编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 空间向量的坐标表示综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·华师大二附中高二期中）设，，…，是空间中给定的2021个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
2．（2021·上海市建平中学高二期末）空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
3．（2018·上海市七宝中学高二期中）长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合，中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019·上海市建平中学高三开学考试）如图，在直三棱柱中，，，已知G与E分别为和的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若，则线段DF的长度的平方取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2021·上海·模拟预测）设向量，，其中，则下列判断错误的是
A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）
B．的最大值为
C．与夹角的最大值为
D．的最大值为l
二、填空题
6．（2019·上海大学附属中学高二月考）已知，，且，则________.
7．（2019·上海市向明中学高二期末）向量与之间的夹角的大小为__________.
8．（2021·上海市实验学校高二期中）平面与平面垂直,平面与平面的法向量分别为，则的值为_____.
9．（2020·上海·闵行中学高二期中）已知向量且与互相垂直，则k的值是________.
10．（2020·上海市七宝中学高二期末）在正方体中，给出下面四个命题：
①；②与夹角为120 ；③；④正方体的体积是，则正确的命题是__________．
11．（2021·上海长宁·二模）若向量，则向量的夹角为_____．
12．（2021·上海·复旦附中高二期中）若，，则平行四边形ABCD的面积为___________.
13．（2021·上海·曹杨二中高二期末）设空间向量，，若，则 ___．
14．（2021·上海市松江二中高二期中）设，向量，，，且，，则的值为______________.
15．（2021·上海市行知中学高二期中）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M为线段CC1的中点，点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为 ___．
16．（2021·上海交大附中高二期中）已知空间向量，，那么在上的投影向量为___________.
17．（2021·上海市建平中学高二月考）已知向量，则向量的单位向量的坐标为_________．
18．（2021·上海交大附中高二开学考试）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.
19．（2021·上海市控江中学三模）设正四面体在空间直角坐标系中点的坐标为，集合{y|存在，使得}，则集合A的元素个数可能为__________种.（写出所有可能的值）
20．（2021·上海·闵行中学高二期末）点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.
三、解答题
21．（2018·上海青浦·高二期末）已知四边形是矩形，平面，，点在线段上（不为端点），且满足，其中.
（1）若，求直线与平面所成的角的大小；
（2）是否存在，使是的公垂线，即同时垂直？说明理由.
22．（2022·上海·高三月考）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为.上午10时07分测得飞行机器人在处，并对飞行机器人发出指令：以速度米/秒沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动.机器人近似看成一个点.
（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；
（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离(精确到米).
23．（2021·上海市洋泾中学高二期中）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.
(1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；
(2)若点C到平面的距离为，求正四棱柱的高；
(3)在（2）的条件下，若平面内存在点P满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值.
24．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ，
（1）当时，求证：直线平面；
（2）当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离；
（3）当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离．
25．（2021·上海·格致中学高二期中）如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直．
(1)求异面直线AE与BD所成角的大小；
(2)在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且，，试用x，y来表示线段MN的长度；
(3)在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段 编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 空间向量的坐标表示综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·华师大二附中高二期中）设，，…，是空间中给定的2021个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
【标准答案】B
【思路指引】
分别设出，，…，和各点的坐标，根据向量加法坐标运算代入可得答案.
【详解详析】
设，，…，，，
，
因为，所以
，得，
因此存在唯一的点使得成立.
故选：B.
2．（2021·上海市建平中学高二期末）空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
【标准答案】D
【思路指引】
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解详析】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
3．（2018·上海市七宝中学高二期中）长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合，中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解．
【详解详析】
由题意，因为正方体的底面为班车为1的正方形，高为2，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
体对角线向量为，此时，
，此时，
，此时，
，此时，
综上集合，集合中元素的个数为3个．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．（2019·上海市建平中学高三开学考试）如图，在直三棱柱中，，，已知G与E分别为和的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若，则线段DF的长度的平方取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据直三棱柱中三条棱两两垂直，可建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可．
【详解详析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），
G（ ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）
∴
∵GD⊥EF，
∴x+2y﹣1＝0，
∴x＝1﹣2y
DF
∵0＜y＜1
∴当y时，线段DF长度的最小值是
又y＝0时，线段DF长度的最大值是1
而不包括端点，故y＝1不能取；
故线段DF的长度的取值范围是：[，1）．
即线段的长度的平方取值范围为，
故选D.
