(共24张PPT)
1．3.1 空间直角坐标系
1．3 空间向量及其运算的坐
标表示
灯空间直角坐标系
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置 数学抽象、直观想象
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 数学抽象、直观想象
我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置．
[问题] 怎样才能刻画空间中点的位置呢？
知识点一 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz；
(2)相关概念：叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分．
知识点二 空间向量的坐标
1．空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中叫做点A的横坐标，叫做点A的纵坐标，叫做点A的竖坐标．
2．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
1．空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)．
2．空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
提示：点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在空间中，过x轴，y轴的平面叫做Oxy平面．( )
(2)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( )
(3)空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．( )
(4)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于Oyz平面的对称点为(－1，，2)．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．
答案：(3，2，－1)，(－2，4，2)
3．在空间坐标系中，点A(2，－1，2)在坐标平面Oxy内的投影坐标为________．
答案：(2，－1，0)
求空间点的坐标
[例1] (1)点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的坐标是________，关于坐标平面Oxy的对称点的坐标是________；
(2)如图所示，四棱锥D OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标．
(1)[解析] 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即(－2，－1，－3)；点P(－2，1，3)关于坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即(－2，1，－3)．
[答案] (－2，－1，－3) (－2，1，－3)
(2)[解] 法一：点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)．
法二：＝＋＋＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋[－(＋)]
＝＋＋，所以点M的坐标为(2，3，1)．
1．求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于平面Oyz的对称点是(－x，y，z)．
2．求空间一点P的坐标方法有两个：(1)利用点在坐标轴上的投影求解；(2)利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标．
[跟踪训练]
如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为________．
解析：由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为.
答案：
求空间向量的坐标
[例2] 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
[解] 因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设＝i，＝j，＝k.
因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋(＋＋)＝－＋＋(－＋＋)＝＋＝j＋k，所以＝.
用坐标表示空间向量的步骤
[跟踪训练]
在直三棱柱ABO A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．
解：因为＝－＝－(＋)
＝－
＝－－－，
所以＝(－2，－1，－4)．
因为＝－＝－(＋)
＝－－，所以＝(－4，2，－4).
向量坐标的广义理解
[例3] 定义向量p在基底{a，b，c}下的坐标如下：若p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫做p在基底{a，b，c}下的坐标．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．
[解析] 由条件知p＝2a＋b－c.设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
∵a，b，c不共面，
∴∴
即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为，同理可求得p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．
[答案] (1，1，1)
1．同一向量在不同基底下对应的坐标不同，当空间一个基底确定之后，该向量的坐标是唯一确定的，在没有特殊说明情况下，求某向量的坐标就认为它的基底是单位正交基{i，j，k}．
2．解答本例问题的关键是用所给的基底表示向量，根据新定义的向量的坐标求解．其实质仍然是空间向量基本定理的应用．
[跟踪训练]
空间四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则在基底{a，b，c}下的坐标为________．
解析：∵点M在OA上，OM＝2MA，∴OM＝OA，
∴＝＋＝－＋(＋)＝－a＋b＋c＝.
答案：
1．点P(3，0，2)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上 B．Oxy面上
C．Ozx面上 D．Oyz面上
解析：选C 因为P点的y坐标为0，其他坐标不为0，故点P(3，0，2)在Ozx面上．
2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是( )
A．1 B．2
C．3 D.
答案：A
3．点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为________；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．
解析：点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1，1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，1)．
答案：(1，1，－1) (－1，－1，1)
4.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AD的中点，AB＝1，则向量的坐标为________．
解析：设{，，}为所建立空间直角坐标系的一个单位正交基底，∵＝＋＋
＝－－＋
＝－－－＋
＝－－－，
∴＝.
答案：
PAGE
6(共40张PPT)
1．3 空间向量及其运算的坐标
表示
1．3.2 空间向量运算的坐标
表示
灯空间向量运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示 数学运算、直观想象
2.掌握空间向量的数量积的坐标表示 数学运算、逻辑推理
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为.
[问题] 若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？
知识点一 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
1．已知＝(2，3，1)，＝(4，5，3)，那么向量＝( )
A．(－2，－2，－2) B．(2，2，2)
C．(6，8，4) D．(8，15，3)
解析：选B 向量＝－＝(4，5，3)－(2，3，1)＝(2，2，2)，故选B.
