得到，设，消去，根据关于λ的方程有根，只需，求出t的范围即可.
【详解详析】
∵，
∴.
∵，∴，
∴，即
∴
设，则，代入得：
，整理得：，
要使关于λ的方程有根，只需，
解得：.
所以的取值范围为.
故答案为：
【名师指路】
进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算.
16．（2021·上海·高一期末）已知平面向量，，满足：，，，则的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
求出夹角，将，，的起点重合，则向量的终点在以终点为圆心，以1为半径的圆上，作出图形后可得向量在向量方向上投影的最大值和最小值，也即的最大值和最小值．
【详解详析】
∵，，∴，∴与夹角为120°，与夹角为60°，．将，，的起点重合，由于．因此向量的终点在以终点为圆心，以1为半径的圆上，如图．容易得，向量在向量方向上的最小投影是0，最大投影是2，所以的取值范围是．
故答案为：．
【名师指路】
关键点点睛：本题考查平面向量数量积的范围，解题关键是作图，将，，的起点重合，得出向量的终点在以终点为圆心，以1为半径的圆上，利用图形求得结论．
17．（2021·上海·高一期末）已知向量满足，，则的取值范围是_________．
【标准答案】
【思路指引】
由数量积公式结合得出，再由结合二次函数的性质得出所求范围.
【详解详析】
可得可变形为
由可知，，解得
故答案为：
【名师指路】
关键点睛：解决本题的关键在于由得出，从而由二次函数的性质得出范围.
18．（2021·上海·高一期末）已知为单位向量，平面向量满足则的最小值为_______．
【标准答案】
【思路指引】
根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.
【详解详析】
不妨设，
则，
即，
所以在圆上
设圆的参数方程为（为参数）则
令，
所以当时，，
所以，
故答案为：
【名师指路】
关键点睛：运用平面向量数量积的运算性质及换元思想是解题的关键.
19．（2021·上海市进才中学高一期中）下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【标准答案】①③
【思路指引】
根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解详析】
因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
20．（2021·上海·高一期末）已知A、B、C、D是单位圆上的四个点，且A、B关于原点对称，则的最大值是________．
【标准答案】
【思路指引】
建立平面直角坐标系，设，，，用向量数量积的坐标表示表示出来，再根据三角恒等变换以及二次函数的性质即可求出.
【详解详析】
建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，，
所以
，当且仅当且时取等号．
故答案为：．
【名师指路】
思路点睛：本题主要考查数量积的运算，涉及有关平面向量数量积运算的最值问题，一般通过解析法解决，根据题目条件引入参数，用三角函数定义表示出点的坐标，再根据三角恒等变换转化为函数的值域问题，变形难度较大，考查学生综合运用知识的能力．
三、解答题
21．（2021·上海·高一期末）已知两个平面向量与的夹角为，且记.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与的夹角.
【标准答案】（1）；（2）；
【思路指引】
（1）根据得，进而根据向量数量积的运算律计算即可得答案；
（2）由题知，进而计算得，，，进而结合夹角公式计算即可.
【详解详析】
（1）由得，
即：
，
解得：，
所以当时，.
（2）当时，，
所以
，
，
，
所以，
所以与的夹角为
【名师指路】
本题考查向量的数量积运算，夹角的计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握模的公式，夹角公式等.
22．（2021·上海·高一期末）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.
（1）若=(-1，3)，=(2，3)，求；
（2）若=(2，1)，位置向量的终点在直线x+y+1=0上，求位置向量终点轨迹方程；
（3）对任意两个向量，求证∶.
【标准答案】（1）；（2）2x+y=0；（3）证明见解析.
【思路指引】
（1）根据新定义公式计算即可；
（2）设的终点坐标是(x，y)，的终点坐标是(x0，y0)，依题意计算化简即可得结果；
（3）依题意可得，，即.
【详解详析】
（1）
（2）设的终点坐标是(x，y)，的终点坐标是(x0，y0)且x0+y0+1=0，
即2x+y=0即为所求轨迹方程；
（3）
同理，而为非零向量，.
