(共32张PPT)
1．4 空间向量的应用
1．4.1 用空间向量研究直线、
平面的位置关系
第二课时 空间中直线、平面的平行
灯
H
F
C
E
A
B第二课时 空间中直线、平面的平行
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 数学抽象、直观想象
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系 逻辑推理、直观想象
观察图片，旗杆底部的平台和地面平行、旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行．
[问题] 旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？
知识点 空间平行、垂直关系的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
(1)线线平行：l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2；
(2)线面平行：l1∥α u1⊥n1 u1·n1＝0；
(3)面面平行：α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
1．直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行．
2．用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
1．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则( )
A．l1∥l2 B．l1与l2相交
C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合
解析：选D ∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合．
2．若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：选A ∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.
3．已知直线l的一个方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为________．
解析：∵u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋0＋4＝0，∴u⊥v，
∴l∥α或l α.
答案：l∥α或l α
直线和直线平行
[例1] 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
[证明] 法一：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c，∴＝，∴∥，又∵R MN，
∴MN∥RS.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.
∴＝，＝，
∴＝.
∴∥.∵M RS，∴MN∥RS.
证明直线平行的两种思路
[跟踪训练]
长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F.
∴＝，＝(－a，b，c)，
∴＝.
又FE与AC1不共线，∴EF∥AC1.
直线和平面平行
[例2] (链接教科书第30页例3)如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
[证明] 如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，则A(0，0，0)，B，B1，C1(0，a，b)，D，
∴＝，＝，＝.
设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
∴
取y＝2b，则n＝(0，2b，－a)．由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n.
又AB1 平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.
利用空间向量证明线面平行的三种方法
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示；
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证；
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
[跟踪训练]
在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，B(a，a，0)，E.
法一：设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝，
＝，
则有即
即
取z＝1，则所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
法二：因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
法三：假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
则有
解得
所以＝－＋，又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
平面和平面平行
[例3] 在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1)．
∴＝(0，－1，1)，＝(1，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量，
由得
取x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由得
取x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
于是有m＝n，所以m∥n，故平面EFG∥平面HMN.
证明面面平行问题的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行；
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[跟踪训练]
在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD.
以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)，F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，所以＝(0，0，2)，＝(，－1，0)，＝(，－1，0)，＝(0，0，2)，
所以∥，∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA 平面AA1D1D，CC1，CF 平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
平行关系中的探究性问题
[例4] (链接教科书第30页例3)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
[解] 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，
则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
设Q(0，1，z)，则＝，＝(－1，－1，1)，
∵＝2，
∴∥
∴OP∥BD1.
又＝，＝(－1，0，z)，
当z＝时，＝，
即AP∥BQ，又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP 平面PAO，BQ，BD1 平面D1BQ，
则有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
1．求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
2．由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生合乎逻辑的思维品质．
[跟踪训练]
如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．
解：由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．假设在棱PD上存在符合题意的点E，设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)．设＝λ(0≤λ≤1)，则①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)，∴由CE∥平面PAB，可得⊥.∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0.
∴y＝1，代入①式得∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：选D 由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝.
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明：如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，
＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，即
得取z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1，2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2，0，0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．
由n2⊥，n2⊥，得
得
取z2＝2，则y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
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8(共36张PPT)
1．4.1 用空间向量研究直线、
平面的位置关系
1．4 空间向量的应用
第三课时 空间中直线、平面的
垂直
灯
D
C
Al
B
C
y
A
B第三课时 空间中直线、平面的垂直
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 数学抽象、直观想象
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系 逻辑推理、直观想象
观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直．
[问题] 如何证明旗杆与地面垂直？
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表示
1．线线垂直的向量表示
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．线面垂直的向量表示
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
3．面面垂直的向量表示
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？
提示：垂直．
1．(多选)下列命题中，正确的命题为( )
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥a
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直
解析：选BCD A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知B、C、D正确．
2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α斜交
解析：选B ∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.
3．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为________．
解析：由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，
∴λ＝－1或－.
