编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 等差数列的前n项和难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2022·上海·高三月考）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2021·上海青浦·一模）已知公差为的等差数列的前项和为，则“，对，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海虹口·一模）设等差数列的前项和为，如果，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．（2021·上海普陀·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2021·上海松江·高一期末）欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错 D．①错②对
7．（2022·上海·高三月考）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·上海市金山中学高三期中）已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
9．（2021·上海市控江中学高三月考）在等差数列，则在Sn中最大的负数为
A．S17 B．S18 C．S19 D．S20
10．（2022·上海·高三月考）若数列满足：对任意，只有有限个正整数，使得成立，记这样的的个数为，则得到一悠闲的数列，例如，若数列是1，2，3，…，，…，则得数列是0，1，2，…，，…，已知对任意的，，则（ ）
A． B．2014 C． D．2015
二、填空题
11．（2021·上海·华师大二附中高三月考）设数列满足，，，数列前n项和为，且（且），若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则_____________．
12．（2021·上海市七宝中学高三期中）数列中，表示与最接近的整数，则满足的正整数n的最小取值为___________.
13．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）若集合，则中元素的个数为___________
14．（2021·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 ___．
15．（2021·上海市大同中学高三月考）已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________.
16．（2021·上海静安·一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．
17．（2022·上海·高三月考）对于自然数，设，如，对于自然数n，m，当时，设，，则___________.
18．（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________．
19．（2021·上海市建平中学高二期中）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________
20．（2022·上海市复兴高级中学高二期末）已知，，…，（n为正整数）是直线上的n个不同的点，设，当且仅当时，恒有（i和j都是不大于n的正整数，且），.有下列命题：
①数列是等差数列；
②；
③点P在直线l上；
④若是等差数列，P点坐标为.
其中正确的命题有___________.（填写所有正确命题的序号）.
三、解答题
21．（2021·上海浦东新·三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
22．（2021·上海·曹杨二中高三月考）设等差数列的前n项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若 30 成等差数列， 18 成等比数列，求正整数p q的值；
（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
23．（2021·上海闵行·高一期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列．
（1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和；
（2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求，及数列的前2021项和；
（3）若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合．
24．（2021·上海市实验学校高三月考）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
25．（2021·上海普陀·二模）记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．
（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．
①，②；
（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 等差数列的前n项和难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2022·上海·高三月考）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【标准答案】C
【思路指引】
使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解详析】
若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
2．（2021·上海青浦·一模）已知公差为的等差数列的前项和为，则“，对，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【标准答案】C
利用等差数列的求和公式代入中化简，并结合通项公式得到等价的不等式，然后根据不等式恒成立的意义得出充分必要条件.
【详解详析】
∴“，对，恒成立”等价于“”对于，恒成立，
显然“”对于，恒成立，等价于“”,
∴“，对，恒成立”是“”的充分必要条件
故选：C.
【名师指路】
本题考查等差数列的求和公式和充分必要条件的判断，属小综合题，关键是根据题目中的条件，选用较为简便.
3．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
设出的值，利用等差数列的通项公式求得，进而利用等差下标性质可知代入前15项的和的公式中求得，进而推断出为常数．
【详解详析】
解：设（常数），
，即．
．
故选：．
4．（2021·上海虹口·一模）设等差数列的前项和为，如果，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【标准答案】B
【思路指引】
由可得，，结合前项和公式，判断，的符合可得正确选项.
【详解详析】
∵ ，
∴ ，，
∵数列为等差数列，
∴ ，，
∴ ，，
故选：B.
5．（2021·上海普陀·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【标准答案】B
令，利用奇偶性定义和导数可确定的奇偶性和单调性；将已知等式进行变形，令，，结合奇偶性和单调性可知且，利用等差数列求和公式可确定结果.
【详解详析】
设，则，
为上的奇函数；
又，为上的增函数.
由得：，
由得：，
令，，则，，
即，，
为等差数列，；
又为增函数且，，即，.
