编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 平面向量的数量积重难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海中学高一期中）现给出以下4个命题：
（1）对于任意的向量，都有；
（2）已知向量，，，若且，则；
（3）已知三个非零向量，，，则与不垂直；
（4）已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【标准答案】C
【思路指引】
对于（1）：根据两个向量的数量积是一个数即可判断出答案；
对于（2）：根据条件可得出；
对于（3）：判断的值是否为0即可；
对于（4）：根据条件可得出或，从而判断出或.
【详解详析】
对于（1）：对于任意的向量，都有，所以（1）错误；
对于（2）：已知向量，，，若且，则，所以，所以和可能相等，也可能不相等，故（2）错误；
对于（3）：，所以与垂直，故（3）错误；
对于（4）：或，故（4）正确.
故选：C.
2．（2021·上海市建平中学高一期末）如图所示，半径为1的圆始终内切于直角梯形，则当的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【标准答案】C
【思路指引】
以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，求出、、的坐标，设出与的坐标，得到所在直线方程，由到的距离为1可得与的关系，然后分析两个命题得结论．
【详解详析】
解：建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，
设，，，
则所在直线方程为，即，
由题意，，整理得，
，，，，
，当的长度增加时，增大，则越来越小，故①正确；
，
，
当的长度增加时，增大，是变化的，故②错误．
故选：．
3．（2021·上海·华师大二附中高一月考）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，若m、M分别为的最小值、最大值，其中，，则m、M满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【标准答案】D
【思路指引】
利用向量的数量积公式，分析出任意两个向量的数量积，然后结合展开式分析即可求出结果.
【详解详析】
利用向量的数量积公式，可知只有2组，
有4组，
其余19组向量的数量积均小于0，且最大值为，
而的展开式代表的是其中的9组的和，
所以25组中取出9组相加，和均小于0，而m、M分别为的最小值、最大值，所以，，
故选：D.
4．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由题意，则，代入题干数据，结合二次函数的性质，即得解
【详解详析】
由题意，向量与共线，
故存在实数，使得
当且仅当时等号成立
故选：D
5．（2021·上海·高一月考）已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是
A．[，0） B．[，0] C．[，1） D．[，1]
【标准答案】A
【详解详析】
建立如图所示的坐标系，
到直线的距离，
则，
的取值范围是，
故选A.
6．（2021·上海·高一月考）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【标准答案】A
【思路指引】
先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解详析】
设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【名师指路】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
7．（2021·上海·高一期末）在中，若，则角的大小为
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.
【详解详析】
，，
，由正弦定理边角互化思想得，
，，同理得，
，，则，解得，
中至少有两个锐角，且，，所以，，
，因此，，故选D.
【名师指路】
本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.
8．（2021·上海·高一期中）在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由，利用正弦定理得到，再由，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到，进而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的两边点乘，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x，y的方程组求解.
【详解详析】
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
如图所示：
由正弦定理得：，
因为，
则，
所以，
即，
则，
所以，
即，
，
.
故选：A.
【名师指路】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题.
9．（2021·上海·高一单元测试）在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ）．
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立直角坐标系，设，，，由题意写出，，，的坐标，由结合向量的数量的坐标表示可得关于的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求出得值，进而可得正确答案.
【详解详析】
以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立直角坐标系，
设，，，则，，，，
所以，，，，
，，
因为对于边上任一点都成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立即
若，则恒成立，故恒成立，故，
若，则恒成立，故恒成立，故，
故即点在的垂直平分线上，所以，
故选：D
【名师指路】
关键点点睛：本题关键想到建立直角坐标系将转化为坐标，设，设，，，写出各点坐标即可写出，，，的坐标，可得恒成立，利用二次函数的性质求出，可得点在的垂直平分线上即
10．（2021·上海·高一月考）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.
【详解详析】
如图:令，，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
【名师指路】
思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.
二、填空题
11．（2021·上海交大附中高一期末）设直线，互相垂直于，，是直线上的两个定点，满足，、是直线上的两个动点，满足，若的最小值是，则______．
【标准答案】2
【思路指引】
根据题意，设直线，分别为平面直角坐标系中的轴与轴，结合向量的坐标运算即可求解.
