(共22张PPT)
第二课时 共线向量与共面向量
1．1 空间向量及其运算
1．1.1 空间向量及其线性运算
灯第二课时 共线向量与共面向量
李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．
[问题] 以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？
知识点一 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
1．对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c
提示：不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.
2．怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？
提示：只需证明向量，(不唯一)共线即可．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A，B，C三点共线，则与共线．( )
(2)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A ∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．
知识点二 共面向量
1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？
提示：共面．由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量，共面，故点P与点A，B，C共面．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( )
(2)空间中任意三个向量一定是共面向量．( )
(3)若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
解析：选D 由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面．
向量共线的判定及应用
[例1] 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
[证明] ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝(－)＝
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
1．要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
2．证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟踪训练]
1．已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________．
解析：由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
答案：1
2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.
∵＝，∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋.
∵＝2，＝＋＝－＝－2，
∴＝(－2)＋＝＋.
∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线.
空间向量共面问题
[例2] (链接教科书第5页例1)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，
∵M为的中点，∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2，∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋＝＋
∴，，为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．
1．解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥或∥)．
[跟踪训练]
1. 已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明：如图，连接EG，BG.
(1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
2．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解：(1)∵＋＋＝3.
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C四点共面，即M在平面ABC内．
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析：选C A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb.
2．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面．
证明：令＝x＋y，则e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2.
∵e1和e2不共线，∴解得
∴＝＋，∴A，B，C，D四点共面．
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5(共29张PPT)
1．1.1 空间向量及其线性运算
1．1 空间向量及其运算
第一课时 空间向量及其线
性运算
灯空间向量及其线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念 数学抽象、直观想象
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程 逻辑推理
第一课时 空间向量及其线性运算
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动．原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去．
[问题] 同学们，你知道为什么车会一动不动吗？
知识点一 空间向量的有关概念
1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或．
3．表示法：
4．几个特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为的向量 0
单位向量 模为的向量 |a|＝1或||＝1
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量 －a
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝
共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b或∥
空间中的任意两个向量是不是共面向量？
提示：是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量平行．( )
(2)向量的长度与向量的长度相等．( )
(3)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2.如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出的相反向量．
解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)向量的相反向量有，，，，共4个．
知识点二 空间向量的线性运算
名称 代数形式 几何形式 运算律
加法 ＝＋＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c
减法 ＝－＝a－b
数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝；当λ＜0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
1．向量线性运算的结果还是向量吗？
提示：是向量．
2．由数乘λa＝0，可否得出λ＝0
提示：不能．λa＝0 λ＝0或a＝0.
3．λa的长度是a的长度的λ倍吗？
提示：不是，应是|λ|倍．
1．化简－＋所得的结果是( )
A. B.
C．0 D.
答案：C
2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
解析：选B ＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－b.
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________．
答案：3a－2b
空间向量的概念辨析
[例1] (链接教科书第9页1题)给出下列命题：
(1)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(2)向量a，b相等的充要条件是
(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．
其中正确的是________．(填序号)
[解析] a＝b |a|＝|b|，|a|＝|b| / a＝b，故(1)正确．
由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故(2)错误．
∵＝，∴||＝||且∥.
又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在平行四边形ABCD中，有＝，故(3)正确．
[答案] (1)(3)
空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反．
[跟踪训练]
1．下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量，满足||>||，则>
D．相等向量其方向必相同
解析：选D A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
2．下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②若a≠b，则|a|≠|b|；
③两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
解析：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，②不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，③不正确．综上可知只有①正确．
答案：①
空间向量的加减运算
[例2] 如图，已知长方体ABCD A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
[解] (1)－＝－＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量，如图所示．
空间向量加减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
[跟踪训练]
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的有①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋.( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选D ①连接AC(图略)，(＋)＋＝＋＝；
②连接AD1(图略)，(＋)＋＝＋＝；
③连接AB1(图略)，(＋)＋＝＋＝.
即所给3个式子的运算结果都是.
空间向量的线性运算
[例3] 在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各向量表达式：
(1)＋＋；
(2)(＋－)．
[解] (1)因为G是△BCD的重心，所以||＝||，
所以＝.又因为＝，
所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝，
所以(＋－)＝＋－＝－＝.
解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
[注意] (1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；
(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
[跟踪训练]
1.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
解析：选A ＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
2.如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
解：法一：＝－＝－
＝(＋)－＝(＋－)－
＝－＋＋＝＋－，
∴x＝，y＝－.
法二：∵＝＋＋
＝－＋－－
＝－＋
＝－＋(＋)
＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－＋＋
＝＋－，
∴x＝，y＝－.
