编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 平面向量的加减法综合（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）若O为平面内任意一点，且，则△ABC是( )
A．直角三角形或等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形但不一定是直角三角形
D．直角三角形但不一定是等腰三角形
2．（2021·上海·高一月考）已知为四边形所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点为的中点，则
A． B． C． D．
3．（2021·上海·高一月考）向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
4．（2021·上海·高一课时练习）已知在四边形中，，，，则（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2021·上海·高一课时练习）在平行四边形中，若，则必有（ ）
A． B．或
C．四边形是矩形 D．四边形是正方形
6．（2021·上海·高一课时练习）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
7．（2021·上海交大附中高一期末）如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海市奉贤中学高一期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·上海·高一月考）已知向量，，满足，，，，分别是线段，的中点，若，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
10．（2021·上海·高一月考）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、填空题
11．（2021·上海中学高一期末）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和______.
12．（2021·上海·高一课时练习）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______．
13．（2021·上海·高一课时练习）是正三角形，给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号)
14．（2021·上海·高一课时练习）在中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AD、BE、CF交于点G，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的序号是______．
15．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知两个力，的夹角是直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的大小为______
16．（2021·上海·高一课时练习）已知，则的取值范围是___________.
17．（2021·上海·高一课时练习）已知非零向量满足，则_____________.
18．（2021·上海·高一月考）在中，，，D是边上的一点，若，则的值为______.
19．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）在△中，为边上一点，且满足，设，则________
20．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）在中，有命题：
①；
②；
③若，则为等腰三角形；
④若，则为锐角三角形；
上述命题正确的序号是__________.
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）已知向量，，，求作和.
22．（2021·上海·高一课时练习）在中，若，．
（1）若D为BC上的点，且，求证：；
（2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
（3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
（4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）
23．（2021·上海·高一课时练习）已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：.
24．（2021·上海·高一期末）在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）若存在轴上一点满足，求．
25．（2021·上海·高一月考）借助三角函数定义及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题.试解答下列问题.
（1）在直角坐标系中，点，将点绕坐标原点按逆时针方向旋转到点，如果终边经过点的角记为，那么终边经过点的角记为.试用三角函数定义，求点的坐标；
（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得向量，试用h、k、θ表示向量的坐标；
（3）设、为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转角得点C.判断C是不能够落在直线上，若能，请求出θ的三角函数值（正弦、余弦、正切不限），若不能，说明理由.
26．（2021·上海松江·高一期末）已知是线段外一点，若，．
（1）设点是的重心，证明：；
（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 平面向量的加减法综合（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）若O为平面内任意一点，且，则△ABC是( )
A．直角三角形或等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形但不一定是直角三角形
D．直角三角形但不一定是等腰三角形
【标准答案】C
【详解详析】
由＝0得·＝0，∴2－2＝0，即||＝||，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.
2．（2021·上海·高一月考）已知为四边形所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点为的中点，则
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由可得，再由平行四边形数形结合求解即可.
【详解详析】
∵向量，，，满足等式，
∴，即，
则四边形为平行四边形，∵为的中点，∴为对角线与的交点，
则，则，
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了平面向量的线性运算及数形结合的能力，属于中档题.
3．（2021·上海·高一月考）向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
【标准答案】C
【思路指引】
求出的坐标即得解.
【详解详析】
由题得＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
由题知，
故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
解得k＝11或k＝－2.
故选：C
【名师指路】
结论点睛：则.
4．（2021·上海·高一课时练习）已知在四边形中，，，，则（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，得到四边形是直角梯形，结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
【详解详析】
由，可得，
所以，．
又由，所以四边形是直角梯形，如图所示，
所以．
故选：C.
【名师指路】
本题考查向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟练向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
5．（2021·上海·高一课时练习）在平行四边形中，若，则必有（ ）
A． B．或
C．四边形是矩形 D．四边形是正方形
【标准答案】C
【思路指引】
根据向量的加减运算、模长判断出平行四边形的对角线的长度关系，由此进行判断.
【详解详析】
因为，所以，
所以平行四边形的对角线长度相等，所以四边形为矩形，
故选：C.
6．（2021·上海·高一课时练习）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【标准答案】C
【思路指引】
由知O是的外心；利用共起点向量加法将变形为共线的两向量关系，得到N点在中线上的位置，从而判断为重心；由移项利用向量减法变形为，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心.
