(共38张PPT)
3．2.1 双曲线及其标准方程
3．2 双曲线
灯双曲线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 数学抽象、直观想象
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．
[问题] 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a>|F1F2|时，M的轨迹不存在；
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．
1．已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足||PF1|－|PF2||＝2，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
2．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．
解析：由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
故|PF2|＝4或|PF2|＝16.
答案：4或16
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
巧记双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程－＝1表示双曲线．( )
(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．( )
(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.( )
(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为( )
A．(－，0)，(，0)
B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5)
D．(0，－)，(0，)
答案：B
3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．
答案：－＝1
双曲线标准方程的认识
[例1] (链接教科书第121页练习3题)已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－2
C．k>2或k<－2 D．－2[解析] ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即 或
解得k>5或－2[答案] B
双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟踪训练]
1．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A. B．5
C．7 D.
解析：选D 根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
解析：选C 方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
求双曲线的标准方程
[例2] (链接教科书第121页练习1题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
[解] (1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，
得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以
2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
[注意] 若焦点的位置不明确，应分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.
[跟踪训练]
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；
(2)双曲线过两点P，Q.
解：(1)设双曲线的标准方程为
－＝1(－4将点(3，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
∵点，在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线定义的应用
[例3] (链接教科书第121页练习4题)如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解] 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[母题探究]
1．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝×4×4＝8.
2．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
[跟踪训练]
已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|＝________．(O为坐标原点)
解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2(图略)．
易得ON是△PF1F2的中位线，
所以|ON|＝|PF2|.
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或|PF2|＝18，
故|ON|＝1或|ON|＝9.
答案：1或9
双曲线在生活中的应用
[例4] (链接教科书第120页例2)由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
[解] 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
[跟踪训练]
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴
建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，故|MA|－|MB|<|AB|.这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)．
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
椭圆、双曲线特性归纳及应用
(链接教科书第108页例3)如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
(链接教科书第121页探究)
如图，点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程．
[问题探究]
由上述两道教科书典型问题可知，设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，当k1·k2＝－时，动点M的轨迹是椭圆：＋＝1(x≠±5)；
当k1·k2＝时，动点M的轨迹是双曲线：－＝1(x≠±5)．
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(1)当k1·k2＝－时，点M的轨迹方程为椭圆＋＝1(x≠±a，a＞b＞0)；
(2)当k1·k2＝时，点M的轨迹方程为双曲线－＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)．
[迁移应用]
1．(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线．
解：由上述探究的结论可知k1·k2＝－＝－.又∵a2＝4，∴b2＝2，所以C的方程为＋＝1(x≠±2)．
即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆．
2.如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1的顶点是该椭圆的焦点，且a1＝b1，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，设直线PF1和PF2的斜率分别为k1，k2.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)证明k1·k2＝1.
解：(1)由题意知，椭圆的离心率为e＝＝，则a＝c，
又∵2a＋2c＝4(＋1)，解得a＝2，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1，椭圆的焦点坐标为(±2，0)．
∵双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1中a1＝b1，且顶点是该椭圆的焦点，
∴该双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.
∴k1·k2＝×＝eq \f(y,x－4)，
又∵点P(x0，y0)在双曲线上，
∴eq \f(x,4)－eq \f(y,4)＝1，即y＝x－4，
∴k1·k2＝1.
1．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解析：选C 因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C.
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D 依题意知解得a＝1.
3．求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，
∵A(4，－5)在双曲线上，
∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
故双曲线的标准方程为－＝1.
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10(共21张PPT)
3．2.2 双曲线的简单几何性质
3．2 双曲线
灯第二课时 双曲线的方程及性质的应用(习题课)
直线与双曲线位置关系的判断及求参
[例1] (1)过点P(，5)且与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程；
(2)已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的两点A，B，求实数k的取值范围．
[解] (1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时仅有一个交点(，0)，满足条件．
若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入到双曲线方程，得
－＝1，所以25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－k)－7(5－k)2－7×25＝0.
当k＝时，方程无解，不满足条件．
当k＝－时，方程2×5x×10＝875有一解，满足条件．
当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件．
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝和y＝－x＋10.
