编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 空间向量的数量积运算综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2019·上海市北虹高级中学高二期末）如图，平行六面体中，若，，，则下列向量中与相等的向量是
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由题意可得,化简得到结果．
【详解详析】
由题意可得
,故选D.
【名师指路】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
2．（2020·上海·高二课时练习）已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【标准答案】A
【思路指引】
根据三点共线的知识确定正确选项.
【详解详析】
依题意，
，所以共线，即三点共线，A正确.
，则不共线、不共线，BD错误.
，则不共线，C错误.
故选：A
3．（2021·上海市徐汇中学高二期中）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．21
【标准答案】B
【思路指引】
由条件可知点在平面上，并且由几何意义可知平面，利用数量积的几何意义求的不同取值的个数.
【详解详析】
条件“且”，说明点在平面上，而说明为平面的中心，此时平面，由向量数量积的几何意义，在的投影有5种情况：0、、，∴数量积的不同取值的个数是5，
故选：B．
【名师指路】
本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.
4．（2021·上海交大附中高三开学考试）对平面中的任意平行四边形，可以用向量方法证明：，若将上述结论类比到空间的平行六面体，则得到的结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
【标准答案】D
【思路指引】
平行四边形中是对角线的平方和等于四边的平方和，类比平行六面体中是对角线的平方和等于所有棱的平方和，整理即为．
【详解详析】
在平行六面体中，
，同理，
，，
所以，
同理，
，
所以
即
故选：D．
5．（2018·上海市张堰中学高二月考）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
如图所示,连接AG1交BC于点M，则M为BC中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.
【详解详析】
如图所示,连接AG1交BC于点M,则M为BC中点，
)=,
.
因为
所以=3(),
∴ .
则，
∴ ，，，
故选：A.
6．（2020·上海市七宝中学模拟预测）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解详析】
设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
7．（2021·上海市金山中学高二期中）在正方体中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是120°
D．正方体的体积为
【标准答案】D
【思路指引】
根据空间向量的知识对每个选项逐一分析即可.
【详解详析】
正方体 如图所示，
对于A选项，，，故 A 正确；
对于B选项， ，
在平面内的投影为，
又因为
，即，故B正确；
对于C选项，为等边三角形，
，向量与的夹角是，故 C 正确；
对于D选项，，，故D显然错误.
故选：D
8．（2021·上海·高二月考）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
利用空间向量的三角形法则可得，结合平行六面体的性质分析解答．
【详解详析】
平行六面体中，M为与的交点，，，，
则有：
，
所以.
故选：A
9．（2021·上海·曹杨二中高二月考）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非必要非充分条件
【标准答案】A
【思路指引】
先讨论充分性，令，可得出，从而确定充分性成立；再讨论必要性，举出反例当，此时满足，但“”不成立，确定必要性不成立；从而得出结论.
【详解详析】
解：由题可知，非零向量，
当“”成立，令，
，
则，而，
，则，故充分性成立；
若，此时满足，
由于分母不能为0，可知“”不成立，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
10．（2021·上海市大同中学高三月考）已知，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于
A．3 B． C．4 D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.
【详解详析】
因为
而，
所以
因为，，， 是单位向量，且，
所以不共线，
所以，故选A.
【名师指路】
本题主要考查了向量与不等式的关系，涉及向量的共线问题，属于难题.
二、填空题
11．（2020·上海交大附中高二期中）平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是______.
【标准答案】
根据，平方得到，计算得到答案.
【详解详析】
，
故
，解得.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12．（2020·上海·复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________
【标准答案】
设,则,根据空间四点共面的条件，又四点共面，则，即得出答案.
【详解详析】
设.
则,,.
由为底面中心,
又因为四点共面,所以且.
所以，即
即.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.
