编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 平面向量基本定理及坐标表示难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一月考）已知,,,,,为坐标原点,则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·上海·高一课时练习）如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若，且点落在第Ⅲ部分，则实数、满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021·上海·高一单元测试）在平行四边形中，，M是中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海·高一单元测试）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2021·上海·高一单元测试）已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海市延安中学高一期末）已知平面向量满足，且（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2021·上海·高一单元测试）设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海·高一期末）如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·上海·高一单元测试）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·上海·高一月考）如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设，，，且，记△BDF的面积为，则S的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海·高一月考）已知，，，且相异三点、、共线，则实数________.
12．（2021·上海·高一单元测试）已知向量，，若与平行，则实数的值为____．
13．（2021·上海·高一单元测试）在边长为1的正三角形中，向量，，，，且，则的最大值为__．
14．（2021·上海交大附中高一期末）已知向量，点，向量与方向相同，且，则点的坐标为______．
15．（2021·上海·高一课时练习）设两个向量和＝，其中λ、m、α为实数．若，则的取值范围是________．
16．（2021·上海·高一单元测试）在中,边上的中垂线分别交于点若,则_______
17．（2021·上海·高一课时练习）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为__．
18．（2021·上海·高一期末）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
19．（2021·上海·高一课时练习）设点是的外心，，则_______.
20．（2021·上海·高一课时练习）已知满足，，是的外心，且，则的面积是______.
三、解答题
21．（2021·上海·高一月考）在中，,BN与CM交于点E，记，试用和表示向量.
22．（2021·上海·高一月考）在中，，点为所在平面上一点，满足，（且）.
（1）试用表示；
（2）若点为的外心，求的值；
（3）若点在的角平分线上，当时，求的取值范围.
23．（2021·上海·高一月考）（1）如图，在平行四边形中，点是对角线的延长线上一点，且.记，试用向量表示.
（2）若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，求的取值范围；
（3）设，已知，当的面积最大时，求的大小.
24．（2021·上海·高一月考）如图，，定义平面坐标系为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：、分别为与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则规定点的斜坐标为.
（1）求以为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；
（2）已知点的斜坐标为，点的斜坐标为，求直线在该仿射坐标系中的方程.
25．（2021·上海·高一期末）如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，．
（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积．
26．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，．
（1）若，的坐标为，求；
（2）若，，求的最大值；
（3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 平面向量基本定理及坐标表示难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一月考）已知,,,,,为坐标原点,则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
法一：将,视为定点,根据、分别在 轴、 轴上,得到垂直关系, 是为直径的圆上的动点,的中点为圆心,根据圆心和的位置关系即可得取值范围.
法二：设的坐标,根据,得到,,整理式子至,利用均值不等式得出,则即可算出距离的取值范围.
【详解详析】
解：法一：将,视为定点,,视为以为直径的圆上的动点,的中点为,当过圆心,且在,之间时,取得最小值,在的延长线上时,取得最大值．
故选:C
法二：设,则,,,即,,取等号条件：,令,则或,解得．
故选:C
【名师指路】
本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.
2．（2021·上海·高一课时练习）如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若，且点落在第Ⅲ部分，则实数、满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【标准答案】B
【思路指引】
根据所给的图形知，点落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知与方向相同，与方向相反，得到与的符号．
【详解详析】
解：，
由于点落在第Ⅲ部分，
则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知与方向相同，
与方向相反，
，．
故选：B．
3．（2021·上海·高一单元测试）在平行四边形中，，M是中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
直接利用为基底，把转化为的计算，利用夹角公式求出.
【详解详析】
．
∴，∵∴．
故选：B
【名师指路】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
4．（2021·上海·高一单元测试）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.
【详解详析】
因为点是的三等分点，则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ，则有,
解可得或(舍），故，
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
5．（2021·上海·高一单元测试）已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解详析】
解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由，，
所以，，，，
所以，
所以.
故选：B
【名师指路】
本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.
6．（2021·上海市延安中学高一期末）已知平面向量满足，且（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【标准答案】B
【思路指引】
运用排除法可解决，由，若，可设；若，可设，即可得出答案.
【详解详析】
由，若，可设，
则，，，
由，即有，解得，故A错误；
若，可设，
则，，，
由，即有，解得，故CD错误.
故选：B.
【名师指路】
关键点睛：本题考查向量数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，解题的关键是举特例用排除法解决.
7．（2021·上海·高一单元测试）设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解详析】
因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
【名师指路】
关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
8．（2021·上海·高一期末）如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
将向量用表示，求得模长及，从而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.
【详解详析】
由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，
则，
，，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故选：D
【名师指路】
关键点点睛：表示出，计算得到，利用投影公式求解.
