2021-2022学年湖南省常德市汉寿县九年级上学期期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年湖南省常德市汉寿县九年级（上）期末数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
下列关系式中表示是的反比例函数的是
A. B. C. D.
在中，，，，则为
A. B. C. D.
将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是
A. B.
C. D.
关于反比例函数的图象和性质，下列说法不正确的是
A. 函数图象经过点 B. 函数图象在第二、四象限
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小
甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选
甲 乙 丙 丁
平均分
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
如图，若点为的边上一点，下列条件不能判定∽的是
A.
B.
C.
D.
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A. B. C. 且 D. 且
如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，是对称轴，有下列结论：；；；若，是抛物线上两点，则，其中正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
已知，则______．
如图，当小明沿坡度：的坡面由到行走了米时，他实际上升的高度______米．
二次函数图象的顶点坐标为______．
一个装有红豆和黄豆共计颗的瓶子，现将瓶中豆子充分摇匀，再从瓶中取出颗豆子时，发现其中有颗红豆，根据实验估计该瓶装有红豆大约______颗．
如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，则______．
如图，点是反比例函数的图象上点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为______ ．
已知是关于的方程的一个根，并且等腰三角形的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则的周长为______．
如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，的图象相交于，两点，结合图象，则关于的不等式的解集为______．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）
计算：．
解方程：．
已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点．
求的取值范围；
若二次函数的图象经过点和点，比较和的大小，并说明理由．
如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点．
求证：∽；
当，时，求的长．
某校为了了解七年级学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重均为整数，单位：分成五组：；：；：；：；：，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
这次随机抽取了多少名学生调查？并补全频数分布直方图；
在抽取调查的若干名学生中体重在哪一组的人数最多？
若该校七年级共有名学生，根据调查结果，估计该校七年级体重超过的学生大约有多少名？
安顺市某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千元降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
求与之间的函数关系式；
商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元？
如图，在中，，，于点，为坐标原点，点在轴正半轴上，反比例函数的图象的一支过点．
求点的坐标以及的值；
过点作，与反比例函数的图象第一象限内相交于点，连接与，分别相交于，两点，求的值．
如图，某办公楼的后面有一建筑物办公楼与建筑物均垂直于地面，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下的影子米，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶在地面上的影子与墙角有米的距离点，，在同一条直线上．
求办公楼的高度；
若要在，之间挂一些彩旗，请你求出，之间的距离．
参考数据：，，，
如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点．
求点的坐标以及的面积；
求二次函数的解析式；
若点为第四象限内二次函数图象上的动点，设点的横坐标为，的面积为求关于的函数关系式，并求出的最大值．
解决问题：某学校初三数学课外活动小组遇到这样一个题目：
如图，在中，点在线段上，，，，，求的长．
经过活动小组成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题如图．
求；
求的长．
应用体验：请参考中解决问题的思路，解答下面的问题：
如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是反比例函数，故A符合题意；
B.，是一次函数，故B不符合题意；
C.，是二次函数，故C不符合题意；
D.，是一次函数，故D不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：中，，，，
，
，
，
，
故选：．
由勾股定理得，则，再由直角三角形的性质即可得出的度数．
本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的判定等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是，即．
故选：．
直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4.【答案】
【解析】A.当时，代入反比例函数得，，正确，故本选项不符合题意；
B.，图象位于第二、四象限，正确，故本选项不符合题意；
C.，在第二、四象限内随增大而增大，所以当时，随的增大而增大，正确，故本选项不符合题意；
D.，在第二、四象限内随增大而增大，所以当时，随的增大而增大，错误，故本选项符合题意；
故选：．
依据反比例函数图象的性质作答．
本题考查了反比例函数图象的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
5.【答案】
【解析】解：，
四位同学中乙、丙的平均成绩较好，
又，
乙的成绩比丙的成绩更加稳定，
应选乙去．
故选：．
先找到四位同学中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】
【解析】解：、，因为，所以∽，不符合题意；
B、，因为，所以∽，不符合题意；
C、，因为，所以∽，不符合题意；
D、，因为，而和的夹角为，所以不能判定∽，符合题意．
故选：．
欲证∽，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．
7.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且．
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，即可求出的范围．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，即，所以正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
