编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题06 平面向量的应用专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）已知点，点，点的横坐标、纵坐标都为整数，则的面积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．（2021·上海·高一课时练习）在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
3．（2021·上海·高一课时练习）在四边形中，，且·＝0，则四边形是
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．（2021·上海·高一单元测试）在△ABC ，有命题①若 0 ,则△ABC 为锐角三角形；② 0 ；③ 0 ,则△ABC 为等腰三角形；④ ，以上命题正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
5．（2021·上海·高一课时练习）如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点、、），是圆上及其内部的动点，设（），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·上海·高一课时练习）如图所示，正八边形的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·上海·高一单元测试）非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．（2021·上海南汇中学高一期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·上海·高一期中）在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·上海·高一期中）在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）已知是锐角的外心，．若，则实数______．
12．（2021·上海·高一课时练习）在中，是的中点，，，则线段长的最小值为___________
13．（2021·上海·高一课时练习）已知平行四边形，，，A为锐角，且，点是边上一定点，点P是边上一动点，若恒成立，则______.
14．（2021·上海闵行·高一期末）正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
15．（2021·上海·高一单元测试）已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．
16．（2021·上海市第二中学高一月考）如图，已知是边长为的正六边形的一条边，点在正六边形内(含边界)，则的取值范围是___________.
17．（2021·上海·高一月考）已知点在以为圆心的圆弧上运动，且，若，则的取值范围为________.
18．（2021·上海·高一月考）在△中，，，则的最大值为_______.
19．（2021·上海·高一月考）设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为___________.
20．（2021·上海·高一单元测试）设H是的垂心，且，则______.
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）在一个平面内，一质点受三个力、、的作用保持平衡（即、、的和为零向量），其中与的夹角为，与的夹角为.
（1）若，，，求力、的大小；
（2）若，求与.（用反三角函数表示）
22．（2021·上海·高一月考）已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．
（1）求的值；
（2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
23．（2021·上海·高一单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长.
24．（2021·上海·高一期末）（1）对于平面向量，，求证：，并说明等号成立的条件；
（2）我们知道求的最大值可化为求的最大值，也可以利用向量的知识，将构造为两个向量的数量积形式，即：令，，则转化为，求出最大值．利用以上向量的知识，完成下列问题：
①对于任意的，求证：；
②求的最值．
25．（2021·上海·高一月考）已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.
（1）求；
（2）证明：；
（3）当重合时，求的面积.
26．（2021·上海·高一月考）已知在平面直角坐标系中，点 点（其中 为常数，且），点为坐标原点．
（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含 的式子表示）
（3）若，，求的最小值．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题06 平面向量的应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一课时练习）已知点，点，点的横坐标、纵坐标都为整数，则的面积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【标准答案】C
【思路指引】
利用结论，，则求出三角形面积，分析可得最小值（需要先证明此结论）．
【详解详析】
先证明一个结论，
若，，
则，下面对此作出证明：
在本题中，设，
则，，
所以，
因为，都是整数，所以，
所以．
故选：C．
【名师指路】
结论点睛：本题考查三角形的面积，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标常常是已知的，此时有结论：，，则．
2．（2021·上海·高一课时练习）在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
【标准答案】C
【详解详析】
由知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
选C
3．（2021·上海·高一课时练习）在四边形中，，且·＝0，则四边形是
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【标准答案】A
【思路指引】
由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解详析】
∵，
∴与平行且相等，
∴四边形为平行四边形．
又，
∴，
即平行四边形的对角线互相垂直，
∴平行四边形为菱形．
故选A．
【名师指路】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
4．（2021·上海·高一单元测试）在△ABC ，有命题①若 0 ,则△ABC 为锐角三角形；② 0 ；③ 0 ,则△ABC 为等腰三角形；④ ，以上命题正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
【标准答案】C
【思路指引】
根据平面向量的计算法则对命题逐一判断即可．
【详解详析】
解：①若0，则∠BAC是锐角，但此角未必是最大角，A错误；
②；根据平面向量的三角形法则判断正确；
③若（）（）＝0，得到，所以AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，正确；
④；应该为，错误，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用，属于基础题．
5．（2021·上海·高一课时练习）如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点、、），是圆上及其内部的动点，设（），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
建立如图所示平面直角坐标系，可得的坐标，进而可得的坐标．分类讨论，当动圆的圆心在上运动或在上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点坐标，再利用三角函数求的最值．
【详解详析】
解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，
，可得，
当点在上运动时，设，
则点在圆：上及内部，
故可设，
则，
，
，
，
当时，取最小值为，即；
当时，取最大值为，即，
的取值范围是；
当点在上运动时，设，
则点在圆：上及其内部，
故可设，
则，
，
，
，
当时，取最小值为，即；
当时，取最大值为，即，
的取值范围是；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2021·上海·高一课时练习）如图所示，正八边形的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先根据正八边形的几何性质，求得的长度，然后结合向量的数量积的几何意义判断当在何位置时取到最值.