9．（2021·上海·高一单元测试）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由两定点满足，说明三点构成边长为2的等边三角形，设出两定点的坐标，再设出点的坐标，由平面向量基本定理，把点的坐标用的坐标及表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求出点所表示区域的面积
【详解详析】
由两定点满足，而，则，所以，则三点构成边长为2的等边三角形，不妨设，设，
由，得，
所以，解得，
由，得
，或，或，或，
可行域如图中矩形及其内部区域，则区域面积为，
故选：D
10．（2021·上海·高一月考）如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设，，，且，记△BDF的面积为，则S的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
面积为1的△ABC且可求出的面积，再由∽可得，从而有，求出三角形DEF的面积之后，利用基本不等式可求面积的最大值.
【详解详析】
分别过B，A作BMDE，ANDE，垂足分别为M，N，设MB=h1，AN=h2，
则
，
∽，
，
从而，
，
当且仅当时取等号，
即S的最大值是.
故选：D
【名师指路】
关键点点睛：本题以向量的共线为切入点，利用向量的共线转化为线段的长度关系,解决本题的关键是根据三角形的面积公式先求出三角形ADE的面积;关键二是把所求的三角形的面积与三角形ADE的面积之间通过三角形的像似建立联系.本题是一道构思非常巧妙的试题，要求考试不但要熟练掌握基础知识，更要具备综合解决问题的能力.
二、填空题
11．（2021·上海·高一月考）已知，，，且相异三点、、共线，则实数________.
【标准答案】
【思路指引】
本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.
【详解详析】
，，
因为相异三点、、共线，所以，
则，解得或，
当时，，、重合，舍去，
故，
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，求出的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.
12．（2021·上海·高一单元测试）已知向量，，若与平行，则实数的值为____．
【标准答案】2
【思路指引】
先求与的坐标，再根据向量平行的坐标条件列方程，解方程即可.
【详解详析】
因为，，
所以，，
又因为与平行，
所以，解得，
故答案为：2.
【名师指路】
关键点点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题的关键是熟记向量共线坐标所满足的条件.
13．（2021·上海·高一单元测试）在边长为1的正三角形中，向量，，，，且，则的最大值为__．
【标准答案】
【思路指引】
建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，利用基本不等式即可求得取值范围．
【详解详析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则点，，，，；
设点，，，，，，，，；
，，，，，；
，，
，
当且仅当时取“”；
故答案为：．
【名师指路】
关键点点睛：本题求解时关键在于通过建系设元、将问题转化为基本不等式求最值问题．
14．（2021·上海交大附中高一期末）已知向量，点，向量与方向相同，且，则点的坐标为______．
【标准答案】
【思路指引】
设出点的坐标，结合题意列出方程组，解出方程组即可求解.
【详解详析】
设，则，
因向量与方向相同，且，
所以，
计算得，因此点的坐标为.
故答案为：.
15．（2021·上海·高一课时练习）设两个向量和＝，其中λ、m、α为实数．若，则的取值范围是________．
【标准答案】
【思路指引】
由题得，由三角函数的性质可求出≤m≤2，即求.
【详解详析】
∵2＝，，
∴，且，
∴，即，
又∵，，
∴
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，
∴，又∵λ＝2m－2，
∴，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：
16．（2021·上海·高一单元测试）在中,边上的中垂线分别交于点若,则_______
【标准答案】4
【详解详析】
设，则，
，又，即，故答案为.
17．（2021·上海·高一课时练习）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为__．
【标准答案】
【思路指引】
连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用 三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论．
【详解详析】
是所在平面内的一点，连接，
延长 至使，延长至使 ，
如图示： ，
连接，则四边形 是平行四边形（向量和向量 平行且模相等）
由于 ，所以，所以
在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半
故与的面积比
故答案为
【名师指路】
本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．
18．（2021·上海·高一期末）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【标准答案】.
【思路指引】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解详析】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【名师指路】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
19．（2021·上海·高一课时练习）设点是的外心，，则_______.
【标准答案】
【思路指引】
由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来进行求解
【详解详析】
设为平面内的一组基底.如图所示，
设为的中点，连接，则.
又∵，
∴
.
【名师指路】
考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向量有关的向量进行表示
20．（2021·上海·高一课时练习）已知满足，，是的外心，且，则的面积是______.
【标准答案】或
【思路指引】
设的中点为，根据条件和是的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求得和、、三点共线，在直角三角形中求出，代入三角形的面积公式求出的面积；当时，，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出的面积.
【详解详析】
如图：，是的外心，设的中点为，
∵，
∴，
则，
∴，即、、三点共线.