答案：－1或－
4．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
解析：∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝5.
答案：5
直线和直线垂直
[例1] 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
[证明] 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，
在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，
D(，－1，0)，C(0，2，0)，
因而E，F，
所以＝，＝(0，2，0)，
因此·＝0.从而⊥，
所以EF⊥BC.
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤
(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直；
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
[跟踪训练]
如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AC的中点．
求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.
证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1)．
(1)＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)，
∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
∴⊥，∴BD1⊥AC.
(2) ＝(－1，－1，1)，
＝，
∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
∴⊥，∴BD1⊥EB1.
直线和平面垂直
[例2] (链接教科书第32页例4)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
[证明] 设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．
∴＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，
＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，
＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．
∵·＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0，·＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.
用向量法证明线面垂直的方法及步骤
(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直；
(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
[跟踪训练]
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，
设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.
所以＝(1，1，－1)，＝，＝.
法一：因为·＝(1，1，－1)·＝0＋－＝0，
所以⊥，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE 平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
法二：设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝.
因为⊥，所以x＋－＝0，
即x＋y－z＝0.①
又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝.
设n＝(x1，y1，z1)为平面EFD的法向量，
则有
即
所以取z1＝1，则n＝(－1，－1，1)．
所以∥n，所以PB⊥平面EFD.
平面和平面垂直
[例3] 在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，
S(0，0，1)，E.
法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0，0，1)，
＝，∴＝，∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.
法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1，1，0)，＝，
∴即
取x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．∵AS⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)．
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.
证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[跟踪训练]
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.
证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC 平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ 平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
垂直关系中的探索性问题
[例4] 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF 平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC 平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF 平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF.
(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2)．
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设＝λ，则0<λ<1，P.设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．
由＝，＝(0，2，0)，得
即
取x＝1，则z＝，
所以m＝为平面PAC的一个法向量．
同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时＝.
解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；
(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算．
[跟踪训练]
如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD.
(2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置．
解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，∴＝，＝(0，a，0)，
∴·＝·(0，a，0)＝0，
∴EF⊥CD.
(2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)，
∴＝.
由(1)，知＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)．
∵GF⊥平面PCB，
∴·＝·(a，0，0)＝a＝0，
·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，
∴x＝，z＝0.
∴点G的坐标为，即点G为AD的中点．
1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
解析：选B a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
2.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程( )
A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
解析：选D E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，
所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，
因为CF⊥B1E，所以·＝0，
即2－2z＝0，即z＝1.
3．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝________．
解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
答案：－5
4.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________．
解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
依题意可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，A(2，0，0)，M(，2，0)，
所以＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，
＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，
所以·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，
所以PM⊥AM.
答案：PM⊥AM
5．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中两两垂直的有________对．
解析：∵a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，∴α，β，γ三个平面中任意两个都不垂直．
答案：0
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9(共26张PPT)
1．4.1 用空间向量研究直线、
平面的位置关系
1．4 空间向量的应用
第一课时 空间中点、直线和
平面的向量表示
灯第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述直线和平面 数学抽象
2.理解直线的方向向量与平面的法向量 数学抽象
3.会求直线的方向向量与平面的法向量 数学运算、直观想象
如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1.
[问题] (1)怎样借助空间向量来表示空间点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1
(2)设＝v，如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？
(3)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点和直线的位置？
知识点 空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示式
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta＝＋t．
2．空间平面的向量表示式
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．
3．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为{P|a·＝0}．
1．空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？
提示：能．
2．一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线l的方向向量是唯一的．( )
(2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.( )
(3)由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点．( )
(4)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(2，1，1) B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
解析：选B ∵＝(－1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B.
3．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为( )
A．(0，1，－1) B．(－1，0，1)
C．(1，1，1) D．(－1，0，0)
解析：选A 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由＝(－1，0，0)，＝(1，－1，－1)，可得
即
取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝(0，1，－1)．
直线的方向向量
[例1] (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1
C. D．3
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
[解析] (1)∵A(0，y，3)和
B(－1，2，z)，∴＝(－1，2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设＝km.
