编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 空间位置关系的向量证明常考点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）
A．，，且，
B．，，且
C．，，且
D．，，且
【标准答案】C
【思路指引】
利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.
【详解详析】
对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；
对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；
对于C，，，且，则，故C正确；
对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误.
故选：C.
2．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
建立空间直角坐标系，利用向量法表示点坐标满足的关系式，进而求得长度的取值范围.
【详解详析】
建立如图所示空间直角坐标系，
依题意，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设，，
,，
由于平面，所以，
则，，
，.
函数的开口向上，对称轴为，
所以在上递减，在上递增.
，，
，
所以长度的取值范围是.
故选：B
3．已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱、的中点，点P为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，建立适当的空间直角坐标系，结合空间向量找出点P的轨迹，即可求解.
【详解详析】
根据题意，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，设平面的法向量为，由，取，可得，
，由题意可知，平面，则，
令，可得；令，可得.
易知点P的轨迹交线段于点，交线段的中点，
因此点P的轨迹长度为.
故选：C.
4．如图，在三棱锥中，平面，，，．以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（ ）．
A．点P的坐标为 B．
C．可能为 D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.
【详解详析】
建立空间直角坐标系如图：
由题意可得，，，，
所以，.
设，则，
取，可得.
因为，，，
所以平面，
因为平面
所以平面平面，
所以，所以.
综上所述，A，B，D错，C正确.
故选：C
5．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
【标准答案】B
【思路指引】
设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【详解详析】
解：设正方体的棱长为2，则，，
∴，
设向量是平面的法向量，
则取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，只需和共线即可，
检验可知，ACD选项均不与共线.
所以能作为平面的法向量只有选项B
故选：B．
6．如图，在正四面体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，则（ ）
A．直线与垂直，直线平面
B．直线与垂直，直线与平面相交
C．直线与异面且不垂直，直线平面
D．直线与异面且不垂直，直线与平面相交
【标准答案】C
【思路指引】
将正四面体补成正方体，设，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解详析】
将正四面体补成正方体，设，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、.
，，则，
结合图形可知，直线与异面且不垂直，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
因为，故，则，
平面，故平面，
故选：C.
7．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内
【标准答案】C
【思路指引】
根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案.
【详解详析】
解：对于A选项，，所以，故或，故A选项错误；
对于B选项，，所以，故或，故B选项错误；
对于C选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面与所有坐标轴相交，故正确；
对于D选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点与平面关系，故错误.
故选：C
8．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
【标准答案】D
【思路指引】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，取线段的中点，求出平面的法向量，利用空间向量法可判断AB选项的正误；分析可知，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD选项的正误.
【详解详析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、、、，
，，所以，，
，线段的中点为，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，则.
对于A选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，则，解得，A对；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，即，解得，B对；
对于CD选项，，则，故，
因为.
因为，当时，取最小值，则的面积最小，D错，
当时，取最大值，则的面积最大，C对.
故选：D.
9．已知正方体是直线上一点，（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
【标准答案】A
【思路指引】
以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系后，求出相关直线所在的向量及平面的法向量，通过向量的数量积即可求解.
【详解详析】
以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
当时，，
，
设平面的一个法向量为，则，可取，
则，从而可知直线平面，故选项A正确，B不正确.
同理可取平面的一个法向量，
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确.
故选：A,
10．在正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积不是定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【标准答案】D
【思路指引】
判断当时在线段上，分别计算点为两个特殊点时的周长，即可判断A；当时在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断B；当时，取线段，的中点分别为，，连结，则在线段上，分别取在，处，得到均满足，即可判断C；当时，取的中，的中点，则在线的上，证明当在点处时，平面，利用过定与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断D．
【详解详析】
A：当时，，即，所以，
故在线段上，此时△的周长为，
当为的中点时，△的周长为，
当在点处时，△的周长为，
故周长不为定值，故错误；
B：当时，，即，所以，
故在线段上，又，面，面，则面，
∴直线上的点到平面的距离相等，又△的面积为定值，
∴三棱锥的体积为定值，故错误；
C：当时，取线段，的中点分别为，，连结，
由，即，所以，则在线段上，
当在处时，，，又，则平面，
又平面，所以，即，
同理，当在处，，故错误；
D：当时，取的中点，的中点，
由，即，所以，则在线的上，
当在点处时，取的中点，连结，，
由正三棱柱的性质知：面，又面，所以，
在正方形中，，又，、面，
故面，又面，所以，
在正方体形中，又，、面，
∴平面，过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点，使得平面，故正确．
故选：D．
【名师指路】
关键点点睛：根据各选项给定的参数值，结合题设向量的线性关系判断的位置，再由三棱锥的体积公式、线面垂直的判定及性质判断各项的正误.
二、填空题
11．如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：
①长度的最小值为；
②当时，与相交；
③始终与平面平行；
④当时，为直二面角．
正确的序号是__________．
【标准答案】①③
【思路指引】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式、二次函数的基本性质可判断①的正误，证明、、不共面可判断②的正误，利用空间向量法可判断③的正误，利用二面角的定义可判断④的正误.
【详解详析】
因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、.