【详解详析】
连接，
因为正八边形的的每一个内角都是，则，
，
，
，
，
，
由向量数量积的几何意义可得，
当与重合时，取最小值，
为，
当与重合时，取最大值，
为，
则的取值范围为，
故选：B.
7．（2021·上海·高一单元测试）非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【标准答案】D
【思路指引】
先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状．
【详解详析】
，，分别为单位向量，
的角平分线与垂直，
，
，
，
，
为等边三角形．
故选：D．
8．（2021·上海南汇中学高一期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
如图所示：以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，设根据得到，即得到答案.
【详解详析】
如图所示：以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系.
设，则，，设，
即 恒成立
恒成立，故 即在的垂直平分线上，
故选：
【名师指路】
本题考查了向量的恒成立问题，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键.
9．（2021·上海·高一期中）在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
作出图形，，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，在中用余弦定理解得AE，在中用面积公式求得面积，再乘以2可得．
【详解详析】
如图所示，
∵，所以O为的重心，
连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，
则四边形ABFC为平行四边形，
，，
，
即，又因为，所以，
∴，，
设，则，
在中由余弦定理得，
即，解得，即.
又，
∴.
故选：D.
【名师指路】
本题考查解三角形的应用，考查三角形中的几何计算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
10．（2021·上海·高一期中）在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积.
【详解详析】
根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示：
根据题意，可得坐标如下：
，
设点的坐标为，由
可得：，
故可得.则点坐标为.
设点的坐标为，由，
由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是：
以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界.
故可得，
故可得,则.
则以为一组邻边的平行四边形的面积
.
故选：.
【名师指路】
本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通过几何方法确定点的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题.
二、填空题
11．（2021·上海·高一课时练习）已知是锐角的外心，．若，则实数______．
【标准答案】
【思路指引】
设外接圆的半径为，对原式进行化简可得 ，再根据角的关系可得， ，再利用三角恒等变化，即可求解．
【详解详析】
解：设外接圆的半径为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
即，
故，
故，
故，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了正弦定理的应用，平面向量运算的应用以及三角恒等变换的应用，属于中档题．
12．（2021·上海·高一课时练习）在中，是的中点，，，则线段长的最小值为___________
【标准答案】
【思路指引】
由平方得：，再由可得，进而利用基本不等式可得最小值.
【详解详析】
由平方得：.
又，所以.
所以.
当且仅当时，取最小值.
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算，考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.
13．（2021·上海·高一课时练习）已知平行四边形，，，A为锐角，且，点是边上一定点，点P是边上一动点，若恒成立，则______.
【标准答案】1
【思路指引】
建立如图所示的直角坐标系，可得，设，，则可计算出取最小值是对应的即为，即可得解.
【详解详析】
建立如图所示的直角坐标系，
A为锐角，且，则，
则，即，又，即，
，可知，
设，，
，
当时，取得最小值为0，此时，
若恒成立，则，
.
故答案为：1.
【名师指路】
本题考查向量数量积的运算，建立直角坐标系利用坐标运算是解决此类问题的有效方法，属于基础题.
14．（2021·上海闵行·高一期末）正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
【标准答案】
【思路指引】
建立坐标系，根据求出点的坐标，设出的坐标分别为，，将，转化为关于的函数，即可得其最小值.
