编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题07 向量新定义题型专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．对于非零向量，定义运算”×”：，其中为的夹角．设为非零向量，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据已知条件中新定义的运算逐项分析即可.
【详解详析】
A：因为，故A正确；
B：因为，所以，即或，所以，故B正确；
C：因为（为与的夹角），
而（为的夹角，为的夹角），
所以与不一定相等，故C错误；
D：因为，故D正确.
故选：C.
2．已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫着把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由已知可得，然后根据所给的定义可得的坐标，从而可求出点的坐标
【详解详析】
解：由，，得，
则由题意可得
所以点的坐标为，
故选：C
3．平面内任意给定一点和两个不共线的向量，，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成，的线性组合，，则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标，记为，在仿射坐标系 下，，为非零向量，且，，则下列结论中（ ）
① ②若，则
③若，则 ④
一定成立的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
利用向量的新定义结合向量的性质逐个分析判断即可
【详解详析】
在仿射坐标系下，设，因为，，所以，，所以，所以，①正确；
若，则，所以，
，故②不一定正确；
因为，所以存在唯一的实数，使得，则，所以，，所以，所以③正确；
，由②知，，所以④不一定正确，
所以正确的有2个，
故选：B
4．设向量=(a1，b1)，=(a2，b2)，定义一种运算“ ”，向量 =(a1，b1) (a2，b2)=(a2b1，a1b2).已知，，点P(x，y)在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动且满足= +(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据平面向量新定义可得，由题意可得点Q的纵坐标在上变化，结合的值域即可得出最小值.
【详解详析】
由题意知，点P的坐标为，
则= +=.
则是满足当横坐标为时，纵坐标为的函数，
又，所以点Q的纵坐标在上变化，因此的最小值为.
故选：B
5．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式求解.
【详解详析】
则
，
故选：B
【名师指路】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据，，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式求解.
【详解详析】
，，
，，
，则，
.
故选：B.
7．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若，，线性相关，则（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【标准答案】A
【思路指引】
由题意，存在不全为0的实数，，，使得成立，代入坐标，列出方程组，即得解
【详解详析】
依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，，，
使得成立，
故，由得，，代入，得，由于，，不全为0.故，则.
故选：A
8．对于非零向量、，定义运算“”：，其中为、的夹角，有两两不共线的三个向量、、，下列结论：①若，则；②；③若，则；④；⑤；其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
由向量不共线可判断①、③；由新定义运算可判断②、⑤；举出反例可判断④；即可得解.
【详解详析】
由向量、、两两不共线可得①、③错误；
对于②，，，所以，
故②正确；
对于④，若、、均为单位向量且两两夹角均为，如图，
易得，，
所以，
，
所以，故④错误；
对于⑤，，，
故⑤正确.
故选：B.
9．如图，定义、的向量积，为当、的起点相同时，由的方向逆时针旋转到与方向相同时，旋转过的最小角，对于，，的向量积有如下的五个结论：
①； ②；
③； ④；
⑤；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
结合题目中的新定义的概念逐项分析即可得出结论.
【详解详析】
①至少有一个为0时，显然成立；
都不为0时，
若 ，则；
若 ，则；
综上：，故①正确；
②，所以，故②错误；
③，故③正确；
④由③知：，故④正确；
⑤与不一定相等，故⑤错误；
故选：C.
10．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
【标准答案】D
【思路指引】
A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解详析】
A．，
时，，，
时，，成立，
时，，，
综上，A不恒成立；
B．是一个实数，无意义，B不成立；
C．若，，则，
，，
，
，
，C错误；
D．若，，则，，
，
，
所以，成立．
故选：D．
【名师指路】
本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．
二、填空题
11．如果向量与的夹角为.定义：“”表示一个向量，它的大小是.若，，，则______.
【标准答案】
【思路指引】
先由新的定义和求出向量与的夹角为，从而可求出.
【详解详析】
解：因为，
所以，
因为，，所以 ，即，
因为，所以，
所以，
故答案为：
【名师指路】
此题考查对新定义的理解和运用，考查平面向量的数量积运算，考查运算能力，属于基础题.
12．已知向量是平面内的一组基底，O为内的一定点，对于内任意点P，当时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标，若点A B的广义坐标分别为，有以下四个命题：
①线段AB中点的广义坐标为
②A，B两点间的距离为
③向量平行于向量的充要条件是：
④向量垂直于向量的的充要条件是：
其中正确命题为___________(填写序号).
【标准答案】①③
【思路指引】
利用中点坐标公式可判断①；
利用平面两点间的距离公式可判断②；
利用向量平行的充要条件可判断③；
利用向量垂直的充要条件可判断④.
【详解详析】
由题意知，
根据中点公式知①正确；
只有平面直角坐标中两点间的距离公式②才正确，而题意未必是平面直角坐标系，故②错误；
由向量平行的充要条件得③正确；
与垂直的充要条件为，故④错误.
