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第二课时 空间向量基本定理的
应用(习题课)
灯第二课时 空间向量基本定理的应用(习题课)
证明平行、共面问题
[例1] (链接教科书第13页例3)如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．求证：BF∥ED′.
[证明] ＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝＋，
∴＝，
∴∥，
∵直线BF与ED′没有公共点，
∴BF∥ED′.
证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行；
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
[跟踪训练]
在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法二：＝－＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－.
即可用与线性表示，故与，是共面向量，又MN 平面A1BD，故MN∥平面A1BD.
求解夹角、证明垂直问题
[例2] (链接教科书第13页例2)
如图所示，在三棱锥A BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(1)证明：AE⊥BC；
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．
[解] (1)证明：因为＝－＝(＋)－，＝－，
所以·＝·(－)
＝2－2－·＋·，
又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，
所以·＝0，
故AE⊥BC.
(2)·＝·
＝·＋2－·＝2＝2，
由2＝＝2＋2＋2＝6，得||＝.
所以cos〈，〉＝＝＝.
故直线AE与DC的夹角的余弦值为.
求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
[跟踪训练]
在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．
解：＝－＝(－)，
＝＋＝－＋，
所以·＝·(－＋)＝2＝，
又||＝||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.
求距离(长度)问题
[例3] (链接教科书第15页习题5题)在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长．
[解] ∵＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，
∴||2＝
＝2－·－·＋·＋2＋2
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝a，即MN＝a.
求空间线段长度(两点间距离)的步骤
(1)选取空间基向量，将待求线段用基向量线性表示；
(2)求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度．
[跟踪训练]
如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
解：∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||·cos 120°＝61－12＝49，
∴||＝7，即PC＝7.
1．(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是( )
A.＝2－－
B.＝＋－
C.＝＋＋
D.＝＋＋
解析：选BD 根据“＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C共面”，
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1，1＋1＋(－1)＝1，1＋＋＝≠1，＋＋＝1，由上可知，B、D满足要求．
2．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：
(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF.
证明：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0.
(1)因为＝b＋c，＝＋＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c，
所以·＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，
所以⊥，所以AD1⊥G1G.
(2)因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c，所以＝－，所以AD1∥EF.
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第一课时 空间向量基本定理
灯空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间向量的基本定理及其意义 数学抽象、直观想象
2.掌握空间向量的正交分解 数学抽象、数学运算
第一课时 空间向量基本定理
如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.
[问题] (1)e1，e2，e3共面吗？
(2)如何用e1，e2，e3表示向量？
知识点 空间向量基本定理
1．定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，常用{i，j，k}表示；
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
提示：不可以．
2．在四棱锥O ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？
提示：对．
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案：C
2.如图，已知四面体ABCD的三条棱＝b，＝c，＝d，M为BC的中点，用基向量b，c，d表示向量＝________．
解析：∵M为BC的中点，
∴＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝[(b－d)＋(c－d)]＝b＋c－d.
答案：b＋c－d
基底的判断
[例1] (链接教科书第15页习题2题)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴，，不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底．
判断基底的方法
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
[跟踪训练]
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
答案：3
用基底表示空间向量
[例2] (链接教科书第12页例1)如图，四棱锥P OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
[解] 连接BO，则＝＝(＋)＝(－b－a＋c)＝－a－b＋c，
＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c，
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c，＝＝＝a.
用基底表示向量的策略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[跟踪训练]
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量，，表示和.
解：＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
＝＋
＝＋＋＋
＝＋＋.
空间向量基本定理的应用
[例3] 如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
[解] (1)证明：∵＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，
∴，，共面，又它们有公共点A，
∴A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
由空间向量基本定理可以知道，如果三个向量a，b，c是不共面的向量(基向量)，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，并且有序实数组(x，y，z)是唯一的，这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础．
[跟踪训练]
在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解：(1)如图，连接AC，＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝－＝a－c.
(2)＝(＋)＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
又＝xa＋yb＋zc，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
D．若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
解析：选ABD 由基底的概念可知A、B、D正确．对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．
2．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A．a B．b
C．c D．2a
解析：选C 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[(a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.选C.
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
解析：选C 在长方体ABCD A1B1C1D1中，只有C中的三个向量，，不共面，可以作为空间的一个基底．
4．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________．(用a，b，c表示)
解析：＝＋＝＋×(＋)＝＋×(－＋－)＝＋＋＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________．
解析：如图，连接A1C1，C1D，
则E在A1C1上，F在C1D上，
易知EF綉A1D，∴＝，即－＝0，∴λ＝－.
答案：－
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