13．（2021·上海·高二月考）a，b为空间两条互相垂直的直线，直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴旋转，，有下列结论：
①当直线与a成60°角时，与b成30°角；
②当直线与a成60°角时，与b成45°角；
⑤直线与a所成角的最大值为60°；
④直线与a所成角的最小值为30°；
其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）
【标准答案】②④
【思路指引】
由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以 C为圆心，为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．
【详解详析】
由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示的长方体高为1，底面边长为，
故|AC|＝1，|AB|=2，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），| |＝1，
直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cos，sin ，0），
其中为B′C与CD的夹角，，
∴AB′在运动过程中的向量，=（cos θ，sinθ，﹣1），||=2，
设与所成夹角为 α∈[0，]，
则|sin |∈[0，]，
∴∈[，]，∴③错误，④正确．
设与所成夹角为 ∈[0，]，
|cos |，
当与夹角为60°时，即 α，
|sin|，
∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cos|cos θ|，
∵β∈[0，]，∴，此时 与的夹角为45°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②④．
【名师指路】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．
14．（2021·上海市实验学校高二期中）在三棱锥中，已知，，，则___________
【标准答案】
【思路指引】
用表示，根据条件列出方程建立的关系，利用等量代换计算即得.
【详解详析】
设，显然，
则，即，
而，即，
于是得，，
，
则有，所以.
故答案为：
15．（2021·上海市实验学校高二期末）如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
【标准答案】2
【思路指引】
题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.
【详解详析】
解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
【名师指路】
要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.
16．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图，已知线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，线段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，则C、D间的距离为_____________；
【标准答案】
【思路指引】
根据图像将用表示出来，然后求模即可得到结果．
【详解详析】
解：线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，，
由题意可知：，
因为AC⊥，⊥，运算，
又=30°，所以异面直线所成的角为，
．
所以、间的距离为：．
故答案为：.
17．（2021·上海市金山中学高二期末）四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥的体积为_______
【标准答案】
【思路指引】
计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.
【详解详析】
由，，所以底面，
，
故，
体积为.
故答案为：16.
18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________．
【标准答案】
【思路指引】
建立平面直角坐标系，求得点的轨迹，结合圆的知识求得的最小值.
【详解详析】
设，，，∴，求的最值，、、、在同一平面时，有最值，
如图建系，不妨设，，，中点，
可知，，，
，由可知，
消参可得，即点轨迹为，
点的轨迹是为圆心，半径为的圆.
所以，即．
故答案为：
19．（2021·上海·高二月考）设向量，.其中.则与夹角的最大值为________.
【标准答案】
【思路指引】
由两向量中的已知坐标和未知坐标间的关系，得出两向量的终点的轨迹，运用向量的夹角公式求解.
【详解详析】
向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；
向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；
且为圆与圆的距离为1，
如图所示，两向量的夹角最大，为.
【名师指路】
本题考查动点的轨迹和空间直角坐标系中向量的夹角，属于中档题.
20．（2021·上海中学高二期中）已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则______
【标准答案】##
【思路指引】
根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.
【详解详析】
由可知：
当时，有最小值1，
因为是空间单位向量，,空间向量满足,
所以,
显然当时，有最小值，最小值为1，所以，
解得：，即当时成立，因此，
故答案为：
【名师指路】
关键点睛：根据最值的定义利用配方法是解题的关键.
三、解答题
21．（2018·上海市南洋模范中学高三期末）已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，
（1）试计算的绝对值的值，并求证面；
（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.
【标准答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，，的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积．
【思路指引】
（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；
（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．
【详解详析】
（1）由题意＝48．
，，
∴，即．是平面内两相交直线，
∴平面．
（2）由题意，，
，
，
∴．
∴，
猜想：的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积．
【名师指路】
本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．
22．（2019·上海市七宝中学高二期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；
（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；
（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果.
【详解详析】
（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系
则，，，，，
，
（2）由（1）知：，
平面，平面
又，平面， 平面
平面的一个法向量为
设平面的法向量
则，令，则，
二面角的正弦值为
（3）由（1）知：，
设，
平面，平面
又，平面， 平面
平面的一个法向量为
设为直线与平面所成角
则，解得：
则 ，即的长为
【名师指路】
本题考查空间向量法解决立体几何中的垂直关系证明、二面角的求解、根据线面角求解其他量的问题；考查学生对于空间向量法的掌握情况，属于常考题型.
23．（2019·上海·同济大学第一附属中学高二期末）在平面四边形中，、分、所成的比为，即，则有：.