【名师指路】
理解和运用新定义公式计算是解题的关键.
23．（2021·上海·高一期末）在中，，，，，．
（1）若，求实数的值及；
（2）若，求四边形的面积．
【标准答案】（1），；（2）．
【思路指引】
（1）利用中位线的性质可得出点为的中点，可得出的值，再利用直角三角形的性质可可求得；
（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，根据求出的值，可求得、，由此可求得四边形的面积.
【详解详析】
（1）由，可知为的中点，若，则为的中点，即，
又，所以；
（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，
，
，
又，，则，解得，
则，则，，
因此，四边形的面积为.
【名师指路】
关键点点睛：本题主要考查利用平面向量的数量积转化两个向量的垂直关系，同时也考查了四边形面积的计算，解题的关键就是利用向量的垂直关系求出实数的值，进而利用四边形的面积公式求解.
24．（2021·上海交大附中高一期末）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一动点，垂直于点，垂直于点．
（1）求向量与的夹角；
（2）设，点满足，证明，并求出当运动时，的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；.
【思路指引】
（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，由已知求得A、B、C、D的坐标，设P（m，m）（0≤m≤1），得E，F的坐标，由，可得向量与的夹角的值；
（2）由，可知，然后证明，得P、M、C三点共线，结合QD⊥AC，及线段QD的中点M在AC上，得Q、D关于直线AC轴对称，因此Q与B重合，，结合P与C不重合，可得，t∈[0，1），再求出的取值范围即可．
【详解详析】
（1）以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，则（0，0），（1，0），（1，1），（0，1），
设（），则，，
所以，，
所以，
所以向量与的夹角；
（2），即，
于是有，即
设是线段的中点，则
因此，
从而，因此，，三点共线，
结合，及线段的中点在上，得，关于直线轴对称，
因此与重合，，结合与不重合，有，
，，
∴取值范围是.
25．（2021·上海·华师大二附中高一月考）（1）请你利用数量积的定义（非坐标运算公式）证明：；
（2）已知向量与的夹角为，，，记，，若，求实数k的值.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）.
【思路指引】
（1）结合平面向量共线以及定义法求平面向量的数量积即可得证；
（2）结合平面向量数量积的运算律与平面向量的垂直，列出方程求解即可.
【详解详析】
（1）设与的夹角为，
若，则与共线且同向，所以与的夹角即为与的夹角，
则与共线且同向，所以与的夹角即为与的夹角，
左边，
右边，
所以左边＝右边，故，
若，则与共线且反向，所以与的夹角即为与的夹角的补角，
则与共线且反向，所以与的夹角即为与的夹角的补角，
左边，
右边，
所以左边＝右边，故，
若，则，，
左边，右边，故，
综上：.
（2）因为，，且，
所以，即，
又因为向量与的夹角为，，，
所以，，，
所以，解得.
26．（2021·上海市延安中学高一期末）已知向量，；
（1）求，的夹角；
（2）若，求实数的值.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可；
（2）由，可得，进而由坐标运算可得解.
【详解详析】
（1）设与的夹角为，因为向量，，
所以，，
，又，所以.
所以，的夹角为；
（2）因为，，又，所以，
所以，解得.
27．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）已知平面向量，.
（1）当为何值时，与垂直；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由与的数量积为可得；
（2）由与的数量积大于0，再去除两向量同向的情形．
【详解详析】
（1）由已知，，，与垂直，
则．解得；
（2），，又时，，两相向夹角为0，
所以且．
28．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点.