2．已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A．(5，－1，4) B．(5，1，－4)
C．(－5，1，4) D．(－5，－1，4)
解析：选A 向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4)．故选A.
3．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.故选C.
知识点二 空间向量的相关结论
1．空间向量的平行、垂直及模和夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|＝ |a|＝eq \r(a＋a＋a)
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a＋a)\r(b＋b＋b))
2.空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
(2)P1P2＝||＝.
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则一定有＝＝成立吗？
提示：当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
1．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选A b－c＝(－2，3，1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
2．已知A(1，1，1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4 B．2
C．4 D．3
解析：选A AB＝＝4.
3．已知P1(1，－1，2)，P2(3，1，0)，P3(0，1，3)，则向量与的夹角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选D 设向量与的夹角为θ，因为＝(3，1，0)－(1，－1，2)＝(2，2，－2)，＝(0，1，3)－(1，－1，2)＝(－1，2，1)，所以cos θ＝＝0.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.故选D.
空间向量的坐标运算
[例1] (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________；
(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________．
[解析] (1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
由题设可得解得
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，则a·b＝0－2－1＝－3，|a|＝，|b|＝，
所以cos〈a，b〉＝＝－.
[答案] (1)－4 (2)－
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
[跟踪训练]
1．已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为( )
A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24) D．(－5，6，24)
解析：选D ∵a＝(－3，4，12)，且＝2a，∴＝(－6，8，24)．∵A的坐标为(1，－2，0)，∴＝(1，－2，0)，＝＋＝(－6＋1，8－2，24＋0)＝(－5，6，24)，∴点B的坐标为(－5，6，24)．故选D.
2．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
解析：a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．
∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：－2 5
利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题
[例2] (链接教科书第20页例2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
[证明] (1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为，(0，0，1)．
∴＝，
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝.
又NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0，0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥，即AM⊥DF.
同理，⊥，即AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
1．判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[跟踪训练]
1．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解：(1)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以2a－b＝(3，2，－2)，又c＝，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－.
2．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求证：
(1)AF∥平面BDE；
(2)CF⊥平面BDE.
证明：(1)设AC与BD交于点G，连接EG.因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG 平面BDE，AF 平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F.所以＝，
＝(0，－，1)，＝(－，0，1)．
所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0，
所以⊥，⊥，即CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，且BE 平面BDE，DE 平面BDE，所以CF⊥平面BDE.
利用坐标运算解决夹角、距离问题
[例3] (链接教科书第20页例3)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[解] 以，，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
[跟踪训练]
1．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 设与的夹角为θ.由题意得＝(－1，1，0)，＝(0，3，3)，∴cos θ＝＝＝，∴θ＝60°，故选C.
2．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B 由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以||＝＝，即线段OM的长为，故选B.
向量概念的推广
我们已经知道：(1)直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可以表示a的方向，又可以求得|a|；
(2)平面向量a可以用二元有序实数对(x，y)表示，即a＝(x，y)．(x，y)称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求|a|；
(3)空间向量a可以用三元有序实数组(x，y，z)表示，即a＝(x，y，z)．(x，y，z)称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求|a|.
[问题探究]
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组(a1，a2，…，an)表示n维向量，它构成了n维向量空间，a＝(a1，a2，…，an )．
对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算．
设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，则
a±b＝(a1±b1，a2±b2，…，an±bn)；
λa＝λ(a1，a2，…，an)＝(λa1，λa2，…，λan)，λ∈R；
a·b＝(a1，a2，…，an)·(b1，b2，…，bn)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
|a|＝eq \r(a＋a＋…＋a).
n维向量空间中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的“距离”|AB|＝.
[迁移应用]
某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i＝1，2，…，30)，其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩．
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即
1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由已知得a＝(1，，)，b＝(1，0，)，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：AB1∥GE，AB1⊥EF.
证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，由中点坐标公式得E，G，F.
∴＝(1，0，1)，
＝，＝，
∴＝2，
·＝1×＋0＋1×＝0，
∴∥，⊥.
故AB1∥GE，AB1⊥EF.
PAGE
10