【详解详析】
以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴，建立坐标系，则，，
所以，
所以，即点坐标为，
设，则，，
所以，，
所以，
当且时，有最小值为，
故答案为：
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键点是以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴建立坐标系，则，，利用求出点的坐标，设出的坐标分别为，，，利用二次函数的性质可求最小值.
15．（2021·上海·高一单元测试）已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．
【标准答案】
【思路指引】
根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出．
【详解详析】
解：，，
，，，，
，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
令，
令，，，，，
则，此时，，
则当时，则的最小值为．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将转化为动点到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．
16．（2021·上海市第二中学高一月考）如图，已知是边长为的正六边形的一条边，点在正六边形内(含边界)，则的取值范围是___________.
【标准答案】
【思路指引】
取的中点，利用向量的线性运算可推导得到，将问题转化为取值范围的求解问题，由正六边形性质可知当与或重合时，最大；当与重合时，最小，由范围可求得结果.
【详解详析】
如图，取的中点，
由已知得：，则，，
.
以为圆心， (为边的对边的中点)为半径作圆，
由正六边形的性质可知，该圆与边相切于点，且点为或点时，最大，
此时.
；
当与重合时，最小；
，即的取值范围为.
故答案为：.
【名师指路】
方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
17．（2021·上海·高一月考）已知点在以为圆心的圆弧上运动，且，若，则的取值范围为________.
【标准答案】
【思路指引】
设为直角坐标系的x轴，建立平面直角坐标系.记与夹角为,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到(其中),结合三角函数的图象和性质,可得答案.
【详解详析】
设为直角坐标系的x轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记与夹角为,
则，，代入,有,
∴，∴，故(其中),
,，而，,
当时，取最大值，当,即时,取最小值2，
∴的取值范围为，
故答案为: .
【名师指路】
本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.
18．（2021·上海·高一月考）在△中，，，则的最大值为_______.
【标准答案】
【思路指引】
根据向量的数量积运算和余弦定理得，再由正弦定理和三角函数的恒等变换得，，可求得最值.
【详解详析】
在△中，，，由正弦定理得, ,
∴,
， ，
，
， ，
所以的最大值为，
故答案为：.
【名师指路】
此题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式，以及向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理进行三角形的边角互化，运用三角函数求最值是解本题的关键，属于中档题．
19．（2021·上海·高一月考）设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为___________.
【标准答案】
【思路指引】
关键把转化为含定值的形式，取的中点，再由的轨迹，可求得的最大值与最小值，进而可求得取值范围．
【详解详析】
解：设正六边形外接圆的圆心为，正六边形的边长为，所以半径为，
设的中点为，则，
因为与为相反向量，所以，，
所以，因为，所以在以为圆心，以2为半径的圆上，
，，
的最大值为，最小值为，
所以的取值范围为．
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
20．（2021·上海·高一单元测试）设H是的垂心，且，则______.
【标准答案】
【思路指引】
利用三角形的垂心与向量的关系得解.
【详解详析】
先证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
证明：如图2延长与边相交于点则
图1 图2
再证明：是的垂心
证明：如图为三角形的垂心，
同理得，
由以上结论得：
是的垂心
由题设得.再由，得，.故.
故答案为:
【名师指路】
本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）在一个平面内，一质点受三个力、、的作用保持平衡（即、、的和为零向量），其中与的夹角为，与的夹角为.
（1）若，，，求力、的大小；
（2）若，求与.（用反三角函数表示）
【标准答案】（1），；（2），.
【思路指引】
（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据及力的夹角，即可求得、的大小。
（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出与的值。
【详解详析】
（1）因为质点在、、的作用保持平衡
所以，所以
，， 所以
由平面向量数量积可得
将代入可得
反向延长，可得如下图所示：
则
所以
（2）因为，且处于平衡状态
所以、、为边长的三角形为直角三角形
其关系可用下图表示：
则，所以
所以
所以
【名师指路】
本题考查了平面向量与物理中力的关系，向量模的运算及三角函数定义，注意反三角函数的应用，属于中档题。
22．（2021·上海·高一月考）已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．
（1）求的值；
（2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【标准答案】（1）1；（2），或且.