【名师指路】
本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2021·上海·模拟预测）设向量，，其中，则下列判断错误的是
A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）
B．的最大值为
C．与夹角的最大值为
D．的最大值为l
【标准答案】B
【思路指引】
在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【详解详析】
解：由向量，，其中，知：
在A中，设z轴正方向的方向向量，
向量与z轴正方向的夹角的余弦值：
，
∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
在B中，，
且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得：，
，
∴与的夹角的最大值为，故C正确；
在D中，，
∴ad bc的最大值为1．故D正确．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题
6．（2019·上海大学附属中学高二月考）已知，，且，则________.
【标准答案】2
【思路指引】
利用 0即可得出．
【详解详析】
∵，∴1×4+2×（-5）+3x＝0，化为3x＝6，解得x＝2．
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
7．（2019·上海市向明中学高二期末）向量与之间的夹角的大小为__________.
【标准答案】120°
【思路指引】
首先求得向量的数量积和向量的模，然后利用夹角公式即可求得向量的夹角.
【详解详析】
由题意可得：，，，
则.
故答案为：120°．
【名师指路】
本题主要考查空间向量夹角的计算，空间向量数量积和向量的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．（2021·上海市实验学校高二期中）平面与平面垂直,平面与平面的法向量分别为，则的值为_____.
【标准答案】5
【思路指引】
先根据面面垂直，得到两平面的法向量垂直，则，再利用向量的坐标表示出两个向量的数量积得到等式，解之即可．
【详解详析】
∵平面与平面垂直，
∴平面的法向量与平面的法向量垂直，
∴即，解得，
故答案为：5.
【名师指路】
本题主要考查了面面垂直，以及平面法向量的概念和向量的数量积，同时考查了两向量垂直的充要条件，属于基础题．
9．（2020·上海·闵行中学高二期中）已知向量且与互相垂直，则k的值是________.
【标准答案】
利用向量垂直数量积等于零即可求解.
【详解详析】
由向量，
则，，
因为与互相垂直，
所以，即，
解得.
故答案为：
【名师指路】
本题考查了空间向量的坐标运算以及空间的向量积，属于基础题.
10．（2020·上海市七宝中学高二期末）在正方体中，给出下面四个命题：
①；②与夹角为120 ；③；④正方体的体积是，则正确的命题是__________．
【标准答案】①②③
【思路指引】
建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐一判断即可.
【详解详析】
建立空间直角坐标系，如图：
，，，
，，故①正确；
设与夹角为，
，，
所以，因为
所以与夹角为120 ，故②正确；
，，
，故③正确；
正方体的体积为
但是，故④错误.
故答案为：①②③
【名师指路】
本题考查了空间向量数量积的坐标表示、空间向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
11．（2021·上海长宁·二模）若向量，则向量的夹角为_____．
【标准答案】
【思路指引】
直接利用空间向量的夹角公式求解.
【详解详析】
根据题意，设向量的夹角为，
向量
则向量
则
又由，则
故答案为：．
12．（2021·上海·复旦附中高二期中）若，，则平行四边形ABCD的面积为___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据已知条件求解出的夹角余弦值，然后根据三角形的面积公式求解出三角形的面积，由此可求平行四边形的面积.
【详解详析】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以四边形的面积为，
故答案为：.
13．（2021·上海·曹杨二中高二期末）设空间向量，，若，则 ___．
【标准答案】
【思路指引】
先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.
【详解详析】
因为空间向量，，且，
所以，
即，
可得，解得：，，
所以，，
则，
所以．
故答案为：．
14．（2021·上海市松江二中高二期中）设，向量，，，且，，则的值为______________.
