编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 平面向量的数乘难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海中学高一期末）动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
【标准答案】C
【思路指引】
取中点，做出简图，由化简得，根据得、、三点共线，所以点一定会通过重心.
【详解详析】
取中点，做出示意图如下图所示：
由图可知，
故，
因为，所以、、三点共线，即点在的中线所在直线上，
所以点一定会过的重心。
故选：C.
【名师指路】
本题主要考查向量的线性运算及其应用，关键在于利用向量的加法法则将已知条件化简成三个共起点的向量的关系，利用三点共线的判定条件判断三点共线，属于中档题.
2．（2021·上海·高一课时练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意在线段中得到与和的位置关系，根据向量共线定理对逐个选项逐一判断即可得到结果.
【详解详析】
∵，故可得与和的位置关系如图所示：
且，
由向量共线定理可得，，，，
可得不正确的为A，
故选:A.
【名师指路】
本题主要考查了向量共线定理，由题意得到与和的位置关系是解题的关键，属于中档题.
3．（2021·上海·高一月考）设是的垂心，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由三角形垂心性质及已知条件可求得，，由向量的夹角公式即可求解．
【详解详析】
由三角形垂心性质可得，，不妨设x，
∵345，
∴，
∴，同理可求得，
∴．
故选：D．
【名师指路】
本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题．
4．（2021·上海·高一课时练习）点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出点在中的特殊位置，即可得到答案.
【详解详析】
（1）显然得出为的重心；
（2），同理，所以为的垂心；
（3）OA,OB分别是的角平分线，所以为的内心；
（4）（M是AB中点）同理（N是BC中点），所以为的外心.
故选：.
【名师指路】
本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置"特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握，是中档题.
5．（2021·上海·高一课时练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【标准答案】B
【思路指引】
在，上分别取单位向量，作，则平分，用表示出代入条件式，用表示出，则可证明，，三点共线，即平分．
【详解详析】
在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心．
故选：．
【名师指路】
本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.
6．（2021·上海·高一课时练习）如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【标准答案】B
【思路指引】
由，是边，的中点，得，由可得答案.
【详解详析】
连接，如下图所示.
因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以
，解得.又因为，
所以.则向量与的夹角大小为120°，
故选：B.
【名师指路】
本题考查向量的线性运算，数量积.
7．（2021·上海中学高一期中）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点，，两动点，，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为．设函数，，其中，，令，作随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
考虑特殊值，用排除法，取，确定的的位置，排除错误选项得结论．
【详解详析】
先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，，要满足，故排除A，C；
再考虑与垂直的方向，令，要满足，故排除D，
故选：B．
8．（2021·上海·高一月考）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【标准答案】B
【思路指引】
不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置，
而，括号内利用向量模的几何意义求最小值．
【详解详析】
因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，，
，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于，
设，则点在直线上，的延长线交于，则，
是菱形对角线的交点，则，，
，，，
设，则是关于直线的对称点，
，则，即，又，
所以，
，当且仅当共线时等号成立，
所以 的最小值是，
的最小值是，
故选：B．
【名师指路】
关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值．
9．（2021·上海·高一期末）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【标准答案】D
【思路指引】
先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.
【详解详析】
不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.
故选：D
【名师指路】
关键点点睛：根据重心的性质可得k，再由三角形面积公式可得，即，同理可得其他三角形面积，再利用即可求解，属于难题.
10．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：
①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类集”；
②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；
③若、都是“类集”，则也是“类集”；
④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．
其中正确的命题有（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④
【标准答案】D
【思路指引】
根据“类集”的定义逐项进行分析判断.
【详解详析】
①若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
对于集合（为实常数），可得对于任意，以及任意都有，故正确；
②若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
可得对于任意，以及任意，都有，故正确；
③若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
设，为中元素的合并而得，且不重复，不符合“类集”的定义，故错误；
④若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
设，为中元素的公共部分，且不为空集，符合“类集”的定义，故正确；
故选：D.
【名师指路】
关键点点睛：解答本题的关键在于对“类集”定义的理解，除了可以采用上述根据定义去分析的思路，还可以采用等价转化的方法进行分析：将集合看作点集，若对于中任意两点，线段上的点均属于，则称点集为类集.
二、填空题
11．（2021·上海·高一单元测试）若，，则平分线上的向量可以表示为________．
【标准答案】，
【思路指引】
根据题意，以，为邻边作平行四边形则四边形为菱形，根据平面向量加法的平行四边形法则得，由，共线，最后根据向量共线定理得，从而得出答案.