∵是的外心，当时， ，则，
∴，
∴的面积；
当时，此时，即，
∴的面积，
综上可得，的面积是或.
故答案为：或.
【名师指路】
本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题.
三、解答题
21．（2021·上海·高一月考）在中，,BN与CM交于点E，记，试用和表示向量.
【标准答案】
【思路指引】
利用平面向量基本定理进行转化与求解，关键要确定点E在AC上的具体位置，可以利用待定系数法设出两向量的倍数关系，选取为基底，用两种不同方法表示出，利用表示法唯一确定出点E的准确位置．
【详解详析】
解：由已知得，
设，则，
而，
，
，
同理，设，
则，
，
，
由与是不共线向量，得，
解得，
，
即．
【名师指路】
此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难．通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用．考查学生对平面向量基本定理的认识和理解．
22．（2021·上海·高一月考）在中，，点为所在平面上一点，满足，（且）.
（1）试用表示；
（2）若点为的外心，求的值；
（3）若点在的角平分线上，当时，求的取值范围.
【标准答案】（1） ；（2） （3）.
【思路指引】
（1）可化简，化简后可用表示.
（2）由点为的外心可得，，利用这两个关系式可求的值.
（3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围.
【详解详析】
（1）因为，所以，
化简后可得即.
（2）如图，设、的中点为，连接，则，.
又，同理，
所以即，
同理，整理得到，
解得.
（3）如图，为的平分线，则.
设，.
故，
因不共线，故，所以，
因为，故.
又,
故，所以.
故的取值范围为.
【名师指路】
本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题.
23．（2021·上海·高一月考）（1）如图，在平行四边形中，点是对角线的延长线上一点，且.记，试用向量表示.
（2）若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，求的取值范围；
（3）设，已知，当的面积最大时，求的大小.
【标准答案】（1）；（2）；（3）60°.
【思路指引】
（1）由向量的线性运算可得，即，，最后用表示即可；
（2）设交于点，平分于点，，
设，就可以用表示，从而求得其取值范围；
（3）引入参数，，，已知条件为化，，变形得，三角形面积为，求出的最大值后，可得。
【详解详析】
（1）；
（2）设交于点，平分于点，设，
，，，
∴，
∵，∴，即所求取值范围是；
（3）记，，，则化为，，∴，∴ ，，
，
又当且仅当，即时，等号成立，
∴的最大值为，此时.
【名师指路】
本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积及其性质，考查三角形面积、余弦定理、基本不等式求最值．对学生的运算求解能力，推理论证能力要求较高，属于难题．
24．（2021·上海·高一月考）如图，，定义平面坐标系为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：、分别为与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则规定点的斜坐标为.
（1）求以为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；
（2）已知点的斜坐标为，点的斜坐标为，求直线在该仿射坐标系中的方程.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）先设出直角坐标下沿轴，轴的方向向量，再根据仿射坐标系的定义，写出,转化为直角坐标，并利用坐标变换以及圆在直角坐标下的方程即可求出；
（2）利用向量共线即可求出.
【详解详析】
解：（1）设在直角坐标系下，沿轴，轴的方向向量分别为，，
又在仿射坐标系中，，
，，
又，
即在直角坐标系下的坐标为，
又圆心坐标为，半径为，
，
即，
即，
在仿射坐标系中圆的方程为；
（2），，
，，
，
设为直线上任意一点，
则，
又，
故，使，
即，
即 ，
消去得：，
故直线在该仿射坐标系中的方程为：.
【名师指路】
方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
25．（2021·上海·高一期末）如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，．
（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积．
【标准答案】（1），；（2）；（3）4．
【思路指引】
（1）用，作为基底表示出向量，，根据向量相等得到方程组，即可解得；
（2）根据向量加法运算法则，计算可得；
（3）先由，又，再根据可得．
【详解详析】
（1），，，
，，
，，
，，
，
又，
，解得．
（2）由（1）知，，
．
（3），，
，
又，
．
【名师指路】
关键点睛：第（1）问的关键是用基底表示向量，然后解方程组；第（2）问的关键是运用向量的加法；第（3）问的关键是寻找面积之间的关系.
26．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，．
（1）若，的坐标为，求；
（2）若，，求的最大值；
（3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值．
【标准答案】（1）；（2）12；（3）、、、．
【思路指引】
利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值．
【详解详析】
（1）由题意，，
∴，
，
∴由，则、，故；
（2）由题意，，
∴，
，
∴由，则、，即，
∴当时，的最大值为12；
（3），
，
∴，，
∵△为等边三角形，
∴，
∴，
， 整理得：且，
∴或或或，
综上，当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，；
【名师指路】
关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值.