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
解得k＝－，y＝z＝.
∴y－z＝0.
(2)∵DD1∥AA1，＝(0，0，1)，
∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；
∵BC1∥AD1，＝(0，1，1)，
∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)．
[答案] (1)A (2)(0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一)
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算．
[跟踪训练]
1．(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
解析：选AB ∵M，N在直线l上，且＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．
2．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为( )
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C. D.
解析：选A 设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为||＝34，
即＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
求平面的法向量
[例2] (链接教科书第28页例1)在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E，F，G，
∴＝，
＝.
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)．
由n⊥，n⊥，得
∴
取y＝1，可得平面GEF的一个法向量为n＝(1，1，1)．
利用待定系数法求法向量的步骤
[跟踪训练]
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的一个法向量．
证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)，
∴＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，
∴·＝－2＋2＝0，·＝－2＋2＝0，
∴⊥，⊥，∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴是平面PAC的一个法向量.
确定空间中点的位置
[例3] 已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1.
求点P和点Q的坐标．
[解] 由已知，得＝2，即－＝2(－)，＝＋.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)，即x＝＋＝，y＝＋＝，z＝0＋1＝1.因此，P点的坐标是.
因为AQ∶QB＝2∶1，所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2.设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0，2，6)．
求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标．
[跟踪训练]
已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为________．
解析：设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且＝，∴＝，即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
∴∴x＝，y＝－1，z＝.
因此点C的坐标为.
答案：
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
解析：选A 因为＝(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量．
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
解析：选D 易知D中的向量与n共线．
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
解析：∵A，B，C，
∴＝，＝.
又∵∴
解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶－4
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6(共43张PPT)
1．4 空间向量的应用
1．4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题
第二课时 用空间向量研究夹角问题
灯第二课时 用空间向量研究夹角问题
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决简单夹角问题 直观想象、数学运算
2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算
日常生活中，很多场景中都有直线与平面、平面与平面成一定角度的现象．例如，如图(1)，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图(2)，地球仪的地轴(即旋转轴)与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度；如图(3)，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图(4)，很多屋顶都是二面角的形象．
[问题] 你能找到生活中更多类似的例子吗？怎样刻画直线与平面、平面与平面所成的角呢？
知识点一 利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝．
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是，而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 因为a·b＝－4，|a|＝，|b|＝2，设l1与l2的夹角为θ，所以cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
知识点二 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
1．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是.
2．若〈u，n〉是一个锐角，则θ＝－〈u，n〉；若〈u，n〉是一个钝角，则θ＝〈u，n〉－.
若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．150° D．30°
解析：选D 因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，所以它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角等于90°－60°＝30°.
知识点三 利用向量方法求两个平面的夹角
1．平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
2．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
1．两个平面夹角的范围是，若夹角为，则两个平面垂直．
2．因为两个平面法向量的方向不确定，故〈n1，n2〉∈(0，π)，若〈n1，n2〉为钝角，应取其补角．
平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，那么平面α与平面β的夹角等于( )
A．120° B．30° C．60° D．30°或150°
解析：选B cos〈n1，n2〉＝＝－，
设α与β的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°.
两异面直线所成的角
[例1] (链接教科书第36页例7)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[解析] ＝－＝－，＝－，于是||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－，于是cos〈，〉＝＝＝－，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.[答案] C
基向量法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)找基底；
(2)用同一个基底表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值；
(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角．
[跟踪训练]
在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选A 设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，连接OC1，OD，则OC1⊥平面ABB1A1，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
则A(－1，0，)，B1(1，0，0)，B(1，0，)，C1(0，，0)，所以＝(2，0，－)，＝(－1，，－)，因为·＝(2，0，－)·(－1，，－)＝0，所以⊥，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.
直线与平面所成的角
[例2] (链接教科书第38页练习2题)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．
[解] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)，
∴＝(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，－1，0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，直线BC1与平面A1BD所成的角为θ.