【详解详析】
根据题意，设直线，分别为平面直角坐标系中的轴与轴，
设，，
由，得，
由，得，
故，
因此当时，取最小值，故 ，即，
因此.
故答案为：.
12．（2021·上海市延安中学高一期末）如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆(前轮)、圆(后轮)的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形；设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为______.
【标准答案】
【思路指引】
根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
【详解详析】
解：据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：
则，，，，．
圆的方程为，
可设，，，
所以，，．
故
，当且仅当时，取得最大值36．
故答案为：36．
13．（2021·上海市建平中学高一期末）中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足．且，若存在动点满足，且，则的最大值为______．
【标准答案】
【思路指引】
依题意可得，由正弦定理得，由，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，结合前面条件及同角三角函数的基本关系可得，，由向量数量积的定义得到，可令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，根据与得到与的等量关系，可求得的最大值为．
【详解详析】
解：由中，三边，，满足成等差数列得，由正弦定理得，
由，所以，所以，即，因为，所以，所以，由，即，所以，代入可得，，由，所以，所以，令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图：
则，，，设，
根据得，，，
由得，，，，，
，得，的最大值为，当且仅当时取等号．
故答案为：．
14．（2021·上海市市西中学高一期中）非零向量与满足，且，则的形状为_______________________．
【标准答案】等边三角形．
【思路指引】
通过数量积为，判断三角形是等腰三角形，由求出角，即可求解.
【详解详析】
和分别是和的单位向量，所以，，
且在的角平分线上，
因为，
所以与垂直，
所以，即是等腰三角形，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等边三角形，
故答案为：等边三角形.
15．（2021·上海宝山·高一期末）如图，在直角三角形ABC中，斜边AB＝4，，以斜边AB为一边向外作矩形ABMN，且BM＝2（其中点M、N与C在直线AB两侧），则的取值范围是________．
【标准答案】
【思路指引】
设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，把表示为关于的三角函数可解决此题．
【详解详析】
解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，
．
，，，，，
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．
16．（2021·上海市建平中学高一期中）如图，已知中，弦，，则的值为________
【标准答案】
【思路指引】
取的中点，连接，证明出，同理可得出，结合平面向量的线性运算可求得结果.
【详解详析】
如下图所示，取的中点，连接，则，
，同理，
因此，.
故答案为：.
17．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知平面上三点、、满足，，，则的值等于______
【标准答案】
【思路指引】
先判断出，然后根据数量积的计算公式完成求解.
【详解详析】
因为，，，
所以，所以，
所以原式
，
故答案为：.
18．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是______
【标准答案】
【思路指引】
建立平面直角坐标系，设出M点的坐标，求出点的坐标，从而得到关于的三角函数，通过三角函数求最值的方法即可得出答案.
【详解详析】
以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，因为，所以的轨迹是以为原点，2为半径的圆，
所以设，
因为，所以为的中点，所以，
所以，
所以，其中，
所以当时，取最小值，所以取最小值；
当时，取最大值，所以取最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
19．（2021·上海市第二中学高一月考）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
【标准答案】
【思路指引】
根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解详析】
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的点要注意和“内心”作区分.
20．（2021·上海·高一课时练习）设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，
则的最大值等于________．
【标准答案】2
【思路指引】
由题意，可得，，从而可得当时，；当时，，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案．
【详解详析】
解：，为单位向量，和的夹角等于，
，
当时，则；
非零向量，
，
当时，
，
故当时，取得最大值为2，
综上，取得最大值为2．
故答案为：2．
三、解答题
21．（2021·上海静安·高一期末）已知，，且.
（1）求向量与的夹角大小；
（2）求.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）根据向量的数量积运算律求解即可；
（2）根据向量模的运算求解即可.
【详解详析】
解：（1），，
，
，
即，
即，
又，
向量与的夹角为：；
（2）.
22．（2021·上海徐汇·高一期末）在中，设 ，记 的面积为．
（1）求证： ；
（2）设 求证：．
【标准答案】（1）具体见解析；（2）具体见解析.
【思路指引】
（1）根据三角形面积公式结合平面向量定义即可证明；
（2）根据（1），将坐标代入，根据平面向量的坐标运算即可证明.
