2021-2022学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元综合测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元综合测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 361.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-18 22:05:51 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，用剪刀沿虚线将一个长方形纸片剪掉一个三角形，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2．四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ）
A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D
3．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
4．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（ ）
A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5
5．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥AC C．AB＝CD D．∠BAD＝∠ABC
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OA＝OC B．AC＝BD C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA
8．如图，在 ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
10．如图，在边长为4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，连接DE，BF，BD，则DE2+BF2＝（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 ．
12．房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知AB＝AC，点D、E、M、N分别是BC、AB、BD、AD的中点，DE＝12，则MN＝ ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是 ．
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 ．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3．则AC的长为 ．
18．如图，以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH，当∠ADC＝α（0°＜α＜90°）时，有以下结论：①∠GCF＝180°﹣α；②∠HAE＝90°+α；③HE＝HG；④四边形EFGH是正方形；⑤四边形EFGH是菱形．则结论正确有 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
20．如图，在 ABCD中，延长BC到点E，使得BC＝CE，连接AE、DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE＝4，BE＝2，求四边形ACED的面积．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
22．如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
23．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形；
②AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
24．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
25．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
26．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图，
由两点之间，线段最短，BC＜AB+AC，
∴剩下纸片的周长比原纸片的周长小，
故选：A．
2．解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∴A．∠A+∠C＝180°，可得∠B＝∠C，这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
B．∠A+∠B从题目已知条件即可得出，无法证明四边形为平行四边形，此选项错误；
C．同理A，这样的四边形是等腰梯形，故此选项错误；
D．∠B＝∠D，可得∠A+∠D＝180°，则BA∥CD，故四边形ABCD是平行四边形，此选项正确；
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD．
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S AEPG＝S HCFP，
∴S ABHG＝S BCFE，
同理S AEFD＝S HCDG．
即：S ABHG＝S BCFE，S AGPE＝S HCFP，S AEFD＝S HCDG．
故选：A．
4．解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
5．解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，BA⊥AC，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
A、OA＝OC时，平行四边形ABCD仍然是平行四边形，故选项A符合题意；
B、AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、DA⊥AB时，∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∠OAB＝∠OBA时，OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝7，CD＝AB＝5，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴EC＝CD＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝2．
故选：A．
9．解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．
10．解：连接BE，DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°
∴∠EAB＝∠DAF，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（SAS），
∴∠AFD＝∠AEB，
∵∠AEF+∠AFE＝90°＝∠AEB+∠BEF+∠AFE＝∠BEF+∠AFE+∠AFD＝∠BEF+∠EFD＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∴EO2+FO2＝EF2，DO2+BO2＝DB2，EO2+DO2＝DE2，OF2+BO2＝BF2，
∴DE2+BF2＝EF2+DB2＝2AE2+2AD2＝2×22+2×42＝40．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．解：由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，
若使AB＝AC．可进一步确定其为正方形，
故答案为：AB＝AC．
12．解：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，DE＝12，
∴AB＝2DE＝24，
∵点M、N分别是BD、AD的中点，
∴MN＝AB＝×24＝12，
故答案为：12．
13．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
14．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×12×5＝×13 CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．
15．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝2，
故答案为：2．
16．解：设AB边的中点为F，连接DF，CF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴DF＝CF＝AB，
∵AB＝8，
∴DF＝CF＝4，
∵CD＝4，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC＝60°，
∴∠AFD+∠CFB＝120°，
∵AF＝DF，CF＝BF，
∴∠DAF+∠ABC＝360°﹣2（∠AFD+∠BFC）＝120°，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE，
∴∠DAE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝90°+∠CBE＝∠DAB+∠ABD+∠CBE＝∠DAB+∠ABC＝120°．
故答案为：120°．
17．解：连接AF，
∵AB＝AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
即∠AFC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴EF＝AC，
∵EF＝3，
∴AC＝6，
故答案为：6．
