(共32张PPT)
3．3.1 抛物线及其标准方程
3．3 抛物线
灯
米y
A
0
F
C
X
I
B抛物线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．
[问题] 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
1．抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”：“一动”即一个动点，设为M；“二定”包括一个定点F，即抛物线的焦点，和一条定直线l，即抛物线的准线；一相等，即|MF|＝d(d为M到准线l的距离)．
2．定义中要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
1．若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．抛物线
C．直线 D．双曲线
答案：B
2．平面内到点A(2，3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．圆
解析：选A A∈l，轨迹为过A且与l垂直的一条直线．
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
答案：B
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为( )
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
答案：C
3．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
答案：x2＝8y
抛物线的标准方程
[例1] (链接教科书第132页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6，6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，
∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
[跟踪训练]
1．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．
解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝x，
∴2p＝，p＝，
∴焦点坐标为，
准线方程为x＝－.
答案： x＝－
2．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．
由抛物线的定义得|AF|＝＝5，
又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
抛物线定义的应用
[例2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
(1)[解析] 法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))\s\up12(2)＋y)＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
[答案] C
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
[母题探究]
(变设问)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或.
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
抛物线的实际应用
[例3] (链接教科书第132页例2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
求抛物线实际应用的五个步骤
[跟踪训练]
汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为.
将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0)．
因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处．
圆锥曲线的共性探究
(链接教科书第113页例6)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
(链接教科书第125页例5)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
(链接教科书第130页)抛物线的定义．
[问题探究]
由上述教科书中两道典型例题结合抛物线的定义可知，三种曲线都是动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数．当这个常数大于0且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线．
结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即＝e.
(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；
(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；
(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．
[迁移应用]
(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明∠OMA＝∠OMB.
解：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x＝1，点A的坐标为或，又M(2，0)，∴AM的方程为y＝－ x＋或y＝x－.
(2)证明：由＋y2＝1结合圆锥曲线的统一定义可知，M点为椭圆的右准线x＝2与x轴的交点，如图所示．
当直线l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴不重合时，过点A，B分别作x＝2的垂线，垂足分别是C，D，则有AC∥BD∥x轴．
由结论可知＝e，＝e，
∴＝即＝，
又∵AC∥BD∥x轴，∴＝，∴＝，且∠ACM＝∠BDM＝90°，
∴△ACM∽△BDM，可得∠AMC＝∠BMD，
∴∠OMA＝∠OMB.
1．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
解析：选C 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将(2，4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．
解析：因为准线方程为x＝－2＝－，即p＝4，所以焦点为(2，0)．
答案：(2，0)
3．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
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9(共31张PPT)
3．3.2 抛物线的简单几何性质
3．3 抛物线
第二课时 抛物线的方程及性质的
应用(习题课)
灯第二课时 抛物线的方程及性质的应用(习题课)
与抛物线有关的轨迹问题
[例1] 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
[解] (1)过点P作x轴的垂线垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴ ＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
求与抛物线有关的轨迹的方法及步骤
(1)方法：直接法、定义法、代入法(相关点法)及参数法；
(2)步骤：①建系——建立适当的坐标系；
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式——列出动点P所满足的关系式；
④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
[跟踪训练]
1．若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
解析：选D 法一：设动点P的坐标为(x，y)．则＝.整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线．
法二：显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
2．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
与抛物线有关的定点(定值)问题
角度一 定点问题
[例2] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．
[解] (1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立方程消去x化简得ky2－4y＋4b＝0.
根据根与系数的关系得yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，
即xAxB＋2yAyB＝0，
即eq \f(y,4)·eq \f(y,4)＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，
综上所述，直线AB过x轴上一定点(8，0)．
求与抛物线有关的定点问题的步骤
角度二 定值问题
[例3] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且·＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M坐标为(－2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：＋为定值．
[解] (1)设l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得－my－2＝0.
所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.