【详解详析】
解：，，
，，
以，为邻边作平行四边形则为菱形，
平分，
根据向量加法的平行四边形法则可得：
，
，共线，
由共线定理可得存在唯一的实数使得：
.
故答案为：，.
【名师指路】
本题考查平面向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，解题的关键是利用菱形的对角线平分对角这一重要性质.
12．（2021·上海·高一课时练习）设G是的重心，且，则角B的大小为______.
【标准答案】
【思路指引】
由三角形重心的性质可得出，由正弦定理的角化边公式化简得出，，再由余弦定理求出.
【详解详析】
∵，又是的重心，
∴，观察比较得：，
由正弦定理知：，则，，
即得，∴
故答案为：．
【名师指路】
本题是向量与解三角形交汇问题，考查了向量的相关知识和正余弦定理，同时考查了考生观察、联想、类比、化归和推理运算求解能力，这体现了数学等价转化、直观想象等核心素养．
13．（2021·上海·高一单元测试）在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则______．
【标准答案】.
【思路指引】
先根据中点关系化简原式，然后根据重心的特点进行向量运算，由此求解出结果.
【详解详析】
因为，
又因为为重心，所以，
所以，
故答案为：.
14．（2021·上海市金山中学高一期末）在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，若，则的最小值为___________
【标准答案】
【思路指引】
先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次函数最值的求法即得结果.
【详解详析】
依题意，由，知，即，
所以，得，则，即.
设，则，得，
，
，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小值为.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：
本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函数的最值问题，突破难点.
15．（2021·上海·华师大二附中高一月考）如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为_____________.
【标准答案】
【思路指引】
根据平面向量的线性运算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，，可得到，化简整理即可求出结果.
【详解详析】
因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，
所以
，
所以，即，
故答案为：.
16．（2021·上海·华师大二附中高一月考）已知О是锐角的外心，，若，则实数_____________.
【标准答案】
【思路指引】
先结合平面向量的线性运算进行化简得到，然后两边同乘以，然后利用平面向量数量积的定义进行化简整理得到，结合圆周角与所对圆心角的关系可知，再集合二倍角公式即可得到，利用两角和的正弦公式整理可得，然后利用同角的基本关系即可求解.
【详解详析】
设的外接圆的半径为，因为，
所以,
所以,
故，
即,
所以，
又因为,所以,
，即，
因此，即，又因为，且为锐角，所以，因此，即，
故答案为：.
17．（2021·上海市行知中学高一期中）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________．
【标准答案】
【思路指引】
令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值.
【详解详析】
若，，
∴，即为△的重心，
令，，则，，
∴，由，
故答案为：
18．（2021·上海·高一月考）如图，等腰直角中，点为的重心，过点的直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为______
【标准答案】
【思路指引】
根据重心的性质可得，，又，可得，根据三点共线，可得，再根据基本不等式的知识，即求出的最小值．
【详解详析】
设为线段的中点，因为点为的重心，所以
，而，
即有，根据三点共线，可得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查三角形重心的性质、向量中点公式、共线定理的推论的应用以及利用基本不等式求最值，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力．
19．（2021·上海·高一月考）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________．
【标准答案】
【思路指引】
由可得，根据相似三角形可得，，即，即可得
【详解详析】
由可得
根据可得，同理可得，
所以，
所以
故答案为：
【名师指路】
本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.
20．（2021·上海·高一课时练习）设G是△ABC重心，且，则_________．
【标准答案】
【思路指引】
将重心G满足的向量关系式代入已知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再由平面向量基本定理，得到对应系数为0，最后利用正、余弦定理求解.
【详解详析】
如图，设三边AB中点为D，是的重心，
，
同理可得，，，
，即，
又与不共线，由平面基本定理得，，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得， ，
又B为的内角，.
故答案为：.
【名师指路】
关于四心的向量关系式：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中为的三边)
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，设，记.
（1）求函数的表达式；
（2）求的取值范围.
【标准答案】（1），；（2）
【思路指引】
（1）由为的中点，为的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于的方程，进而可得函数的表达式；
（2）设的面积为1，则的面积，，利用导数法，求出函数的值域，可得答案．
【详解详析】
（1）如图所示：
为的中点，为的中点，
，
，
，又三点共线，
，
即，。
（2）设的面积为1，则，
则的面积，。
故，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
故当时，取最小值，
当，或时，取最大值，
故，．
【名师指路】
本题考查函数的解析式的求解、向量的线性运算、向量共线的充要条件、三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
22．（2021·上海·高一课时练习）点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）用和表示和；
（2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值．
【标准答案】（1），；（2）最大值和最小值分别为和．
【思路指引】
（1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示；
（2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明.