【详解详析】
，则点O到的三个顶点距离相等，
O是的外心.
，，
设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心.
，.
即，同理由，可得.
所以P是的垂心.
故选：C.
【名师指路】
关于四心的向量关系式：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中 为的三边)
7．（2021·上海交大附中高一期末）如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意，结合向量的线性运算法则以及图象，即可求解.
【详解详析】
由，设，且，
故，
由图可知 ，因，所以，故AC错；
当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错.
故选：B.
8．（2021·上海市奉贤中学高一期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案
【详解详析】
解：延长到，使，延长到，使，连接，
因为，所以，
所以为的重心，
所以设，则，,
所以,
所以，
故选：D
9．（2021·上海·高一月考）已知向量，，满足，，，，分别是线段，的中点，若，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
【标准答案】B
【详解详析】
依题意，四边形为平行四边形，因此，因此，，因此，可得，又，因此，故选B.
10．（2021·上海·高一月考）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【标准答案】B
【思路指引】
将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解详析】
因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
【名师指路】
本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题.
二、填空题
11．（2021·上海中学高一期末）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和______.
【标准答案】
【思路指引】
由题意可得，，，化简，由于，2，3，4，5，取遍，由完全平方数的最值，可得最值．
【详解详析】
解：正方形的边长为1，
可得，，则，
，
由于，2，3，4，5，取遍，
可得，，
可取，，，，
可得所求最小值为0；
由，的最大值为4，
可取，，，，，
可得所求最大值为．
所以最小值与最大值的和为.
故答案为：．
【名师指路】
本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力．
12．（2021·上海·高一课时练习）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______．
【标准答案】
【思路指引】
本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果.
【详解详析】
如图，结合题意绘出图像：
因为，，
所以，，
则，，
故
，
因为，
所以，解得，，，
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
13．（2021·上海·高一课时练习）是正三角形，给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号)
【标准答案】①③④
【思路指引】
作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误.
【详解详析】
对于①，，，，①正确；
对于②，，如下图所示，以、为邻边作平行四边形，
由平面向量加法的平行四边形法则可得，显然，②错误；
对于③，以、为邻边作平行四边形，则，
以、为邻边作平行四边形，则.
由图可知，，即，③正确；
对于④，，，因为，④正确.
故答案为：①③④.
【名师指路】
关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合图形的几何特征进行判断.
14．（2021·上海·高一课时练习）在中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AD、BE、CF交于点G，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的序号是______．
【标准答案】②③④
【思路指引】
对①结合中位线性质以及向量的加法运算和数乘运算即可判断；对②③结合图形中的线段的关系以及向量加法运算和数乘运即可判断；对④结合重心的性质以及向量加法运算和数乘运即可判断.
【详解详析】
因为分别为CA、AB的中点，所以，且，所以，故①错误；
，故②正确；
故③正确；
因为三边的中线交于点，故是的重心，所以，所以
，故④正确；
故答案为：②③④.
15．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知两个力，的夹角是直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的大小为______
【标准答案】
【思路指引】
利用向量加法的平行四边形法则做平行四边形，在直角三角形中即可求出的大小.
【详解详析】
设，，则以为邻边作平行四边形，则，
因为合力与的夹角为，，即，，
又因为，的夹角是直角，所以，即，
所以在中，.
故答案为：.
16．（2021·上海·高一课时练习）已知，则的取值范围是___________.
【标准答案】
【思路指引】
利用，将的模与联系起来，即可得到的范围.
【详解详析】
，
，
，
即 .
故答案为：
17．（2021·上海·高一课时练习）已知非零向量满足，则_____________.
【标准答案】
【思路指引】
设,则,由可得为等边三角形,设其边长为1,进而求解即可
【详解详析】
如图,设,则,
∵,
∴,∴为等边三角形,
设其边长为1,则,
∴
故答案为:
【名师指路】
本题考查向量的加法,向量的减法在集合中的应用,考查向量的模的应用
18．（2021·上海·高一月考）在中，，，D是边上的一点，若，则的值为______.
【标准答案】4
【思路指引】
由得，再利用平面向量的数量积公式计算得解.
【详解详析】
因为，
所以,
所以,
由题得,
所以.
故答案为：4
19．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）在△中，为边上一点，且满足，设，则________
【标准答案】1
【思路指引】
依题意可得，进而可得结果.
【详解详析】
依题意可得，所以，因此，所以.