所以·＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y,2p)·eq \f(y,2p)＋y1y2＝4－4p＝2，
所以p＝，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)证明：因为M坐标为(－2，0)，
所以＋＝＋
＝
＝eq \f(yy2＋yy1＋2（y1＋y2）,y1y2)
＝，
由(1)可得y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
所以＋＝0为定值．
求与抛物线有关的定值问题的步骤
[跟踪训练]
1．已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．
证明：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为－，直线OA的方程为y＝kx，
由得A，
同理可得B(－8k2，8k)，于是直线AB的方程为y－8k＝·(x＋8k2)，整理可得y＝(x＋8)，因此直线AB经过定点(－8，0)．
2.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
解：(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
＝×＝eq \f(y3－y4,\f(y,4)－\f(y,4))×eq \f(\f(y,4)－\f(y,4),y1－y2)＝，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
＝＝＝，
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值.
与抛物线有关的最值(范围)问题
角度一 最值问题
[例4] 如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
[解] 由解得或
由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d＝＝·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－y0－4))＝|(y0－1)2－9|.
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
解决与抛物线有关的最值问题的思路
求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的距离的最值、求抛物线上一点到定直线的距离的最值．解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决．
角度二 范围问题
[例5]如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________．
[解析] 由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，∴|AB|＝·＝·＝.点D(－1，0)到直线AB的距离d＝，
∴S＝d·|AB|＝·＝4>4， ∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)．
[答案] (4，＋∞)
解决抛物线中的范围问题应考虑的五个方面
(1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
[跟踪训练]
1．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
解析：选D 当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以02，又y<4x0，即r2－4<12，所以02，所以22．求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
解：法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝
＝＝＋.
∴当t＝时，d有最小值，最小值为.
法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距离为＝＝.
1．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选D 由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a>0.S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
2．已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．
解析：由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
答案：y2＝4x
3．已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设斜率为－1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
解：(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
设其方程为y2＝2px(p>0)，则＝1，解得p＝2，
所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x(x>0)．
(2)证明：设直线AB：y＝－x＋b(b≠3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y＝－＋b，即y2＋4y－4b＝0，
Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，
因为x1＝eq \f(y,4)，x2＝eq \f(y,4)，
所以k1＋k2＝eq \f(y2－2,\f(y,4)－1)＋eq \f(y1－2,\f(y,4)－1)
＝eq \f(4（y2－2）,y－4)＋eq \f(4（y1－2）,y－4)
＝＋＝＝0.
因此k1＋k2＝0.
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8(共30张PPT)
3．3.2 抛物线的简单几何性质
3．3 抛物线
灯抛物线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用 数学运算、直观想象
第一课时 抛物线的简单几何性质
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
[问题] 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
知识点 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．y2＝±12x
解析：选C 可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.
2．设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选B ∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，
∴＝6，即p＝12.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞)．
3．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．
答案：4
抛物线方程及其几何性质
[例1] (链接教科书第134页例3)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
[解] 设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
用待定系数法求抛物线方程的步骤
[注意] 求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
[跟踪训练]
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：选C 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
不妨设A在x轴上方，则A，则有＝±a，
解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
2．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
解析：选B 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
直线与抛物线的位置关系
角度一 直线与抛物线位置关系的判断
[例2] (1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解] (1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．
当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程是y＝kx＋1，代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，x＝，符合题意；当k≠0时，由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1.
故满足条件的直线有三条．
(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①
(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是.
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数；
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
角度二 弦长问题
[例3] 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
[解] 由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝＝·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
抛物线弦长的求解思路
当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.
[注意] 焦点弦是特殊的弦，一般利用抛物线的定义转化为焦半径和焦点弦长问题处理．注意熟记抛物线的四种标准方程对应的焦点弦长公式．
角度三 中点弦问题
[例4] 过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________．
[解析] 法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．
由消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，所以＝2，解得k＝4.
故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝8x1， ①
y＝8x2，②
且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，④
将③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，则弦AB所在直线的斜率为4.
故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
[答案] 4x－y－15＝0
解决中点弦问题的思路
解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．一般地，已知抛物线y2＝2px(p>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝.
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)．
线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－x0)．
[跟踪训练]
1．设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为( )
A．±2 B．－1
C．±1 D．－2
解析：选A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，
消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，
抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，
因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25 k＝±2.
2．已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解：联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，
∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C只有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析：选C 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，故直线AF的斜率k＝＝－.
2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
解析：选CD 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，
依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2)
解析：选B 由题意知F(1，0)，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，
则＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,4)，－y0)).
由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.
4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．
解析：由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，
∴xA＝eq \f(y,4)＝3，
∴所求距离为3－1＝2.
答案：2
5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点．
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
解得k＝1.
答案：0或1
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