【详解详析】
（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以；
（2）因为，取等号时三点共线且在中间，
又，取等号时三点共线且在中间，
综上可知，的最大值为，最小值为.
23．（2021·上海·高一单元测试）已知O为的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若，，，，试用，、表示；
（2）证明：；
（3）若，，外接圆的半径为，用表示．
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【思路指引】
（1）结合图形，利用平行四边形法则进行分析计算；
（2）通过转化将分别用表示，然后根据完成证明；
（3）先根据外心计算出的大小，然后根据（1）中的表示结合向量的数量积运算计算出与的关系.
【详解详析】
（1）由平行四边形法则可得，即．
（2）∵O是的外心，∴，即，
而，，
∴，∴．
（3）在中，O为的外心，，，
∴，，于是，
，
∴．
24．（2021·上海·高一课时练习）已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，，，
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）；（3）.
【思路指引】
（1）延长交于点，则为的中点，根据重心的几何性质得到，计算得出，即可求得结果；
（2）设，可得出，计算得出，可得出，化简计算可得出的值；
（3）利用基本不等式可求得，可得出，进而可得出，结合不等式的基本性质可求得结果.
【详解详析】
（1）延长交于点，则为的中点，所以，，
为的重心，则，
由平面向量的加法可得，所以，，
故，因此，；
（2）因为、、三点共线，可设，即，
所以，，
因为，则，可得，
因为，所以，，同理可得，
所以，，
所以，，整理可得，所以，；
（3）由题意可知，且，则，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，则，
.
25．（2021·上海·高一月考）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
（1）求；
（2）求证：.
（3）求的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【思路指引】
（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出；
（2）设，可得，，可得，即可建立关系求得；
（3）可得，再根结合的范围求出.
【详解详析】
（1）延长交于D，则D为BC中点，
,
G是重心，，
；
（2）设,
，，
，，
三点共线，
则存在，使得，即，
即，
，整理得，
即，即，即；
（3）由（2），，
，
，，可知，
，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
，则的取值范围为.
【名师指路】
本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.
26．（2021·上海·高一月考）在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【思路指引】
（1）利用三角形重心的性质，又，即可求.
（2）设、，由题设得、，而共线则有，由，列方程确定的关系，进而求证结论；
（3）由，结合（2）的结论及二次函数的性质，即可求范围.
【详解详析】
（1）为的重心，若延长交于，则是的中点，
∴，而，即，
∴.
（2）设，，又，
∴，，由共线，则有，
∵，，
∴，又，
综上，，
∴，即，可得，
∴，则得证.
（3）由（2）知：，而，
∴.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 平面向量的数乘难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海中学高一期末）动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
2．（2021·上海·高一课时练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海·高一月考）设是的垂心，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海·高一课时练习）点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
5．（2021·上海·高一课时练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．（2021·上海·高一课时练习）如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
7．（2021·上海中学高一期中）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点，，两动点，，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为．设函数，，其中，，令，作随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海·高一月考）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2021·上海·高一期末）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
10．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：
①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类集”；
②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；
③若、都是“类集”，则也是“类集”；
④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．
其中正确的命题有（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④
二、填空题
11．（2021·上海·高一单元测试）若，，则平分线上的向量可以表示为________．
12．（2021·上海·高一课时练习）设G是的重心，且，则角B的大小为______.
13．（2021·上海·高一单元测试）在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则______．
14．（2021·上海市金山中学高一期末）在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，若，则的最小值为___________
15．（2021·上海·华师大二附中高一月考）如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为_____________.
16．（2021·上海·华师大二附中高一月考）已知О是锐角的外心，，若，则实数_____________.
17．（2021·上海市行知中学高一期中）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________．
18．（2021·上海·高一月考）如图，等腰直角中，点为的重心，过点的直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为______
19．（2021·上海·高一月考）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________．
20．（2021·上海·高一课时练习）设G是△ABC重心，且，则_________．
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，设，记.
（1）求函数的表达式；
（2）求的取值范围.
22．（2021·上海·高一课时练习）点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）用和表示和；
（2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值．
23．（2021·上海·高一单元测试）已知O为的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若，，，，试用，、表示；
（2）证明：；
（3）若，，外接圆的半径为，用表示．
24．（2021·上海·高一课时练习）已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，，，
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
25．（2021·上海·高一月考）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
（1）求；
（2）求证：.
（3）求的取值范围.
26．（2021·上海·高一月考）在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围.