对于①，，
当且仅当时，等号成立，①正确；
对于②，当时，，，
，，，
设，即，该方程组无解，所以，②错误；
对于③，、.
，平面的一个法向量为，
，则，平面，平面，③正确；
对于④，当时，、.
设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
所以，，此时，二面角不是直二面角，④错误.
故答案为：①③.
【名师指路】
结论点睛：利用空间向量法处理平行与垂直问题：设直线、的方向向量分别为，，平面、的法向量分别为，.
（1），，
；
（2）；
（3），；
（4）；
（5），，；
（6）.
12．如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．
【标准答案】
【思路指引】
以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体边长为2,用向量法求解.
【详解详析】
如图所示,以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
设正方体边长为2,可得
设，可得可得,可得.
设平面的一个法向量，则有，即
不妨令x=-2，则.
因为平面，所以，
解得：，即.
故答案为：.
13．下列命题中：
①若分别是平面α，β的法向量且α⊥β ＝0；
②若是平面α的法向量且向量与α共面，则；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确命题的序号是________．
【标准答案】①②③
【思路指引】
根据平面法向量的定义即可判断各选项.
【详解详析】
若两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然，所以①③正确；
是平面α的法向量，向量与α共面，，故②正确.
故答案为：①②③
14．已知边长为1的正方体，M为BC中点，N为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最小值为___________.
【标准答案】
【思路指引】
以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
利用垂直关系明确动点坐标特点，代入体积公式可得最值.
【详解详析】
以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，设
∴，
又，
∴，即，
∴，
∴
∴.
故答案为：
15．如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD，BF//CE，且AB=CE=3， BF=2，取AB的中点G，点H为线段CE上的一动点.
①当CH=1时，HG//平面ADF；
②直线CD与AE所成角的正切值为；
③存在点H使GH⊥DF；
④AF的中点到平面ABE的距离为.则以上说法正确的序号是___________.
【标准答案】①③④
【思路指引】
对①，取的中点，进而证明平面平面，然后得到答案；
对②，由AB∥CD，则∠EAB（或其补角）是所求角，进而解得答案；
对③，建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的数量积得到答案；
对④，根据题意，所求距离为到平面的距离的一半，进而用等体积法求得答案.
【详解详析】
对①，如图1，
取的中点，连接由题意，，即四边形BCHT是平行四边形，所以TH∥BC，而BC∥AD，所以TH∥AD，
又G,T分别为AB,FB的中点，所以GT∥AF，而，，
所以平面平面，故平面，故①正确；
对③，如图2，因为AB∥CD，所以直线与所成角即为直线与所成角，连
接，则∠EAB（或其补角）是所求角，因为EC⊥平面ABCD，所以EC⊥AB，
又AB⊥BC，且，所以AB⊥平面BCEF，则AB⊥BE，
所以，故②错误；
对于③，以C为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立如图3的空间直角坐标系，
则,设，所以，，若，
所以，解得，因为，符合题意，故③正确；
对④，如图4，
取的中点为，则到平面的距离即为到平面的距离的一半，
设所求距离为d，由勾股定理易得：,
则，
,所以.
即到平面的距离为，故④正确.
故答案为：①③④.
16．如图，在菱形中，，将沿折起，使点D翻折到位置，连，直线与平面所成的角为22.5°，如图所示，若E为中点，过C作平面的垂线l，在直线上取一点F，使平面，则的长为__________．
【标准答案】##0.5
【思路指引】
令，根据给定条件证得平面平面ABC，作OzBO，分别以射线OA，OB，Oz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算作答.
【详解详析】
在菱形中，令，如图：
因，平面，则平面，平面ABC，即有平面平面ABC，
在平面内过O作OzBO，而平面平面ABC=BO，于是得Oz平面ABC，
以点O为原点，分别以射线OA，OB，Oz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
过作交BO于M，则平面ABC，直线与平面ABC所成角为，即，
而，则，
因此，，
，令平面的一个法向量，
则，令，得，
因直线l过C且垂直于平面，点F在直线l上，设，于是得，
又平面，则，解得，
所以的长为.
故答案为：
17．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
【标准答案】2
【思路指引】
证明平面得到，故与以为直径的圆相切，计算半径得到答案.
【详解详析】
PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故，PQ⊥QD，，
故平面，平面，故，
在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，即与以为直径的圆相切，
，故间的距离为半径，即为1，故.
故答案为：2
18．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.
【标准答案】##
【思路指引】
构建空间直角坐标系，由已知确定相关点的坐标并设，进而得到、、的坐标，根据线面垂直有求参数t，即可知线段的长.
【详解详析】
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，，设，，
∴，，，
平面，
∴，即，
，解得
线段的长为
故答案为：
19．若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为，α的法向量为，则实数t的值为______．
【标准答案】
【思路指引】
根据直线l的方向向量与平面α的法向量平行，从而可求出t的值.
【详解详析】
因为直线l垂直于平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，
即，解得.
故答案为：.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．
【标准答案】##
【思路指引】
连接EO，证明OB，OD，OE两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.