【思路指引】
（1）由数量积的定义计算；
（2）由数量积的运算法则计算出，解不等式，并去除掉向量共线的取值即可得．
【详解详析】
（1）；
（2）
，
因为与的夹角为锐角，
所以，即，
解得或.
又由和共线，解得，
所以实数的取值范围是或且.、
【名师指路】
本题考查向量的数量积．向量夹角为锐角是的充分不必要条件，夹角为0（即同向时）也有，同样向量夹角为钝角是的充分不必要条件．
23．（2021·上海·高一单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长.
【标准答案】.
【思路指引】
设，，用向量加减法法则有，，再把向量的模（线段的长）进行平方转化为数量积运算可得．
【详解详析】
设，，则，，
而，
所以，所以，
又，
所以，即.
24．（2021·上海·高一期末）（1）对于平面向量，，求证：，并说明等号成立的条件；
（2）我们知道求的最大值可化为求的最大值，也可以利用向量的知识，将构造为两个向量的数量积形式，即：令，，则转化为，求出最大值．利用以上向量的知识，完成下列问题：
①对于任意的，求证：；
②求的最值．
【标准答案】（1）证明见解析，当且仅当时，即或，等号成立；（2）①证明见解析；②最大值为5，最小值为3.
【思路指引】
(1)由向量的数量积的定义并结合余弦函数的有界性即可证明；
（2）①设，再结合即可得证明；
②设，则，再结合向量数量积的几何意义求解即可.
【详解详析】
解：（1）设，所以
当且仅当时，即或，等号成立
（2）①设，则
∵，∴
两边平方得：．
②，所以，
所以
因为点在以圆点为圆心，1为半径的单位圆上的，即第一象限及，；
当时，在上的投影最小，即的最小值为3；
当共线同向时取得最大值，即的最大值为5，当且仅当时取得最大值．
【名师指路】
本题考查向量的综合应用，考查运算求解能力，知识迁移与应用能力，是中档题.本题第二问的第二小问的解题的关键在于令，注意到为单位向量，进而利用向量几何意义（投影的概念）求解.
25．（2021·上海·高一月考）已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.
（1）求；
（2）证明：；
（3）当重合时，求的面积.
【标准答案】（1）； （2）证明见解析；（3）.
【思路指引】
（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；
（2）利用余弦定理，求得，然后求出，从而得到，即可得到结论；
（3）根据向量的夹角公式，求得和，从而求得和的值，当重合时，，求得，最后根据三角形的面积公式和，即可求解.
【详解详析】
（1）在中，因为，且，
可得，
则，所以.
（2）由（1）与已知，可得，
由余弦定理可得，
又因为，则，
则，所以.
（3）由已知可得，
因为，所以，
，
因为
，
所以，
当重合时，，解得，解得，
此时，
所以，
可得，
所以.
【名师指路】
解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则 运算律和性质求解.
26．（2021·上海·高一月考）已知在平面直角坐标系中，点 点（其中 为常数，且），点为坐标原点．
（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含 的式子表示）
（3）若，，求的最小值．
【标准答案】（1）；（2）；（3）.
【思路指引】
（1）利用向量的线性运算，将代入，再由求解.
（2）易得对任意正整数，，且，有，，从而求解.
（3）当时，设线段上存在一点，使得，，且存在点，，然后转化为，利用线段和最小求解.
【详解详析】
（1）因为,
而点为线段上靠近点的三等分点，
所以，
所以，
所以.
（2）由题意得，
，
所以，
事实上，对任意正整数，，且，
有，
，
所以
所以，
（3）当时，线段上存在一点，
使得，，
且存在点，，
则，
，
所以，
即线段上存在一点，到点和点的距离之和，
如图所示：
作点关于线段的对称点，
则最小值为.
【名师指路】
方法点睛：在直线l上存在点P,使得最小和最大问题：
当点A，B在直线l的异侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最小；
作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最大；
当点A，B在直线l的同侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最大；
作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最小；
