编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 平面向量共线定理易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得成立，则满足条件的实数x的集合为（ ）
A．{－1，0} B．
C． D．{－1}
【标准答案】D
【思路指引】
先将向量等式通过向量减法运算转化为共起点O的向量等式，再利用三点共线条件，得到关于系数的等量关系，解方程可得，注意验证三点不重合.
【详解详析】
由可得，，
由A，B，C共线知，，解得或.
当时，，此时B与C重合，故舍去.
故选：D.
【名师指路】
平面向量三点共线定理：A、B、P三点共线对于直线AB外任意一点O，总存在非零实数，使得成立.
2．（2021·上海·高一课时练习）设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若 ，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
【标准答案】B
【思路指引】
根据平面向量共线定理和向量的线性运算以及向量分解的唯一性即可求解.
【详解详析】
因为三点共线，所以，
所以，
即，
因为，
所以
故选：B．
3．（2021·上海·高一课时练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【标准答案】C
【思路指引】
取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.
【详解详析】
解：设为的中点，则，
则，即，
三点共线，
又因为为的中点，所以是边的中线，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：C.
4．（2021·上海·高一课时练习）在给出的下列命题中，是假命题的是
A．设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线
B．若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形
D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
【标准答案】D
【详解详析】
由 则点必共线，故A正确；
由平面向量基本定理可知B正确；
由 可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C正确；
存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D错误
故选D.
5．（2021·上海·高一课时练习）已知两非零向量，，其中 ，，，均为实数，集合，集合，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．即非充分又非必要条件
【标准答案】B
【思路指引】
根据向量平行以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解详析】
若，则不等式和的解集相同，
则，且方程和同解，
即，则成立，即必要性成立；
若，取，，则，但集合，集合的解集不同，解集不成立，故充分性不成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，证明充分性不成立时，可举反例证明使解题过程更清晰．
6．（2021·上海·高一月考）在中，为边上的点，且，满足则（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值12 D．有最小值16
【标准答案】D
【思路指引】
由三点共线得，然后用基本不等式求最小值．
【详解详析】
因为在边上，且，所以且，
，当且仅当，即时等号成立．
故选：D．
【名师指路】
思路点睛：本题考查平面向量的三点共线，考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等，本题中原式没有定值，因此利用“1”的代换凑配出积为定值，这样和才有最小值．
7．（2021·上海·高一月考）在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
设，由此用表示出，则可得关于的表示，从而通过计算可判断出正确的选项.
【详解详析】
设，所以，
所以，所以，
所以，所以，，
又，，
故选：B.
【名师指路】
结论点睛：已知平面中三点共线 (O在该直线外)，若，则必有.
8．（2021·上海市金山中学高一期末）已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.
【详解详析】
因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，
所以
当且仅当，即时等号成立．
故选：C
【名师指路】
（1）A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则有；
（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：
①“一正”就是各项必须为正数；
②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
9．（2021·上海交大附中高一期末）已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，结合向量的共线定理与向量的数量积的计算公式，即可求解.
【详解详析】
由题意可知，，都不为零向量，
对于①，因，所以，即，消去，得，故①正确；
对于②，由，得，
即，
因，的夹角与模长都未知，所以不一定成立，故②错.
故选：C.
10．（2021·上海·高一月考）如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
对两边同时平方可得出的关系，通过三角换元即可求解.
【详解详析】
由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则，
则，
即，，
化简得：，令，
因为，，，先增大后减小，
所以的最小值为较小值，
即的最小值为，
所以的最小值为1.
故选：B
【名师指路】
此题考查通过向量线性关系求参数取值范围，此题常见处理办法可以平方处理然后三角换元，可以建立直角坐标系用坐标求解，还可根据等和线定理数形结合求解.
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）已知两点和，在直线上存在一点，使，那么点的坐标为__________.
【标准答案】或
【思路指引】
因为点在直线上，所以可利用向量共线定理得到，结合题中条件求出的值，再将该向量等式用坐标的形式表示，根据相应坐标相等列方程，解方程组即可.