【详解详析】
（1）
.
（2）由（1），
.
23．（2021·上海市建平中学高一期中）已知△的角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）由正弦定理和三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式、同角的商数关系，可得所求值；
（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，可得所求值．
【详解详析】
解：（1）由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，
又，所以；
（2）因为，，
所以，
所以，
则，
所以．
24．（2021·上海·高一期末）已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）且.
【思路指引】
（1）由垂直的坐标表示可得；
（2）由且与不同向可得．
【详解详析】
解，
，
解得.
向量与的夹角为锐角，且与不同向
解得且. (没有扣2分）
25．（2021·上海·高一课时练习）已知与同向，，．
（1）求的坐标；
（2）若，求及的值．
【标准答案】（1） ；（2） ，，．
【思路指引】
（1）设，运用数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，列出方程，解得即可得到；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和数乘运算，即可得到．
【详解详析】
解：（1）设，
，
由于，则，
解得，，，
符合同向，
则；
（2），
即有；，，．
26．（2021·上海·高一课时练习）已知，．
（1）求证：与互相垂直；
（2）若与的模相等，求．(其中k为非零实数)
【标准答案】（1）证明见解析 ；（2）．
【思路指引】
（1）利用平面向量的坐标运算，计算并化简，进而可得到答案；
（2）先根据平面向量的坐标运算求出和，令其相等，并根据角的范围求得答案.
【详解详析】
（1）因为
，所以与互相垂直.
（2）因为，
，
所以，
，
因为若与的模相等，所以，而k为非零实数，
所以，
而，则，所以.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 平面向量的数量积重难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海中学高一期中）现给出以下4个命题：
（1）对于任意的向量，都有；
（2）已知向量，，，若且，则；
（3）已知三个非零向量，，，则与不垂直；
（4）已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2021·上海市建平中学高一期末）如图所示，半径为1的圆始终内切于直角梯形，则当的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
3．（2021·上海·华师大二附中高一月考）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，若m、M分别为的最小值、最大值，其中，，则m、M满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2021·上海·高一月考）已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是
A．[，0） B．[，0] C．[，1） D．[，1]
6．（2021·上海·高一月考）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
7．（2021·上海·高一期末）在中，若，则角的大小为
A． B． C． D．
8．（2021·上海·高一期中）在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A． B． C． D．
9．（2021·上海·高一单元测试）在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ）．
A． B． C． D．
10．（2021·上海·高一月考）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
11．（2021·上海交大附中高一期末）设直线，互相垂直于，，是直线上的两个定点，满足，、是直线上的两个动点，满足，若的最小值是，则______．
12．（2021·上海市延安中学高一期末）如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆(前轮)、圆(后轮)的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形；设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为______.
13．（2021·上海市建平中学高一期末）中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足．且，若存在动点满足，且，则的最大值为______．
14．（2021·上海市市西中学高一期中）非零向量与满足，且，则的形状为_______________________．
15．（2021·上海宝山·高一期末）如图，在直角三角形ABC中，斜边AB＝4，，以斜边AB为一边向外作矩形ABMN，且BM＝2（其中点M、N与C在直线AB两侧），则的取值范围是________．
16．（2021·上海市建平中学高一期中）如图，已知中，弦，，则的值为________
17．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知平面上三点、、满足，，，则的值等于______
18．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）已知中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是______
19．（2021·上海市第二中学高一月考）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
20．（2021·上海·高一课时练习）设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，
则的最大值等于________．
三、解答题
21．（2021·上海静安·高一期末）已知，，且.
（1）求向量与的夹角大小；
（2）求.
22．（2021·上海徐汇·高一期末）在中，设 ，记 的面积为．
（1）求证： ；
（2）设 求证：．
23．（2021·上海市建平中学高一期中）已知△的角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
24．（2021·上海·高一期末）已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
25．（2021·上海·高一课时练习）已知与同向，，．
（1）求的坐标；
（2）若，求及的值．
26．（2021·上海·高一课时练习）已知，．
（1）求证：与互相垂直；
（2）若与的模相等，求．(其中k为非零实数)