故答案为：.
20．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）在中，有命题：
①；
②；
③若，则为等腰三角形；
④若，则为锐角三角形；
上述命题正确的序号是__________.
【标准答案】②③．
【思路指引】
根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，判断各个选项是否正确．，即可得出答案.
【详解详析】
解：在三角形中，由于，故①不正确．
由于，故②正确．
由于，故有，所有三角形为等腰三角形，故③正确．
由于，故为锐角，但和的范围不确定，故不能推出三角形为锐角三角形，故④不正确．
故答案为：②③．
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）已知向量，，，求作和.
【标准答案】详见解析
【思路指引】
根据向量加减法的三角形法则作图即可.
【详解详析】
由向量加法的三角形法则作图：
由向量三角形加减法则作图：
【名师指路】
本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题.
22．（2021·上海·高一课时练习）在中，若，．
（1）若D为BC上的点，且，求证：；
（2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
（3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
（4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）
【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.
【思路指引】
（1）将转化为，再将转化为即可.
（2）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，易得四边形AQDB是平行四边形，根据向量加法容易得到结论.
（3）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，容易得到四边形ASDP是平行四边形，进一步根据向量加法容易得到结论.
（4）通过（2）（3）猜想出结论.
【详解详析】
（1）如图1，
．
（2）当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，联结AD，交BC于O点，联结PD、QD，如图2，则，∵，，∴，且，∴四边形APDQ是平行四边形，∴．
（3）当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图3，则Q是BC的中点，
∴．
（4）结论：．
23．（2021·上海·高一课时练习）已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：.
【标准答案】（1） （2）证明见解析
【思路指引】
（1）,再结合,可求出;
（2）设,可得,结合,可得到,从而可证明.
【详解详析】
（1）由题意,,
又,故,即.
（2）、、三点共线，设,
则,
又,故,即.
【名师指路】
本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.
24．（2021·上海·高一期末）在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）若存在轴上一点满足，求．
【标准答案】（1），；（2）．
【思路指引】
（1）计算和可得；
（2）先求出点坐标，再求和的夹角即得．
【详解详析】
（1）由题意，，，
；
所以所求对角线长为和；
（2）设，则由得，，即，
，，．
所以．
【名师指路】
关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段、为邻边的平行四边形的对角线长就是和与差的模．而求，可以算作是的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解．
25．（2021·上海·高一月考）借助三角函数定义及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题.试解答下列问题.
（1）在直角坐标系中，点，将点绕坐标原点按逆时针方向旋转到点，如果终边经过点的角记为，那么终边经过点的角记为.试用三角函数定义，求点的坐标；
（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得向量，试用h、k、θ表示向量的坐标；
（3）设、为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转角得点C.判断C是不能够落在直线上，若能，请求出θ的三角函数值（正弦、余弦、正切不限），若不能，说明理由.
【标准答案】(1)；(2) ；(3)能，
【思路指引】
（1）计算出以及、的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得和，进而可得点的坐标；
（2）记，，，可得出，利用两角和的正、余弦公式可求得向量的坐标；
（3）求得点的坐标，由点在直线上可得出，分与两种情况讨论，结合反三角函数可得出角.
【详解详析】
（1）由于点，则，
根据三角函数的定义可得，，
所以，，
，
由旋转可知，，
所以，点的横坐标为，纵坐标为，
因此，点的坐标为；
（2）记，，，则，
其中，
，
因此，；
（3），
由（2）可知，
，
即点，
由于点在直线上，
可得，
整理得.
①当时，即当时，，此时；
②当时，即当时，可得，此时，.
综上所述，.
26．（2021·上海松江·高一期末）已知是线段外一点，若，．
（1）设点是的重心，证明：；
（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析.
【思路指引】
（1）利用平面向量基本定理以及数乘的定义进行转化，结合重心的性质即可证明；
（2）利用重心的性质以及平面向量基本定理，转化求解即可；
（3）利用等分点的性质结合（2）的推理过程，由向量的加法以及减法运算，写出结论即可.
【详解详析】
（1）设的中点为，则；
（2）如图：点、是线段的三等分点，
，，，
则
；
（3）层次一：
设是的二等分点，则，，
设、、是线段的四等分点，则，
或设、、…、是线段的等分点，则（，2，…，），
层次二：
设、、…、是线段的等分点，，
层次三：
设、、…、是线段的等分点，则．