18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝α，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，
∴BE＝AE＝CG＝DG，AH＝DH＝BF＝CF，∠ABE＝∠EAB＝∠FBC＝∠FCB＝∠GCD＝∠GDC＝∠HAD＝∠HDA＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣α，
∴∠EAH＝360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）＝90°+α，∠GCF＝360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）＝90°+α，
∴①错误；②正确；
∠HDG＝45°+45°+α＝90°+α，∠FBE＝45°+45°+α＝90°+α，
∴∠HAE＝∠HDG＝∠FCG＝∠FBE，
在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，
，
∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG（SAS），
∴∠BFE＝∠GFC，EF＝EH＝HG＝GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BFC＝90°＝∠BFE+∠EFC＝∠GFC+∠CFE，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴②③④⑤正确；
故答案为：②③④⑤．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴EA＝ED，即：△ADE是等腰三角形；
（2）解：∵AD⊥BC，E为AC中点，
∴AC＝2DE＝10，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝BC＝6，
由勾股定理得：AD＝＝＝8．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝AE，BC＝CE＝BE＝，
∴AC⊥BE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∴矩形ACED的面积＝AC×CE＝×＝．
21．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
22．证明；（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，
∵EA＝EC，
∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠1＝∠EAD+∠AED，∠DAC＝∠EAD+∠AED，
∴∠1＝∠DAC，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，DB＝2DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEG＝∠CFG，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
在△GED和△GFC中，
，
∴△GED≌△GFC（AAS），
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）解：①当AE＝5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：
过A作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝8cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP＝AB＝4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝8cm，AD＝BC＝12cm，
∵AE＝8cm，
∴DE＝4cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，
，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：8；
②当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵AE＝4cm，AD＝12cm，
∴DE＝AD﹣AE＝8（cm），
∵DC＝8cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．
24．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
25．解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
26．解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE+DF＝AF+FC＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，在图②，DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，DF﹣DE＝AC．
（3）当在图①的情况，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当在图③的情况，DF＝AC+DE＝10+7＝17．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，用剪刀沿虚线将一个长方形纸片剪掉一个三角形，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2．四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ）
A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D
3．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
4．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（ ）
A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5
5．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥AC C．AB＝CD D．∠BAD＝∠ABC
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OA＝OC B．AC＝BD C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA
8．如图，在 ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
10．如图，在边长为4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，连接DE，BF，BD，则DE2+BF2＝（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 ．
12．房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知AB＝AC，点D、E、M、N分别是BC、AB、BD、AD的中点，DE＝12，则MN＝ ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是 ．
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 ．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3．则AC的长为 ．
18．如图，以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH，当∠ADC＝α（0°＜α＜90°）时，有以下结论：①∠GCF＝180°﹣α；②∠HAE＝90°+α；③HE＝HG；④四边形EFGH是正方形；⑤四边形EFGH是菱形．则结论正确有 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
20．如图，在 ABCD中，延长BC到点E，使得BC＝CE，连接AE、DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE＝4，BE＝2，求四边形ACED的面积．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
22．如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
23．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形；
②AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
24．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
25．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
26．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图，
由两点之间，线段最短，BC＜AB+AC，
∴剩下纸片的周长比原纸片的周长小，
故选：A．
2．解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∴A．∠A+∠C＝180°，可得∠B＝∠C，这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
B．∠A+∠B从题目已知条件即可得出，无法证明四边形为平行四边形，此选项错误；
C．同理A，这样的四边形是等腰梯形，故此选项错误；
D．∠B＝∠D，可得∠A+∠D＝180°，则BA∥CD，故四边形ABCD是平行四边形，此选项正确；
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD．