故答案为：①③
13．设向量，，规定两向量，之间的一个运算为，若已知，，则________.
【标准答案】
【思路指引】
直接根据定义的新运算法则计算得到答案.
【详解详析】
设，则，即，解得，
故.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了向量运算的新定义，意在考查学生的计算能力和理解应用能力.
14．设 是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在坐标系中的坐标．假设，则的大小为________．
【标准答案】
【思路指引】
先依题意判断和，再计算即可.
【详解详析】
依题意，，，
由，知，
所以.
故答案为：2.
15．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为___________.
【标准答案】.
【思路指引】
求得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点P，由定义求得，进而可求得点的坐标.
【详解详析】
由题意得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点P，
则，又，设，
则，解得，，即点的坐标为.
故答案为：.
16．定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记，其中是非零向量的夹角，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为_________.
【标准答案】
【思路指引】
根据已知得出，，即可根据定义得出与，再根据数量积的定义可求出.
【详解详析】
，，则，
，，
设向量与的夹角为，
则.
故答案为：.
三、解答题
17．设，为直线l上的两个不同的点，则．我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．当直线l与x轴不垂直时，（其中叫作直线l的斜率），也是直线l的一个方向向量．
如果直线l经过点，且它的一个方向向量是，试用向量共线的方法推导直线l上任意一点的坐标x，y满足的关系式．
【标准答案】
【思路指引】
根据向量共线以及阅读材料便可解得.
【详解详析】
解：设是直线上的任意一点，则
是直线的一个方向向量
，即
故，即为的坐标满足的关系式
18．已知向量与向量的对应关系用表示.
（1）证明：对任意向量、及常数、，恒有；
（2）设，，求向量及的坐标；
（3）求使（、为常数）的向量的坐标.
【标准答案】（1）证明见解析；（2），；（3）.
【思路指引】
（1）设出两个向量的坐标，通过坐标运算证明；
（2）根据题中所给的映射关系写出所求向量的坐标；
（3）设出，结合通过建立方程组可求解向量的坐标.
【详解详析】
（1）设，，，
，
又，，
所以，，
因此，对任意向量、及常数、，恒有；
（2），则，
，；
（3）设，则，
，，则，解得，
因此，.
【名师指路】
本题考查平面向量新定义问题的求解，解题时要注意向量通过该映射关系的坐标与原坐标之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
19．如图所示为一段环形跑道，中间的两段，为直跑道，且，两端均为半径为的半圆形跑道，以，，，四点为顶点的四边形是矩形．甲、乙两人同时从的中点处开始以的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点的位移分别用向量，表示．
（Ⅰ）当甲到达的中点处时，求；
（Ⅱ）求后，的夹角的余弦值．
注：的值取3．
【标准答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）后，的夹角的余弦值为．
【思路指引】
（Ⅰ）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，当甲到达的中点处时，乙到达的中点处，设此时甲的位置为点，乙的位置为点，
则，，，，由此能求出．
（Ⅱ）后甲、乙的路程均为，、的长度分别到达点，处，，，由此能求出后，的夹角的余弦值．
【详解详析】
（Ⅰ）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．
当甲到达的中点处时，乙到达的中点处，
设此时甲的位置为点，乙的位置为点，
则，，
，，
∴．
（Ⅱ）后甲、乙的路程均为，
，的长度均为，
∴后甲、乙分别到达点，处．
∴，．
设，的夹角为，
则．
∴后，的夹角的余弦值为．
20．如图，斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为120°，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，在斜坐标系中完成下列问题：
（1）若向量的坐标为（2，3），计算的大小；
（2）若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①：若，则；命题②：若，则.
【标准答案】（1）；（2）命题①是真命题，命题②是假命题，理由见解析.
【思路指引】
（1）依题意，再利用展开计算，即得结果；
（2），结合向量共线定理，分别讨论和时，即证命题①是真命题；直接利用垂直关系计算，说明时结论不成立，即证命题②是假命题.
【详解详析】
解：（1）由题知，
故；
（2）由题知，，
命题①是真命题，证明如下：
当时，即，显然.
当时，即，至少一个不为0，不妨设，
若，则存在，使得，故，
即，因为、不共线，所以，
由代入得，即.
综上所述，命题“若，则”是真命题.
命题②是假命题，证明如下：
若，则
.
当时，结论不成立，
所以命题“若，则”是假命题.