∵n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0，
∴解得
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
∴cos〈，n〉＝＝＝－.
∴sin θ＝，∴cos θ＝ ＝.故直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.
求直线与平面所成角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)；
思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量；
③求平面的法向量n；
④计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
[跟踪训练]
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B1(0，2，)，C1(2，0，)，A1(0，0，)，＝(0，0，)，＝(0，2，)，＝(2，0，)．设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝，所以θ＝.
两平面的夹角(二面角)
[例3] (链接教科书第39页例10)如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值．
[解] (1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，
则＝(，0，2)，＝(0，1，2)．
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由m⊥，m⊥，所以
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2，2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值为.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D.
所以＝，＝(0，2，－2)，＝(－，－1，0)．
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝，则y1＝z1＝3，
故n1＝(，3，3)．
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝，则y2＝z2＝－3，
故n2＝(，－3，－3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－.
所以平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.
2．(变条件，变设问)本例“若∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°”，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值．
解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
E，D1(0，1，1)，
F，＝，＝(1，0，1)，＝，＝(0，1，1)．
设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，
所以n1＝(－1，2，1)．
设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则即
令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.
所以n2＝(2，－1，1)．
所以平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值为＝＝.
向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤
(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
(2)求出两个平面的法向量n1，n2；
(3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
[注意] 若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解．
[跟踪训练]
已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则平面BCD与平面CDA夹角的余弦值为________．
解析：如图，取AC的中点E，分别以EA，ED，EB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD的边长为2，则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(0，，0)，B(0，0，)．
设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，则
∵＝(－1，0，－)，＝(0，，－)，∴
取z＝，则y＝，x＝－3，即n＝(－3，，)．
平面ACD的法向量为m＝(0，0，1)，设平面BCD与平面CDA夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
答案：
立体几何中的翻折问题
(链接教科书第49页习题13题)如图把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后∠EOF的大小．
[问题探究]
此问题涉及到平面图形的翻折问题，求解平面图形翻折成立体图形有以下规律．
认知规律：
确定翻折前后变与不变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决
确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
[迁移应用]
1．写出上述问题的解答．
解：如图，以OB，OC，OD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设原正方形的边长为1，则
E，F，
cos〈，〉＝＝－＝－，
∴∠EOF＝120°.
2．如图①，平面四边形ABCD中，CD＝4，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，如图②，平面PBD⊥平面BCD，E为PD中点．
(1)求证：PD⊥CE；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值．
解：(1)证明：由题意△ABD为等边三角形，则BD＝2，
在三角形BCD中，CD＝4，∠BCD＝30°，
由余弦定理可求得BC＝2.
∴CD2＝BD2＋BC2，即BC⊥BD.
又平面PBD⊥平面BCD，
平面PBD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，
∴BC⊥平面PBD BC⊥PD.
等边三角形PBD中，E为PD中点，
则BE⊥PD，且BC∩BE＝B，
∴PD⊥平面BCE，∴PD⊥CE.
(2)以B为坐标原点，BC，BD分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系(图略)，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，1，)，E，＝(－2，2，0)，＝(0，1，－)．
设m＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，则
即取m＝(1，，1)，
则cos〈m，〉＝＝＝，
∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为.
1.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A．30° B．45°
C．90° D．60°
解析：选D 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴M(1，2，0)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，＝(－1，0，1)，＝(－2，2，0)，
设异面直线AC和MN所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又θ是锐角，∴θ＝60°.
∴异面直线AC和MN所成的角为60°，故选D.
2.如图，在四棱锥P ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求平面ABE与平面DBE夹角的余弦值．
解：以B为原点，以直线BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，3)，A(0，3，0)，D(3，3，0)．
设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝＋＝＋＝(0，0，3)＋(0，3，－3)＝(0，2，1)，＝(3，3，0)，由得
取z＝1，所以于是n1＝.
又因为平面ABE的一个法向量为n2＝(1，0，0)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
设平面ABE与平面DBE的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，故所求夹角的余弦值为.