【标准答案】
【思路指引】
利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解.
【详解详析】
，向量，，，
，解得，又，
，解得，
则.
故答案为：.
15．（2021·上海市行知中学高二期中）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M为线段CC1的中点，点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为 ___．
【标准答案】
【思路指引】
建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，利用空间向量垂直关系，求出点P的坐标，进而求出的模长，即线段AP的长
【详解详析】
如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，
∴，
∵点P在平面A1B1C1D1上，∴设点，则
∵AP⊥平面MBD1，∴ ，解得：，
∴，
故答案为：
16．（2021·上海交大附中高二期中）已知空间向量，，那么在上的投影向量为___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据向量的数量积的概念与几何意义，结合投影向量的计算方法，即可求解.
【详解详析】
由题意，空间向量，，
可得，
所以在上的投影向量为，
故答案为：.
17．（2021·上海市建平中学高二月考）已知向量，则向量的单位向量的坐标为_________．
【标准答案】
【思路指引】
首先求出，再根据计算可得；
【详解详析】
解：因为，所以，所以向量的单位向量的坐标为
故答案为：
18．（2021·上海交大附中高二开学考试）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.
【标准答案】
【思路指引】
建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.
【详解详析】
以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系.则点，
所以.
因为，所以,
因为,所以，所以，
因为B(2，2，0)，所以，
所以
因为，所以当时，.
因为BC⊥BP,所以.
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
19．（2021·上海市控江中学三模）设正四面体在空间直角坐标系中点的坐标为，集合{y|存在，使得}，则集合A的元素个数可能为__________种.（写出所有可能的值）
【标准答案】2或3或4
【思路指引】
分析正四面体的某个面或棱与坐标面xOz的关系即可确定四个点的纵坐标的不同取值而得解.
【详解详析】
在空间直角坐标系O-xyz中，正四面体的四个顶点不共面，即A中至少有两个元素，
正四面体的某个面(不妨令平面)所在平面与平面xOz平行或重合时，，即A中有两个元素；
正四面体的任意一个面所在的平面与平面xOz都不平行且不重合，而某条棱所在的直线与平面xOz不相交(不妨令棱)时，
y3=y4，且y1，y2，y3互不相等，即A中有三个元素；
正四面体的所有棱所在直线与平面xOz都相交时，y1，y2，y3，y4中任意两个都不相等，即A中有四个元素.
故答案为：2或3或4
【名师指路】
结论点睛：两个平面平行，一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等；一条直线与一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离都相等.
20．（2021·上海·闵行中学高二期末）点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.
【标准答案】[﹣，0]
【思路指引】
建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算 x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
【详解详析】
解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），
∴ x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，
由二次函数的性质可得，当x＝y时， 取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时， 取得最大值为0，
则 的取值范围是[，0]．
故答案为：[，0]．
【名师指路】
本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．
三、解答题
21．（2018·上海青浦·高二期末）已知四边形是矩形，平面，，点在线段上（不为端点），且满足，其中.
（1）若，求直线与平面所成的角的大小；
（2）是否存在，使是的公垂线，即同时垂直？说明理由.
【标准答案】(1)；(2)不存在满足条件，理由见详解.
【思路指引】
(1)建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角余弦值得到线面角的正弦值，从而计算出线面角的大小；
(2)假设存在满足，根据表示出的坐标，即可求解出的坐标表示，根据、求解出的值.
【详解详析】
(1) 建立空间直角坐标系如图所示：
当时，为中点，因为，
所以，所以，
取平面一个法向量，设直线与平面所成的角的大小为，
所以，所以，所以，
所以直线与平面所成的角的大小为；
(2)设存在满足条件，因为，
所以，所以，
又因为，当是的公垂线时，
所以，所以无解即假设不成立，所以不存在满足条件.