（1）求证：；
（2）若，，，，点在直线上运动，当在什么位置时，取到最小值？
（3）在（2）的条件下，过的直线分别交线段、于点、（不含端点），若，，求的最小值.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）在线段上且时，取到最小值；（3）．
【思路指引】
（1）根据向量的线性运算计算；
（2）由已知得，以为建立平面直角坐标系，用坐标运算求得，求得其最小值；
（3）根据向量的线性运算得出的关系式，然后由基本不等式求得的最小值．
【详解详析】
（1）因为是中点，所以，
所以，同理，，
所以；
（2）因为，所以，，
以为建立平面直角坐标系，如图，则，由（1）知，即，，
设，，
，
时，．
所以在线段上且时，取到最小值；
（3）因为，，所以，，
,又三点共线，即共线，
所以，，又，
，当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为．
29．（2021·上海市市西中学高一期中）已知三个互不相同的平面向量|，与夹角为，与夹角为，与夹角为．
（1）求证：；
（2），求的范围．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）．
【思路指引】
（1）计算数量积可证；
（2）平方，由数量积的运算可求得的范围．
【详解详析】
（1），
．
（2）与夹角为．，，
，
，
30．（2021·上海·高一期末）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
【标准答案】(1)；(2).
【思路指引】
(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解详析】
(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45 ，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【名师指路】
坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题08 平面向量单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）非零向量垂直的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海·高一课时练习）已知非零向量，关于的分解，有如下四个命题：①给定，一定存在，使，②给定和，一定存在实数和，使；③给定单位向量和正数，一定存在单位向量和实数，使；④给定正数和，一定存在单位向量和单位向量，使．上述命题中的、、在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·上海·高一单元测试）与的夹角为，与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
4．（2021·上海·高一单元测试）的外接圆的圆心为则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海·高一课时练习）已知向量，，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）下列说法中正确的是（ ）
A．；
B．若、非零向量且，则；
C．若且，则；
D．若，则有且只有一个实数，使得.
7．（2021·上海·高一单元测试） 为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反
C． D．无论什么关系均可
8．（2021·上海崇明·一模）设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.
9．（2021·上海松江·一模）已知正六边形的边长为2，当时，的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．
10．（2021·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）下列说法正确的是__________（写序号）．
①若与共线，则点A、B、C、D共线；
②四边形为平行四边形，则；
③若，则；
④四边形中，，则四边形为正方形．
12．（2021·上海·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，，，则______．
13．（2021·上海·高一课时练习），为不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的__________条件．
14．（2021·上海·高一期末）如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________．
15．（2021·上海·高一期末）在中，，若，则的取值范围为_________．
16．（2021·上海·高一期末）已知平面向量，，满足：，，，则的取值范围是______．
17．（2021·上海·高一期末）已知向量满足，，则的取值范围是_________．
18．（2021·上海·高一期末）已知为单位向量，平面向量满足则的最小值为_______．
19．（2021·上海市进才中学高一期中）下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
20．（2021·上海·高一期末）已知A、B、C、D是单位圆上的四个点，且A、B关于原点对称，则的最大值是________．
三、解答题
21．（2021·上海·高一期末）已知两个平面向量与的夹角为，且记.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与的夹角.
22．（2021·上海·高一期末）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.
（1）若=(-1，3)，=(2，3)，求；
（2）若=(2，1)，位置向量的终点在直线x+y+1=0上，求位置向量终点轨迹方程；
（3）对任意两个向量，求证∶.
23．（2021·上海·高一期末）在中，，，，，．
（1）若，求实数的值及；
（2）若，求四边形的面积．
24．（2021·上海交大附中高一期末）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一动点，垂直于点，垂直于点．
（1）求向量与的夹角；
（2）设，点满足，证明，并求出当运动时，的取值范围．
25．（2021·上海·华师大二附中高一月考）（1）请你利用数量积的定义（非坐标运算公式）证明：；
（2）已知向量与的夹角为，，，记，，若，求实数k的值.
26．（2021·上海市延安中学高一期末）已知向量，；
（1）求，的夹角；
（2）若，求实数的值.
27．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）已知平面向量，.
（1）当为何值时，与垂直；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
28．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点.
（1）求证：；
（2）若，，，，点在直线上运动，当在什么位置时，取到最小值？
（3）在（2）的条件下，过的直线分别交线段、于点、（不含端点），若，，求的最小值.
29．（2021·上海市市西中学高一期中）已知三个互不相同的平面向量|，与夹角为，与夹角为，与夹角为．
（1）求证：；
（2），求的范围．
30．（2021·上海·高一期末）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．
(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