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1．4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题
1．4 空间向量的应用
第一课时 用空间向量研究距离问题
灯第一课时 用空间向量研究距离问题
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题 数学抽象、直观想象
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等．数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的．
[问题] (1)到目前为止，你学习过哪些“距离”？
(2)以上这些“距离”的定义有什么共同点？
(3)在空间中任意两个图形之间的距离怎样定义的？应怎样计算空间距离问题？
知识点一 点P到直线l的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝．
已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选A ＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.
知识点二 点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影的长度．因此PQ＝＝＝．
已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
解析：选D ∵＝(－1，2，4)，∴P(－2，1，4)到α的距离为＝＝.
点到直线的距离
[例1] 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
[解] ∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
∴＝(1，2，－3)．取a＝＝(0，2，0)，
u＝＝，
则a2＝4，a·u＝，
∴点B到直线A′C的距离为
＝＝.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的单位方向向量u；
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a；
(4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离．
[跟踪训练]
已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．
解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)．
取a＝＝(1，0，－2)，u＝＝(1，－2，1)，
则a2＝5，a·u＝－，所以点A到EF的距离为＝＝.
点到平面的距离与直线到平面的距离
[例2] 在三棱锥S ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．
[解] 取AC的中点O，连接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，
则 取z＝1，
则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴点B到平面CMN的距离d＝＝.
求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
(2)在三棱锥中用等体积法求解；
(3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)．
[注意] 线面距、面面距实质上是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
[跟踪训练]
1.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．
解：(1)证明：连接AB1交A1B于点E，则E是AB1的中点，连接DE.因为D是AC的中点，
所以DE∥B1C，又DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.
(2)因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．
建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，
＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，
＝(－1，0，3)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以
取z＝1，则x＝3，y＝0，
所以n＝(3，0，1)．
所以点B1到平面A1BD的距离为＝，即直线B1C到平面A1BD的距离为.
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
两异面直线间的距离
[例3] (链接教科书第44页习题14题)如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝3AB＝3a，求异面直线AB与PC的距离．
[解] 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，P(0，0，3a)．
则＝(a，0，0)，＝(a，a，－3a)．
设，的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，由
取z＝1，则y＝3，有n＝(0，3，1)．
又＝(0，0，3a)，
∴AB与PC间的距离d＝＝＝a.
异面直线距离问题的求解方法
(1)射影法：分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的法向量为n，则两条异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式d＝求解；
(2)转化法：如图，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条直线a平行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线a到平面α的距离，最后可转化为在直线a上取一点到平面α的距离，从而可借用向量的射影法求解；
(3)最值法：在两条异面直线a，b上分别任取两点A，B，建立的模的目标函数，函数的最小值即为所求．
[跟踪训练]
如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AB＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，求异面直线PB与CE的距离．
解：由PE∶ED＝2∶1，知在BD上取点F使BF∶FD＝2∶1，易知PB∥EF，从而PB∥平面CEF，于是只需求直线PB到平面CEF的距离，即可求点P到平面CEF的距离．以A为坐标原点，AD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，P(0，0，a)，C，F，E，
则＝，＝，＝.
设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
于是令x＝0，y＝－2，z＝1，则n＝(0，－2，1)．
∴PB与平面CEF间的距离d＝＝＝a，
从而异面直线PB与CE的距离为a.
1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A. B.
C. D．3
解析：选B ∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B.
2．若三棱锥P ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 以P为坐标原点，PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝＝.
3．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 建立坐标系如图，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，O.
∴＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)．
设n＝(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，
则
解得y＝0，z＝1，∴n＝(1，0，1)．
又＝，
∴点O到平面ABC1D1的距离为＝＝.
4．已知Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，
所以＝(－4，3，0)，
＝，
所以点P到AB的距离
d＝＝＝3.
答案：3
5．棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0)，
∴＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1，1，1)．
∴点M到平面ACD1的距离d＝＝.
又＝，故MN∥平面ACD1，
故直线MN到平面ACD1的距离为.
答案：
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