编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 空间向量基本定理易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．6π B．10π C．8π D．12π
5．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A． B． C．a2 D．a2
6．已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
7．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
10．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在四棱锥P ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________.
12．在空间四边形ABCD中，，，则________.
13．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则________，________，________.
14．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
15．在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若=a，=b，=c，则=____________
16．已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：
①；
②；
③点到面的距离为；
④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是
其中正确结论的序号是___________．
17．已知关于向量的命题，
（1）是，共线的充分不必要条件；
（2）若，则存在唯一的实数，使；
（3），，则；
（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
（5）．
在以上命题中，所有正确命题的序号是________．
18．如图，在平行六面体中，，，，，AC与BD相交于点O，则______．
19．下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
20．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）
三、解答题
21．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
22．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．
23．1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，
(1)若，，，求；
(2)试用向量，，表示．
24．已知是平行六面体．
(1)化简，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值．
25．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
(1)试用、、表示；
(2)求的长度.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 空间向量基本定理易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解详析】
在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
2．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解详析】
依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
3．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底.
【详解详析】
结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，
故选：C.
4．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．6π B．10π C．8π D．12π
【标准答案】C
【思路指引】
利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．
【详解详析】
解：，，
，
又、、两两相互垂直，
，即，
，，
，则为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：C．
5．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A． B． C．a2 D．a2
【标准答案】A
【思路指引】
利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.
【详解详析】
由题意，正四面体ABCD如图所示，
因为E，F分别是BC，AD的中点，
所以，，
又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以，
故
(a2cos60°+a2cos60°)
a2．
故选：A．
6．已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【标准答案】A
【思路指引】
利用向量为基底表示，再根据数量积求解即可.
【详解详析】
解：如图，因为为中点，为中点
所以，
因为正四面体的棱长为，
所以
故选：A
7．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
【标准答案】B
【思路指引】
举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解详析】
①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
8．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由得，结合中点公式可得，由线性运算即可求解.
【详解详析】
由得；由点为线段的中点得，
∴，
故选：D
9．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【标准答案】D
【思路指引】
以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解详析】
以向量为基底向量，
所以
所以
故选：D
10．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可．
【详解详析】
解：对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，
对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，
对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，
对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.
故选：D．
二、填空题
11．在四棱锥P ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________.
【标准答案】
【思路指引】
由空间向量的基本定理求解即可
【详解详析】
因为BG＝2GD，所以，
又，
所以
故答案为：
12．在空间四边形ABCD中，，，则________.
【标准答案】
【思路指引】
利用向量的加法法则，及三点共线的推论即可得解.
【详解详析】
，
，即
又，三点共线，，解得
故答案为：
13．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则________，________，________.
【标准答案】
【思路指引】
取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解详析】
取中点N，连接，
又
故答案为：，，
14．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
【标准答案】1
【思路指引】
根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.
【详解详析】
在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：
因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，
，
于是得，
所以的值为1.
故答案为：1
15．在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若=a，=b，=c，则=____________
【标准答案】
【思路指引】
根据空间向量的加减法则得到，带入计算化简得到答案.
【详解详析】
.
故答案为：.
16．已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：
①；
②；
③点到面的距离为；
④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是
其中正确结论的序号是___________．
【标准答案】①②④
【思路指引】
根据空间向量的线性运算结合正方体的结构特征即可判断①；
根据空间向量基本定理及向量数量积的运算律即可判断②；
求出三棱锥的体积，利用等体积法即可求出点到面的距离，从而判断③；
证明，，可得平面，从而可得点的轨迹为线段，即可判断④.
【详解详析】
解：在正方体中，
，故①正确；
因为，
则
，故②正确；
设点到面的距离为，则，
，
又，则，
所以，所以，
即点到面的距离为，故③错误；
对于④，连接，
在正方体中，
平面，又平面，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以，
同理，
又，所以平面，
又平面，所以，
因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，
所以点的轨迹为线段，
所以的取值范围是，故④正确.
故答案为：①②④.
17．已知关于向量的命题，
（1）是，共线的充分不必要条件；
（2）若，则存在唯一的实数，使；
（3），，则；
（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
（5）．
在以上命题中，所有正确命题的序号是________．
【标准答案】（1）（4）
【思路指引】
根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．
【详解详析】
（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；
（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；
（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；
（4）令，则，所以，无解，即，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；
（5），即（5）错误．
命题（1）（4）正确．
故答案为：（1）（4）．
18．如图，在平行六面体中，，，，，AC与BD相交于点O，则______．
【标准答案】
【思路指引】
用向量法求解距离，将转换成模长和夹角已知的向量，根据向量平方等于模长的平方进行计算
【详解详析】
由图可得，，所以
所以，
故答案为：
19．下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
【标准答案】①③
【思路指引】
由空间向量基本定理可判断①；根据空间向量的位置关系可判断②；由向量的数量积以及充分条件和必要条件的定义可判断③；根据共线向量的定义可判断④，进而可得正确答案.
【详解详析】
对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；
对于③：由可得：
，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故③正确；
对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；
所以正确的有①③，
故答案为：①③.
20．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）
【标准答案】
【思路指引】
利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.
【详解详析】
，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，
因AP＝3PN，，则，
所以.
故答案为：
三、解答题
21．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【标准答案】(1)；
(2)
【思路指引】
（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
(1)
，
因为，同理可得，
所以
(2)
因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
22．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．
【标准答案】(1)，
(2)
(3)
【思路指引】
（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（3）先用，，表示，再计算，发现其恒为零，进而可得a的取值范围．
(1)
(2)
(3)
又
即对任意，都有
即a的取值范围为.
23．1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，
(1)若，，，求；
(2)试用向量，，表示．
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
（1）利用及空间向量的数量积运算法则进行计算；（2）结合题干中的数量关系，把用向量，，的线性关系表达出来.
(1)
由题意得：，因为，，，所以
(2)
因为是四面体的棱的中点，所以，因为，所以，又因为，所以
24．已知是平行六面体．
(1)化简，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值．
【标准答案】(1)答案见详解图形
(2)
【思路指引】
（1）作中点，延长至，使得，结合向量线性运算的加法公式和点乘运算化简即可；
（2）将向量结合线性运算的加法和减法运算表示成以为基底的向量，由对应关系即可求解，，值．
(1)
作中点，延长至，使得，
则
(2)
结合向量线性运算的加法与减法运算可得
，
又，所以.
25．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
(1)试用、、表示；
(2)求的长度.
【标准答案】(1)；
(2).
【思路指引】
(1)根据给定条件结合空间向量的线性运算计算作答.
(2)用、、表示出，借助空间向量数量积运算计算作答.
(1)
平行六面体中，，，，因，于是得：
，
所以.
(2)
平行六面体中，，，
，
因，且底面是正方形，，，
则有，，同理，，
因此，，
所以的长度是.