21．如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的二等分点．
（1）EF，EG有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P．已知正方形ABCD中，点，点，把点G绕点E沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标．
【标准答案】（1）EF，EG互相垂直，证明见解析；（2）．
【思路指引】
（1）利用向量的垂直的定义即可判断；
（2）利用题意得到，再利用坐标运算公式求出的坐标，即可求解．
【详解详析】
（1）EF，EG互相垂直，
因为，
，
所以，
即EF，EG互相垂直；
（2）点G绕点E沿顺时针方向旋转，即点G绕点E沿逆时针方向旋转，
由此得到，
而，
所以，
设点P的坐标为，
因为点E是AB的中点，点，点，
所以．
所以，
所以，
所以点P为．
22．已知集合（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为．
（Ⅰ）当时，设，．若，求；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则；
（ⅱ）设，且．是否一定，使？说明理由；
（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．
【标准答案】（Ⅰ），或．（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）不存在，使得．见解析（Ⅲ）的最大值为．
【思路指引】
（Ⅰ）由已知的新定义，代值计算即可；
（Ⅱ）（ⅰ）由已知新定义，可将已知转化为，使得，其中，所以与同为非负数或同为负数，进而由与绝对值的性质即可得证；
（ⅱ）举特例取，，，即可说明不存在；
（Ⅲ）由绝对值的性质对，都有，则所求式子．
【详解详析】
（Ⅰ）当时，由，
得 ，即 ．
由 ，得 ，或．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设，，．
因为 ，使 ，
所以 ，使得 ，
即 ，使得 ，其中．
所以 与同为非负数或同为负数．
所以
．
（ⅱ）设，且，此时不一定，使得
．
反例如下：取，，，
则 ，，，显然．
因为，，
所以不存在，使得．
（Ⅲ）解法一：因为 ，
设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；时，．
所以
因为 ，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．
因为
；
又 ，
所以
．
即 ．
对于 ，，有 ，，且，．
综上，的最大值为．
解法二：首先证明如下引理：设，则有 ．
证明：因为 ，，
所以 ，
即 ．
所以
．
上式等号成立的条件为，或，所以 ．
对于 ，，有 ，，且，．
综上，的最大值为．
【名师指路】
本题考查向量与绝对值求和的新定义问题，还考查了绝对值的性质的应用，属于难题.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题07 向量新定义题型专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．对于非零向量，定义运算”×”：，其中为的夹角．设为非零向量，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
2．已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫着把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．平面内任意给定一点和两个不共线的向量，，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成，的线性组合，，则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标，记为，在仿射坐标系 下，，为非零向量，且，，则下列结论中（ ）
① ②若，则
③若，则 ④
一定成立的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设向量=(a1，b1)，=(a2，b2)，定义一种运算“ ”，向量 =(a1，b1) (a2，b2)=(a2b1，a1b2).已知，，点P(x，y)在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动且满足= +(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．
5．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若，，线性相关，则（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
8．对于非零向量、，定义运算“”：，其中为、的夹角，有两两不共线的三个向量、、，下列结论：①若，则；②；③若，则；④；⑤；其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，定义、的向量积，为当、的起点相同时，由的方向逆时针旋转到与方向相同时，旋转过的最小角，对于，，的向量积有如下的五个结论：
①； ②；
③； ④；
⑤；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
二、填空题
11．如果向量与的夹角为.定义：“”表示一个向量，它的大小是.若，，，则______.
12．已知向量是平面内的一组基底，O为内的一定点，对于内任意点P，当时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标，若点A B的广义坐标分别为，有以下四个命题：
①线段AB中点的广义坐标为
②A，B两点间的距离为
③向量平行于向量的充要条件是：
④向量垂直于向量的的充要条件是：
其中正确命题为___________(填写序号).
13．设向量，，规定两向量，之间的一个运算为，若已知，，则________.
14．设 是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在坐标系中的坐标．假设，则的大小为________．
15．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为___________.
16．定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记，其中是非零向量的夹角，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为_________.
三、解答题
17．设，为直线l上的两个不同的点，则．我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．当直线l与x轴不垂直时，（其中叫作直线l的斜率），也是直线l的一个方向向量．
如果直线l经过点，且它的一个方向向量是，试用向量共线的方法推导直线l上任意一点的坐标x，y满足的关系式．
18．已知向量与向量的对应关系用表示.
（1）证明：对任意向量、及常数、，恒有；
（2）设，，求向量及的坐标；
（3）求使（、为常数）的向量的坐标.
19．如图所示为一段环形跑道，中间的两段，为直跑道，且，两端均为半径为的半圆形跑道，以，，，四点为顶点的四边形是矩形．甲、乙两人同时从的中点处开始以的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点的位移分别用向量，表示．
（Ⅰ）当甲到达的中点处时，求；
（Ⅱ）求后，的夹角的余弦值．
注：的值取3．
20．如图，斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为120°，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，在斜坐标系中完成下列问题：
（1）若向量的坐标为（2，3），计算的大小；
（2）若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①：若，则；命题②：若，则.
21．如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的二等分点．
（1）EF，EG有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P．已知正方形ABCD中，点，点，把点G绕点E沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标．
22．已知集合（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为．
（Ⅰ）当时，设，．若，求；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则；
（ⅱ）设，且．是否一定，使？说明理由；
（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．