【详解详析】
由题设，因为和，
所以，，.
因为点在直线上，所以存在实数使得，
又，所以
当时，由，得
解得，点.
当时，由，得
解得，点.
综上可知，点的坐标为或.
故答案为：或.
12．（2021·上海·高一月考）已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且，，则___________．
【标准答案】
【详解详析】
因为为的重心,所以,
因为:三点共线,所以,所以,
所以答案为:．
13．（2021·上海·高一期末）如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______.
【标准答案】
【思路指引】
由，得，可得出，再利用、、三点共线的向量结论得出，可解出实数的值.
【详解详析】
由，得，可得出，
由于、、三点共线，，解得，故答案为.
【名师指路】
本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.
14．（2021·上海·高一课时练习）若实数满足，其中是边延长线（不含）上一点，则的取值范围为______.
【标准答案】
【思路指引】
根据题意,画出示意图,根据平面向量基本定理及向量共线条件,化简即可得的取值范围.
【详解详析】
由题意可知,示意图如下图所示:
根据向量线性运算可得
即
所以
因为是边延长线（不含）上一点
所以与反向
即.所以
【名师指路】
本题考查了平面向量基本定理的应用,向量共线的条件应用,属于中档题.
15．（2021·上海·高一课时练习）已知，，，且，则_______
【标准答案】
【思路指引】
利用向量的数乘和向量相等即可得出．
【详解详析】
解：，，，，
，，，，
又，
，，，
，
解得
．
故答案为：
【名师指路】
熟练掌握向量的数乘和向量相等是解题的关键．
16．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
【标准答案】－3
【思路指引】
先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．
【详解详析】
解：因为非零向量、、两两不平行，且，，
，
，解得
故答案为：．
【名师指路】
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.
17．（2021·上海·高一课时练习）如图，在中，，，与交于点，若，则________
【标准答案】
【思路指引】
由三点共线，得到，同理三点共线可得：，进而求解得到，故得解.
【详解详析】
三点共线，
同理三点共线可得：
可得：
故答案为：
【名师指路】
本题考查了三点共线的向量表示的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
18．（2021·上海·高一课时练习）已知点在有向线段的延长线上，且，则实数的取值范围是______.
【标准答案】
【思路指引】
由题意画出图形，利用向量共线定理得出结果.
【详解详析】
解：点在有向线段的延长线上，如图所示：
根据图象可知，即，
实数的取值范围是.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查共线向量基本定理，考查数形结合的解题思想，属于中档题.
19．（2021·上海·高一期末）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________．
【标准答案】
【思路指引】
由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值．
【详解详析】
因为，所以，
又三点共线，所以，
所以，当且仅当，妈时等号成立．所以的最小值为．
故答案为：．
【名师指路】
结论点睛：是平面上不共线三点，是平面上任一点，，
则三点共线，若在线段内部（不含端点），则．
20．（2021·上海·高一月考）已知为单位圆的一条弦，为单位圆上的点，若（）的最小值为，当点在单位圆上运动时，的最大值为，则线段的长度为________
【标准答案】
【思路指引】
设,则,即为点到直线的距离,再根据弦长公式求解即可
【详解详析】
设,则,
,点在直线上,
为点到直线的距离,且,
故答案为：
【名师指路】
本题考查弦长公式的应用,考查线性运算,考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想与转化思想
三、解答题
21．（2021·上海·高一单元测试）如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
【标准答案】（1）；（2）证明见解析．
【思路指引】
（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解详析】
（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
【名师指路】
关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.
22．（2021·上海中学高一期末）在的边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．
【标准答案】
【思路指引】
设，然后把分别用或表示，再由三点共线得出的方程组，解之可得．
【详解详析】
设，又，，，，
所以，，
因为，三点共线，三点共线，
所以，解得，所以．
23．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）设，是两个互相垂直的单位向量，已知向量，，．
（1）若、、三点共线，求实数的值．
（2）若、、三点构成一个直角三角形，求实数的值．
【标准答案】（1）；（2）或．
【思路指引】
（1）根据、、三点共线可设，由此可求的值；
（2）分别考虑、、三种情况，根据向量垂直对应的数量积为求解出符合条件的的值.