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S AEPG＝S HCFP，
∴S ABHG＝S BCFE，
同理S AEFD＝S HCDG．
即：S ABHG＝S BCFE，S AGPE＝S HCFP，S AEFD＝S HCDG．
故选：A．
4．解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
5．解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，BA⊥AC，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
A、OA＝OC时，平行四边形ABCD仍然是平行四边形，故选项A符合题意；
B、AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、DA⊥AB时，∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∠OAB＝∠OBA时，OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝7，CD＝AB＝5，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴EC＝CD＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝2．
故选：A．
9．解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．
10．解：连接BE，DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°
∴∠EAB＝∠DAF，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（SAS），
∴∠AFD＝∠AEB，
∵∠AEF+∠AFE＝90°＝∠AEB+∠BEF+∠AFE＝∠BEF+∠AFE+∠AFD＝∠BEF+∠EFD＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∴EO2+FO2＝EF2，DO2+BO2＝DB2，EO2+DO2＝DE2，OF2+BO2＝BF2，
∴DE2+BF2＝EF2+DB2＝2AE2+2AD2＝2×22+2×42＝40．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．解：由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，
若使AB＝AC．可进一步确定其为正方形，
故答案为：AB＝AC．
12．解：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，DE＝12，
∴AB＝2DE＝24，
∵点M、N分别是BD、AD的中点，
∴MN＝AB＝×24＝12，
故答案为：12．
13．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
14．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×12×5＝×13 CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．
15．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝2，
故答案为：2．
16．解：设AB边的中点为F，连接DF，CF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴DF＝CF＝AB，
∵AB＝8，
∴DF＝CF＝4，
∵CD＝4，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC＝60°，
∴∠AFD+∠CFB＝120°，
∵AF＝DF，CF＝BF，
∴∠DAF+∠ABC＝360°﹣2（∠AFD+∠BFC）＝120°，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE，
∴∠DAE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝90°+∠CBE＝∠DAB+∠ABD+∠CBE＝∠DAB+∠ABC＝120°．
故答案为：120°．
17．解：连接AF，
∵AB＝AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
即∠AFC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴EF＝AC，
∵EF＝3，
∴AC＝6，
故答案为：6．
18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝α，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，
∴BE＝AE＝CG＝DG，AH＝DH＝BF＝CF，∠ABE＝∠EAB＝∠FBC＝∠FCB＝∠GCD＝∠GDC＝∠HAD＝∠HDA＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣α，
∴∠EAH＝360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）＝90°+α，∠GCF＝360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）＝90°+α，
∴①错误；②正确；
∠HDG＝45°+45°+α＝90°+α，∠FBE＝45°+45°+α＝90°+α，
∴∠HAE＝∠HDG＝∠FCG＝∠FBE，
在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，
，
∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG（SAS），
∴∠BFE＝∠GFC，EF＝EH＝HG＝GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BFC＝90°＝∠BFE+∠EFC＝∠GFC+∠CFE，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴②③④⑤正确；
故答案为：②③④⑤．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴EA＝ED，即：△ADE是等腰三角形；
（2）解：∵AD⊥BC，E为AC中点，
∴AC＝2DE＝10，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝BC＝6，
由勾股定理得：AD＝＝＝8．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝AE，BC＝CE＝BE＝，
∴AC⊥BE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∴矩形ACED的面积＝AC×CE＝×＝．
21．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
22．证明；（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，
∵EA＝EC，
∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠1＝∠EAD+∠AED，∠DAC＝∠EAD+∠AED，
∴∠1＝∠DAC，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，DB＝2DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEG＝∠CFG，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
在△GED和△GFC中，
，
∴△GED≌△GFC（AAS），
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）解：①当AE＝5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：
过A作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝8cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP＝AB＝4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝8cm，AD＝BC＝12cm，
∵AE＝8cm，
∴DE＝4cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，
，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：8；
②当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵AE＝4cm，AD＝12cm，
∴DE＝AD﹣AE＝8（cm），
∵DC＝8cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．
24．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
25．解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
26．解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE+DF＝AF+FC＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，在图②，DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，DF﹣DE＝AC．
（3）当在图①的情况，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当在图③的情况，DF＝AC+DE＝10+7＝17．