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若|a|＜|b|，则a＜b
B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C．若空间内任意一向量a，则存在λ∈R，使得λa＝0
D．在四边形ABCD中，－＝
解析：选CD 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意向量a，存在实数λ＝0，解得0·a＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确．
2．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 在长方体ABCD A1B1C1D1中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选D.
3．空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ＋－＝＋＝－＝.
4．已知空间向量a，b，c，化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________．
解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b－c.
答案：a＋b－c
5．在四面体ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝.故＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
答案：0
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8(共40张PPT)
1．1.2 空间向量的数量积运算
灯
0
A
B
C
C
F
B
1
i
1
I
A
E
B空间向量的数量积运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积 数学抽象
2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行 数学运算
我们在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算．
[问题] (1)平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？
(2)类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
知识点一 空间向量的夹角
1．如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．向量a，b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．
1．当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
提示：当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．
2．若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？
提示：若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
3．〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？
提示：〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，求下列各对向量的夹角：
(1)〈，〉；
(2)〈，〉；
(3)〈，〉．
解：(1)∵＝，∴〈，〉＝〈，〉．
又∵∠CAB＝45°，∴〈，〉＝45°.
(2)〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－45°＝135°.
(3)〈，〉＝〈，〉＝90°.
知识点二 空间向量的数量积
1．数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．数量积的性质
(1)若a，b为非零向量，则a⊥b a·b＝0；
(2)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2＝a2；
(3)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；
(4)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝.
3．数量积的运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
1．向量的数量积运算是否满足结合律？
提示：不满足．
2．对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？提示：不能．向量没有除法运算．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量的数量积为0.( )
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．( )
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．
解析：cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.
答案：
3．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________，·＝________．
解析：如图，·＝·＝||·||·cos〈，〉
＝a·acos 45°＝a2.
·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2.
答案：a2 a2
知识点三 投影向量及直线与平面所成的角
1．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．
(3)向量a在平面β上的投影
如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，
则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
2．直线与平面所成的角
如图③向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cos〈a，b〉·.( )
(2)向量a在直线l上的投影是一个数量．( )
(3)向量a在平面β上的投影是一个向量．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2. 如图所示，直线l⊥平面α，若m，n α且向量i，j，k分别是直线l，m，n的方向向量，则i·j＝________，i·k＝________．
答案：0 0
空间向量数量积的运算
[例1] (链接教科书第7页例2)
已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)．
[解] 在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.
(1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝2＋2·－2·＋2－2·
＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°
＝1＋1－1＋1－1
＝1.
[母题探究]
(变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值：
(1)·；(2)·；(3)·.
解：(1)·＝·
＝||||·cos〈，〉
＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 120°＝－.
求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
[跟踪训练]
已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
利用空间向量的数量积求夹角
[例2] (链接教科书第8页练习1题)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC.
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，∴＝(＋)．
∵AA1＝，∴A1C＝2.
∵·＝(＋)·(－)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°，
即异面直线AE，A1C所成的角是60°.
[答案] C
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
[注意] 求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
[跟踪训练]
如图，在四面体OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解：因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝，
即OA与BC所成角的余弦值为.
利用空间向量的数量积证明垂直
[例3] 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
[证明] 设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又BD∩OG＝O，
于是有A1O⊥平面GBD.
用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
[跟踪训练]
如图，在四面体OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证OA⊥BC.
证明：因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·＝||·||cos ∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，所以⊥，即OA⊥BC.
利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)
[例4] (链接教科书第7页例2)已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜)．
(1)求线段MN的长；
(2)当a为何值时，线段MN最短？
[解] (1)由已知得||＝，||＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝(＋)－＋(－＋)
＝＋，
∴||＝
＝
＝
＝ (0＜a＜)．
即MN的长度为 (0＜a＜)．
(2)由(1)知当a＝，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为.
1．求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离．
2．本题中M，N分别为AC，BF上的动点，因此CM，BN的长度是变量，故MN的长度是一个关于a的函数，MN长度的最小值的求解用到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用．
[跟踪训练]
如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
解：设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，
所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
1．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A．a2＝|a|2 B.＝
C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
解析：选AD 由数量积的性质和运算律可知A、D是正确的．
2．已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，＝＋，则·＝(||2＋||2)＝1，故选C.
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：选B ∵＝－，＝－，·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝||2>0，
∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．
4．已知空间向量a，b，c中每两个向量的夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________．
解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＋2|a||c|cos〈a，c〉＋2|b||c|cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.
答案：10
5.在如图所示的平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．
解析：由于＝＋＋，
则||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×1×1×cos 60°＝6.
∴||＝.
答案：
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