(2)当k＝0时，显然不成立．
当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，代入3x2－y2＝3中，得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
∴3k2－1≠0，Δ＝(2kb)2－4(3k2－1)[－(b2＋3)k2]>0，
即k2b2＋3k2－1>0，①
设AB的中点M(x0，y0)，由根与系数的关系，
得
∵点M(x0，y0)在直线l上，∴＝＋4，
即k2b＝3k2－1.②
把②代入①得k2b2＋k2b>0，解得b>0或b<－1.
∴>0或<－1，
即|k|>或|k|<，且k≠0.
故k的取值范围是∪∪∪.
直线与双曲线的位置关系的判断方法与注意点
(1)判断直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系有类似的判断方法，但要注意联立直线与双曲线方程后得到的方程的二次项系数能否为零，此时要注意巧妙利用分类讨论和数形结合的思想方法；
(2)对于圆锥曲线上存在关于某条直线对称的两个点的问题，需充分运用“垂直”“平分”这两个特征，还要注意“点差法”的运用；
(3)与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．
[跟踪训练]
若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，2]
C．(1，) D．(1，]
解析：选D 由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，].
交点及弦长问题
[例2] 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
[解] 由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝
＝
＝＝.
(2)记坐标原点为O，由题意知，OA⊥OB，则·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，
解得a＝±1.
经检验，a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
处理直线与双曲线交点及弦长的有关问题时，常用到根与系数的关系．直线l：y＝kx＋m(k≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长为|AB|＝·＝·|x1－x2|或|AB|＝·＝·|y1－y2|.另外需注意，当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解．
[跟踪训练]
斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．
解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，
得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0.
故x1＋x2＝－m，①
x1x2＝.②
由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.③
把①②代入③，解得m＝±.
∴直线l的方程为y＝2x±.
答案：y＝2x±
直线与双曲线及其他知识的综合问题
[例3] 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
[解] (1)将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴解得0又双曲线的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
即e的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(0，1)．
∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2，
由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
∴x2＝－，x＝－.
消去x2，得－＝，由a>0得a＝.
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．
[跟踪训练]
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知，得a＝，c＝2.
由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
可得m2>3k2－1且k2≠.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)．
则x1＋x2＝，x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝.
由题意，知AB⊥MN，
∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，
整理得3k2＝4m＋1.②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.
又∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－，
∴m的取值范围是∪(4，＋∞)
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选B 因为双曲线方程为x2－＝1，则P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
解析：选A 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－23．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
解析：选B 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
4．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.
则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．
又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.
答案：±1
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6(共27张PPT)
3．2.2 双曲线的简单几何性质
3．2 双曲线
灯双曲线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 数学抽象、直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用 直观想象、数学运算
第一课时 双曲线的简单几何性质
凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
[问题] 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；实半轴长：，虚半轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x．
1．椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
提示：不一样，椭圆的离心率01.
2．若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
提示：当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．( )
(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．( )
(3)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是( )
A．(4，0)，(0，1) B．(－4，0)，(4，0)
C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1)
答案：B
3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案：B
4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
答案：5
双曲线的几何性质
[例1] (链接教科书第124页练习1题)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
[注意] 求性质时一定要注意焦点的位置．
[跟踪训练]
1．已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是( )
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
解析：选C 双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确．
2．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
解析：选B 由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝± x＝±x.故选B.
由双曲线的几何性质求标准方程
[例2] (链接教科书第124页练习2题)(1)以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
(2)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．
[解析] (1)当顶点为(±4，0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.故选C.
(2)法一：当焦点在x轴上时，由于＝.
故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；
当焦点在y轴上时，可知＝，
故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得a2＝2.
所以所求双曲线方程为－＝1.
法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2，－2)得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，
即－＝1.
[答案] (1)C (2)－＝1
求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程；
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
[跟踪训练]
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a>0)．
把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
双曲线的离心率
[例3] 如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
[解析] 连接AF1(图略)，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
[答案] 1＋
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．
[跟踪训练]
1．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，
所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2.
答案：(2，＋∞)
2．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.
答案：2＋
1．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
2．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．
解析：由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.
答案：
3．求双曲线4y2－9x2＝－4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．
解：将双曲线方程化成标准方程－＝1，可知实半轴长a＝＝，虚半轴长b＝＝1.于是有c＝＝＝，所以焦点坐标为，，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
为画出双曲线的草图，首先在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点，，结合两渐近线可画出第一、四象限的曲线，再根据对称性可得该双曲线的草图，如图所示．
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