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3．1.1 椭圆及其标准方程
3．1 椭圆
灯椭圆及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程 数学抽象、直观想象
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②所示．
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．
[问题] (1)那么，你能说说到底什么是椭圆吗？
(2)椭圆上任意一点的特征是什么？
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
提示：不是．
设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
答案：D
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
椭圆的标准方程的特征
(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；
(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．
1．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：C
2．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．
答案：＋＝1或＋＝1
求椭圆的标准方程
[例1] (链接教科书第107页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.
[解] (1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义，知2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[跟踪训练]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
椭圆的定义及其应用
[例2] (链接教科书第109页练习1题)(1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．
[解析] (1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝，
∴∠F1PF2＝60°.
[答案] (1)20 (2)60°
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
[跟踪训练]
1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为____________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2.如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
解：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝4.∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝.
与椭圆有关的轨迹问题
[例3] (链接教科书第108页例2、例3)(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________；
(2)点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－，求点M的轨迹方程．
(1)[解析] 设P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中点坐标公式得所以
又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，
即x2＋＝1.
[答案] x2＋＝1
(2)[解] 设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠0)．
由已知有·＝－，
化简，得点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)．
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可；
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
[跟踪训练]
求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
解：圆方程化为标准方程为(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3，2a＝10，
所以a＝5，从而b＝4，
故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 椭圆方程可化为x2＋＝1，
由题意知解得k＝2.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0，2)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：选D ∵方程x2＋ky2＝2，
即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴>2且>0，故04．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
解析：由已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
5．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，
∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
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3．1.2 椭圆的简单几何性质
3．1 椭圆
第二课时 直线与椭圆的位置关系
灯第二课时 直线与椭圆的位置关系
我们已经学习了直线与圆的位置关系的判断方法．
[问题] 能否利用直线与圆的位置关系的判断方法(思想)，判断直线与椭圆的位置关系？
知识点一 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)＝1；点P在椭圆内部 eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)<1；点P在椭圆外部 eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)>1.
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点三 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·
.
1．已知点(2，3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2，3)在椭圆外 B．点(3，2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
答案：D
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：C
3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则点P到椭圆左焦点的距离为________．
答案：4
直线与椭圆位置关系的判断
[例1] 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3于是，当－3(2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，通过Δ即可判断直线与椭圆的位置关系．
[跟踪训练]
在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
解：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>，
所以k的取值范围为∪.
弦长及中点弦问题
[例2] (链接教科书第114页练习2题)已知点P(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
[解] 法一(根与系数关系法)：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二(点差法)：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y－36＝0，,x＋4y－36＝0.))
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
即k＝－.所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，求直线l被椭圆截得的弦长．
解：由题意可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，与椭圆方程联立得x2－8x＋14＝0.
法一：解方程得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
＝.
法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14.
所以直线l被椭圆截得的弦长为
＝.
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1， ①,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1， ②))
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
[跟踪训练]
1．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，))
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴＝.
答案：
2．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
解：∵e＝，∴b2＝a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为＋＝1.
椭圆的实际应用问题
[例3] (链接教科书第113页例5)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程(精确到1 km)．
[解] 如图，建立平面直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点(记F1为左焦点)，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6 371＋439＝6 810，
a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝6 371＋2 384＝8 755，
∴a＝7 782.5≈7 783，
∴b＝＝＝≈7 721，
∴卫星运行的轨道方程是＋＝1.
解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．
[跟踪训练]
神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R D．d1＋d2
解析：选D 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
解析：选A 把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.
3．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
解析：选ABD ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得(*)
∴a－c＝m＋R，故A正确；
a＋c＝n＋R，故B正确；
(*)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)可得两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，
∴b2＝(m＋R)(n＋R) b＝，故D正确．
4．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为________．
解析：S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
答案：12
5．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
解析：由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤.
答案：
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8(共24张PPT)
3．1.2 椭圆的简单几何性质
3．1 椭圆
灯椭圆的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想 直观想象、数学运算
第一课时 椭圆的简单几何性质
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现．
[问题] 你知道椭圆有什么样的性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a),_ B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率 e＝(01．能用a，b表示椭圆离心率e吗？
提示：能．e＝ .
2．椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？
提示：越圆．
3．椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3， B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
答案：B
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：D
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
答案：
由标准方程研究几何性质
[例1] (链接教科书第112页例4)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[解] 把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.
两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[跟踪训练]
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
利用几何性质求标准方程
[例2] (链接教科书第112页练习3题)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
[跟踪训练]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3，0)，离心率e＝；
(2)过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．
解：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝，所以＝，
把b＝3代入，得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
(2)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
求椭圆的离心率
[例3] (1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
[解析] (1)如图，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
(2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.
又因为0所以椭圆离心率的取值范围是.
[答案] (1)A (2)
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解；
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
[跟踪训练]
1．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意得＝，∴c＝2b，∴a＝＝b，∴e＝＝＝.故选D.
2．若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝(负值舍去)．
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )
A．(±10，0) B．(±，0)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，∵＝2，∴OA＝2OF，∴a＝2c，
∴e＝.
3．已知椭圆＋＝1的离心率e＝.求k的值．
解：分两种情况进行讨论．
(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得
c2＝k－1.
∵e＝，∴＝，解得k＝4.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时，
由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.
∵e＝，∴＝.解得k＝－.
综上可得，k＝4或k＝－.
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