【详解详析】
（1），因为、、三点共线，设，
所以，解得；
（2）因为，，，
若，则有，解得，经验证此时无共线情况，满足；
若，则有，解得或，
由（1）知不成立，经检验时无共线情况，满足；
若，则有，解得，由（1）知不成立，
综上可知：或．
24．（2021·上海·高一课时练习）如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
【标准答案】；．
【思路指引】
令，用，表示相关向量，利用向量共线及平面向量基本定理计算即得.
【详解详析】
在中，令，因AD为三角形BC边上的中线，则，
而BE交AD于G，则，，
又点E在AC上，且AE=2EC，则有，显然有，且与不共线，
于是得，解得，即，，从而得，
，即有，则.
25．（2021·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
【标准答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【思路指引】
（1）由向量共线定理及平面向量基本定理即得；
（2）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得.
【详解详析】
（1）由A，M，N三点共线，得∥，设＝λ (λ∈R)，
即，
∴，
所以m＝n．
（2）因为＝m，＝n，EF的中点为M，BC的中点为N ,
∴,
又m＋n＝1，所以，
∴
，
故当m＝时，．
26．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）己知向量，满足，，，且与不共线．
（1）若向量与为方向相反的向量，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为，求与的夹角．
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由平面向量共线定理可设，，由，系数相等列方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算、、、的值，再由平面向量夹角公式即可求解.
【详解详析】
（1）因为向量与为方向相反的向量，
所以存在实数，使得，且与不共线，
所以，解得：或（舍）；
所以实数的值为；
（2）因为向量与的夹角为，，，
所以，
，
，
，
所以，
因为，所以.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 平面向量共线定理易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得成立，则满足条件的实数x的集合为（ ）
A．{－1，0} B．
C． D．{－1}
2．（2021·上海·高一课时练习）设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若 ，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
3．（2021·上海·高一课时练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
4．（2021·上海·高一课时练习）在给出的下列命题中，是假命题的是
A．设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线
B．若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形
D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
5．（2021·上海·高一课时练习）已知两非零向量，，其中 ，，，均为实数，集合，集合，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．即非充分又非必要条件
6．（2021·上海·高一月考）在中，为边上的点，且，满足则（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值12 D．有最小值16
7．（2021·上海·高一月考）在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海市金山中学高一期末）已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
9．（2021·上海交大附中高一期末）已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
10．（2021·上海·高一月考）如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）已知两点和，在直线上存在一点，使，那么点的坐标为__________.
12．（2021·上海·高一月考）已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且，，则___________．
13．（2021·上海·高一期末）如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______.
14．（2021·上海·高一课时练习）若实数满足，其中是边延长线（不含）上一点，则的取值范围为______.
15．（2021·上海·高一课时练习）已知，，，且，则_______
16．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
17．（2021·上海·高一课时练习）如图，在中，，，与交于点，若，则________
18．（2021·上海·高一课时练习）已知点在有向线段的延长线上，且，则实数的取值范围是______.
19．（2021·上海·高一期末）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________．
20．（2021·上海·高一月考）已知为单位圆的一条弦，为单位圆上的点，若（）的最小值为，当点在单位圆上运动时，的最大值为，则线段的长度为________
三、解答题
21．（2021·上海·高一单元测试）如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
22．（2021·上海中学高一期末）在的边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．
23．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）设，是两个互相垂直的单位向量，已知向量，，．
（1）若、、三点共线，求实数的值．
（2）若、、三点构成一个直角三角形，求实数的值．
24．（2021·上海·高一课时练习）如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
25．（2021·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
26．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）己知向量，满足，，，且与不共线．
（1）若向量与为方向相反的向量，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为，求与的夹角．