即，所以错误；
由图形可知，当时，，
即，所以正确；
抛物线开口向下，点到直线的距离或点到直线的距离相同，
，所以正确；
故选：．
利用对称轴方程得到，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则当时，，则可对进行判断；利用，则可对进行判断；根据二次函数的性质，通过比较点和点到直线的距离的大小对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据已知可得，然后代入式子进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，根据已知得出，然后代入式子进行计算是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．
根据坡度的概念求出，根据直角三角形的性质解答．
【解答】
解：：，
，
，
米，
故答案为：．

11.【答案】
【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．
12.【答案】
【解析】解：设该瓶装有红豆颗，
根据题意得：，
解得：，
即根据实验估计该瓶装有红豆大约颗．
故答案为：．
设该瓶装有红豆颗，根据从瓶中取出颗豆子时，发现其中有颗红豆列出算式，再进行计算即可．
本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
13.【答案】
【解析】解：以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，
∽，且相似比为：，
，
故答案为：．
根据位似图形的概念解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：轴，
，，
．
故答案为：．
由于轴，根据反比例函数的几何意义得到，，然后利用进行计算．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系及等腰三角形的性质．
先根据一元二次方程的解的定义把代入方程求出的值，得到原方程为，再解此方程得到，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为，底边为，再计算三角形的周长．
【解答】
解：是关于的方程的一个根，
把代入方程整理得：，
解得，
原方程为：，
方程的两个根分别是，，
又等腰三角形的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，
若是等腰三角形的腰长，则构不成三角形，
等腰三角形的腰长为，底边长为，
三角形的周长为：．
故答案是：．
16.【答案】或
【解析】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数，的图象下方时，的取值范围是或，
关于的不等式的解集为或，
故答案为：或．
根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集．
本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而利用二次根式的混合运算法则化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】解：，
，
或，
解得，．
【解析】通过观察方程可知，左边可用二次三项式的因式分解法分解因式，然后再利用乘积为的特点求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
19.【答案】解：抛物线与轴有两个不同的交点，
，
；
抛物线的对称轴为直线，
和点，都在对称轴的左侧，
，，
当时，随的增大而减小，
．
【解析】由二次函数与轴交点情况，可知；
求出抛物线对称轴为直线，由于和点，都在对称轴的左侧，即可求解；
本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．
20.【答案】证明，，
，
，，
，
∽．
解：，，
，
∽，
，
，
．
答：的长为．
【解析】由，，推出，由此即可证明；
先证明由∽，得，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
21.【答案】解：这次抽样调查的学生人数为名，组的频数为，
补全频数分布直方图，如图：
在抽取调查的若干名学生中体重在组的人数最多；
样本中体重超过的学生是人，
估计该校七年级体重超过的学生大约有名．
【解析】根据组的百分比和频数得出样本容量，并计算出组的频数补全频数分布直方图即可；
由图表得出组学生最多即可；
根据样本估计总体即可．
此题考查频数分布直方图，关键是根据频数分布直方图得出信息进行计算．
22.【答案】解：设一次函数解析式为：
当，；当，；
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：
，
整理得：，
解得：，，
让顾客得到更大的实惠，
，
答：商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
设一次函数解析式为：，由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可；
由题意得出方程 ，解方程即可．
23.【答案】解：，，，
，
，
，
把代入，可得；
由可知，，反比例函数的解析式为，
垂直轴，点在反比例函数上，
，
设直线的解析式为：，
，解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为：．
令，解得，
，
，
．
【解析】利用等腰三角形的性质求出点的坐标即可解决问题；
先求出点的坐标，由此可求出的解析式，根据，的坐标可求出直线的解析式，联立可求出点的坐标，由此可求出和的长度，进而求解．
本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数的交点，两点之间距离等知识，解题的关键是掌握基本知识，属中考常见题型．
24.【答案】解：过点作于点，
则四边形为矩形，
米，
设米，
在中，，
米，
米，米，
在中，，
则，
解得：，
答：办公楼的高度为；
在中，，
则，即，
解得：，
答：，之间的距离约为米．
【解析】过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义计算，得到答案；
根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：把代入得，
．
．
把，代入得，
解得，
．
如图，作轴交于点，
把代入得，
点坐标为，
设直线解析式为，
将，代入得，
解得．
，
点坐标为，
，
，
，
．
当时，最大值为．
【解析】把代入二次函数解析式求点坐标，通过求解．
通过待定系数法求解．
作轴交于点，设点坐标为，求出所在直线解析式可求得长度，根据求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
26.【答案】解：过点作，交的延长线于点，
；
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
；
作于，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得，，
的长为．
【解析】由平行线的性质可得；
由，得∽，则，从而得出的长，再证明即可；
作于，由，得∽，同理得出，再根据，利用含角的直角三角形的性质可得，的长，从而求出，，再利用勾股定理求出．
本题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用题干提供的方法进行解题的关键，属于方法应用型．
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