【详解详析】
连接EO，因，则，而平面，且平面平面，
平面平面，于是得平面，又平面，平面，
即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形，
以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
因，，则，
则，
设，，，
设平面BMN的一个法向量，则，令，得，
设平面ABE的一个法向量，则，令，得，
因为平面平面ABE，则有，即，解得，
所以线段AN的长为．
故答案为：
三、解答题
21．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
【标准答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【思路指引】
（1）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，把坐标写出，两向量作数量积为零，即可得到垂直；
（2）取的中点，设为，连接，证出四边形为平行四边形，即得出，利用线面平行的判定定理得到平面.
（3）利用，（线线垂直）推出面（线面垂直），由于面，再由面面垂直的判定定理推出平面⊥平面.
(1)
证明： 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得.
(1)向量，故.
所以.
(2)
取的中点，设为，连接， 分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面.
(3)
底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面.
22．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，.点在上，且平面.
(1)证明：；
(2)求的值；
(3)求点到平面的距离.
【标准答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【思路指引】
（1）根据平面，，平面，得到，再利用线面垂直的判定定理证明；
（2）取中点，连接，由（1）得四边形为菱形，进而得到，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系，设，其中，由求解；
（3）由（2）知，再求得平面的一个法向量为，由求解.
(1)
解：因为平面，平面ACM，
所以.
因为平面，平面ABCD，
所以，又，
所以平面.
又平面PBD，
所以.
(2)
取中点，连接.
由（1）得四边形为菱形，
所以.
因为，
所以.
因为两两互相垂直，
以为原点， 的方向分别为轴 轴 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
所以.
设，，其中.
所以.
因为平面，
所以，即.
所以.
解得，即.
(3)
由（2）.
因为，.
设平面的一个法向量，则
，即
令，则，于是.
所以点到平面的距离为.
23．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点.
(1)求证：；
(2)求线段的长.
【标准答案】(1)证明见解析.
(2).
【思路指引】
（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示可得证；
（2）由中点坐标公式求得点M的坐标，再计算对应向量的模可得答案.
(1)
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1，0，1)，(0，1，0)，
(1，1，0)，(0，1，1)，
所以(1，1，1)，(1，0，1).
因为，
所以.
(2)
解：因为点是的中点，由（1）可知(，1，)，所以(，1，)，
从而.
24．如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
【标准答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【思路指引】
（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点， F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.
(1)
证明：如图所示：
连接，，取的中点为M，连接，ME，
因为E为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为F为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以B，E，，F四点共面；
(2)
以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，
则，，，
设平面BEF的一个法向量为，
则，即，
取，则；
设平面GEF的一个法向量为，
则，即，
取，则；
因为平面平面BEF，
所以，
所以，
所以.
所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.
25．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．
(1)求证：平面；
(2)设直线与平面交于，求证：．
【标准答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【思路指引】
（1）以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量可得答案；
（2）连接相相交于点，可得的交点就是，由 ，可得答案．
(1)
以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，设平面的法向量为，
所以即，令，则，
则，所以，即平面.
(2)
连接相交于点，则点是中点，连接，
因为平面，故且平面，
而平面，故平面，故平面平面，
所以的交点就是，连接，
又是的中点，所以，，
所以，所以，即.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 空间位置关系的向量证明常考点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）
A．，，且，
B．，，且
C．，，且
D．，，且
2．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱、的中点，点P为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在三棱锥中，平面，，，．以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（ ）．
A．点P的坐标为 B．
C．可能为 D．
5．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
6．如图，在正四面体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，则（ ）
A．直线与垂直，直线平面
B．直线与垂直，直线与平面相交
C．直线与异面且不垂直，直线平面
D．直线与异面且不垂直，直线与平面相交
7．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内
8．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
9．已知正方体是直线上一点，（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
10．在正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积不是定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
二、填空题
11．如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：
①长度的最小值为；
②当时，与相交；
③始终与平面平行；
④当时，为直二面角．
正确的序号是__________．
12．如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．
13．下列命题中：
①若分别是平面α，β的法向量且α⊥β ＝0；
②若是平面α的法向量且向量与α共面，则；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确命题的序号是________．
14．已知边长为1的正方体，M为BC中点，N为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最小值为___________.
15．如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD，BF//CE，且AB=CE=3， BF=2，取AB的中点G，点H为线段CE上的一动点.
①当CH=1时，HG//平面ADF；
②直线CD与AE所成角的正切值为；
③存在点H使GH⊥DF；
④AF的中点到平面ABE的距离为.则以上说法正确的序号是___________.
16．如图，在菱形中，，将沿折起，使点D翻折到位置，连，直线与平面所成的角为22.5°，如图所示，若E为中点，过C作平面的垂线l，在直线上取一点F，使平面，则的长为__________．
17．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
18．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.
19．若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为，α的法向量为，则实数t的值为______．
20．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．
三、解答题
21．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
22．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，.点在上，且平面.
(1)证明：；
(2)求的值；
(3)求点到平面的距离.
23．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点.
(1)求证：；
(2)求线段的长.
24．如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
25．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．
(1)求证：平面；
(2)设直线与平面交于，求证：．