【名师指路】
本题考查利用空间向量求解线面角、公垂线问题，难度一般.(1)利用直线的方向向量以及平面的法向量求解线面角时，要注意求出的直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值即为线面角的正弦；(2)公垂线的存在性问题可先假设成立，然后根据垂直关系得到向量的数量积为零，由此判断存在性是否成立.
22．（2022·上海·高三月考）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为.上午10时07分测得飞行机器人在处，并对飞行机器人发出指令：以速度米/秒沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动.机器人近似看成一个点.
（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；
（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离(精确到米).
【标准答案】（1）；（2）米.
【思路指引】
(1)已知利用向量的坐标运算性质即可求解；
(2) 当Q点与4点处于同一垂直线上时，与控制台4的距离最近,然后求出两点
间的距离即可求解.
【详解详析】
（1）设飞行时间为秒，的位置
当时，
，
当时，所以
得
当时
当时
，，
所以
秒后飞行机器人的位置
（2）当时
定义域内单调递减
∴，
当时
当时
∴，
答：在整个行驶过程中飞行机器人与控制台的最近距离米.
23．（2021·上海市洋泾中学高二期中）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.
(1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；
(2)若点C到平面的距离为，求正四棱柱的高；
(3)在（2）的条件下，若平面内存在点P满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值.
【标准答案】(1)证明见解析
(2)2
(3)
【思路指引】
(1)确定与底面所成角的平面角和异面直线与所成角，计算，，由此完成证明，(2)证明平面平面，确定点在平面的射影，解三角形求高，（3）建立空间直角坐标系，求出表达式，再求其最值.
(1)
∵底面
∴即与底面所成角
设正四棱柱的高为
则.
∵，∴即异面直线与所成角
在中，∵，
∴上的高为.
∴
所以，.
(2)
因为为与的交点，三角形是以为底边的等腰三角形
∴，又∴，∴平面.
由面面垂直的判定定理可知，
平面平面，且平面平面.
所以，点在平面的射影H在上
∴，∴
∵，∴，即.
∴，所以，正四棱柱的高为2.
(3)
建系，设
∵平面，∴
∴即.
∴
当时，有最大值1，此时，而也取最小值，
所以有最大值，所以有最小值，
最小值为
所以，的最小值为.
24．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ，
（1）当时，求证：直线平面；
（2）当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离；
（3）当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，点经此长方体表面到达点最短距离为；当时，点经此长方体表面到达点最短距离为
【思路指引】
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，证得，，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）利用基本不等式可求得的面积取得是大值时，分别为棱的中点，再利用等体积法可求得距离.
（3）分类讨论沿将长方体展开，；沿将长方体展开，，进而求得距离最小值.
【详解详析】
（1）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
，
，
又，所以直线平面
（2）由，知，则，
当且仅当，即时等号成立，此时分别为棱的中点，
在中，，，，
利用等体积法知，设点B到平面的距离为h，
则，即，解得
所以点B到平面的距离为
（3）沿将长方体展开，如图，
沿将长方体展开，如图，
当时，，此时
当时，，此时
综上，当时，从点经此长方体表面到达点最短距离为
当时，从点经此长方体表面到达点最短距离为
25．（2021·上海·格致中学高二期中）如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直．
(1)求异面直线AE与BD所成角的大小；
(2)在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且，，试用x，y来表示线段MN的长度；
(3)在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段
【标准答案】(1)
(2)，
(3)，MN是异面直线AE与BD的公垂线段
【思路指引】
（1）利用，可知为所求角，进而得解；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量的模长公式，即可表示线段MN的长度；
（3）求出的最小值，利用向量验证MN是否与AE，BD垂直.
(1)
补全正方体，连接，，由正方体的性质知，
则异面直线AE与BD所成角，即为直线与BD所成角
又为等边三角形，故
所以异面直线AE与BD所成角的大小为.
(2)
如图，以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
由，，知，，其中
，
则，
(3)
当，要求的最小值
即求的最小值
由
，
当且仅当时，等号成立，
，，
又，，，
则，，
，，
所以MN是异面直线AE与BD的公垂线段.