（1）拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；
（2）在长方体中，，，，、分别为、的中点，利用上述（1）的结论求线段的长度；
（3）在所有棱长均为平行六面体中，（为锐角定值），、分、所成的比为，求的长度.（用，，表示）
【标准答案】（1）命题同题干，证明见解析；（2）；（3）
【思路指引】
（1）由条件可得，利用向量的线性运算证明即可；
（2）由（1）的结论可得，两边同时平方计算可得结果；
（3）由（1）的结论可得，两边同时平方计算可得结果.
【详解详析】
（1）在空间四边形中，、分、所成的比为，即，则有：.
证明：
；
（2）由（1）的结论可得，
，
；
（3）如图：
与所成的角为，
又由（1）的结论可得，
，
.
【名师指路】
本题考查空间向量的线性运算，数量积的运算及模的运算，考查学生计算能力，是中档题.
24．（2022·上海·高三月考）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.
（1）求点B1到平面D1AC的距离；
（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
【标准答案】（1）；（2）存在，.
【思路指引】
（1）根据图形建立空间直角坐标系，分别求出的方向向量和平面D1AC的法向量，最后根据距离公式求解即可.
（2）设，分别求出直线AP与CD1的方向向量，根据数量积等于0求出的值，最后确定点P的位置.
【详解详析】
解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点，
以射线OA OB OO1分别为x y z轴，建立空间直角坐标系.
由已知条件，相关点的坐标为A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)，
设平面D1AC的法向量为，
由，，
得，
令z=1，则
因，
故点B1到平面D1AC的距离为.
（2）设，
则由，，
得.
又，
故当时，.
于是，在线段BO1上存在点P，使得AP⊥CD1，
此时.
【名师指路】
用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.
25．（2018·上海交大附中高二期末）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.
（1）设，，若，求向量；
（2）对于中的任意两个向量，，证明：；
（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.
【标准答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.
【详解详析】
分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.
详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：
或；
（2）设，，，则
从而得证；
（3）设与的夹角为，则，
则，故最大值为.
点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 空间向量的数量积运算综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2019·上海市北虹高级中学高二期末）如图，平行六面体中，若，，，则下列向量中与相等的向量是
A． B．
C． D．
2．（2020·上海·高二课时练习）已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
3．（2021·上海市徐汇中学高二期中）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．21
4．（2021·上海交大附中高三开学考试）对平面中的任意平行四边形，可以用向量方法证明：，若将上述结论类比到空间的平行六面体，则得到的结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2018·上海市张堰中学高二月考）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·上海市七宝中学模拟预测）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·上海市金山中学高二期中）在正方体中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是120°
D．正方体的体积为
8．（2021·上海·高二月考）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2021·上海·曹杨二中高二月考）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非必要非充分条件
10．（2021·上海市大同中学高三月考）已知，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
11．（2020·上海交大附中高二期中）平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是______.
12．（2020·上海·复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________
13．（2021·上海·高二月考）a，b为空间两条互相垂直的直线，直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴旋转，，有下列结论：
①当直线与a成60°角时，与b成30°角；
②当直线与a成60°角时，与b成45°角；
⑤直线与a所成角的最大值为60°；
④直线与a所成角的最小值为30°；
其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）
14．（2021·上海市实验学校高二期中）在三棱锥中，已知，，，则___________
15．（2021·上海市实验学校高二期末）如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
16．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图，已知线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，线段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，则C、D间的距离为_____________；
17．（2021·上海市金山中学高二期末）四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥的体积为_______
18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________．
19．（2021·上海·高二月考）设向量，.其中.则与夹角的最大值为________.
20．（2021·上海中学高二期中）已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则______
三、解答题
21．（2018·上海市南洋模范中学高三期末）已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，
（1）试计算的绝对值的值，并求证面；
（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.
22．（2019·上海市七宝中学高二期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.
23．（2019·上海·同济大学第一附属中学高二期末）在平面四边形中，、分、所成的比为，即，则有：.
（1）拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；
（2）在长方体中，，，，、分别为、的中点，利用上述（1）的结论求线段的长度；
（3）在所有棱长均为平行六面体中，（为锐角定值），、分、所成的比为，求的长度.（用，，表示）
24．（2022·上海·高三月考）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.
（1）求点B1到平面D1AC的距离；
（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
25．（2018·上海交大附中高二期末）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.
（1）设，，若，求向量；
（2）对于中的任意两个向量，，证明：；
（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.