故选：B.
【名师指路】
关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，结合函数的单调性和奇偶性，根据函数值的大小关系确定自变量的大小关系，进而确定数列中的项之间的关系，从而推导得出结论.
6．（2021·上海松江·高一期末）欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错 D．①错②对
【标准答案】A
【思路指引】
对①，通过欧拉公式，，算出即可；
对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.
【详解详析】
对①，由题意，，正确；
对②，原式==
=，正确.
故选：A.
7．（2022·上海·高三月考）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．
【详解详析】
解：由已知可得，
由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，
所以，
当n=4或5时， 取得最大值为20，
因为有且只有两个正整数n满足，
所以满足条件的和，
因为，
所以实数k的取值范围是．
故选：C．
【名师指路】
方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.
8．（2021·上海市金山中学高三期中）已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
【标准答案】A
【思路指引】
①利用正弦函数为奇函数可得，再进行累加即可得到答案；
②是等差数列，当时，对分为奇数和偶数进行讨论；
【详解详析】
解：在为奇函数且单调递增，
①
所以，且，①正确；
②是等差数列，当时，
若为偶数，，
，
同理，…，，
所以
若为奇数，，
，，…，
所以；
同理，当时，也有.②正确.
故选：A
【名师指路】
本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.
9．（2021·上海市控江中学高三月考）在等差数列，则在Sn中最大的负数为
A．S17 B．S18 C．S19 D．S20
【标准答案】C
【思路指引】
根据等差数列性质得再比较S17， S18，S19， S20大小与正负，即得结果.
【详解详析】
因为，所以，
因为，
所以在Sn中最大的负数为S19，选C.
【名师指路】
等差数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
10．（2022·上海·高三月考）若数列满足：对任意，只有有限个正整数，使得成立，记这样的的个数为，则得到一悠闲的数列，例如，若数列是1，2，3，…，，…，则得数列是0，1，2，…，，…，已知对任意的，，则（ ）
A． B．2014 C． D．2015
【标准答案】C
当，关于的不等式的整数解的个数即为，根据的定义可得，再结合的定义可求的值，从而得正确的选项.
【详解详析】
因为，故满足的正整数的个数为不等式的整数解的个数.
当，关于的不等式的整数解的个数即为，
故，其中，
故中项的大小为共有项.
将列举如下： ①
而即为中的个数.
由①可得中的个数为.
故选：C.
【名师指路】
关键点点睛：为了求出不等式的正整数解的个数，我们把所有的正整数按分类，为了求出中的个数，我们用了列举法找到了计算中的个数的方法，这体现了数形结合的数学思想.
二、填空题
11．（2021·上海·华师大二附中高三月考）设数列满足，，，数列前n项和为，且（且），若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则_____________．
【标准答案】2021
【思路指引】
先求得，结合累加法求得，进而求得，结合的意义求得.
【详解详析】
（且）,
即，
整理得，
所以从第二项起是等差数列，且公差为，，
所以时，，
也符合上式，所以.
当时，，
所以
，
也符合上式，所以.
所以.
所以当时，；当时，.
所以，
所以.
故答案为：
12．（2021·上海市七宝中学高三期中）数列中，表示与最接近的整数，则满足的正整数n的最小取值为___________.
【标准答案】111
【思路指引】
由题意，数列中，表示与最接近的整数，即，即，的项有项，则，从而可得答案.
【详解详析】
解：由题意，因为数列中，表示与最接近的整数，即，
即，所以的项有项，
即，，，
所以利用分组求和：，
当，只需找到最大的整数k，使，则最小的n=k+1，
所以的最小取值为.
故答案为：111.
13．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）若集合，则中元素的个数为___________
【标准答案】
【思路指引】
由已知条件可得，即，由分析可得与一奇一偶，分别由求出的值即可求解.
【详解详析】
由可得：，
即，
因为，
而与奇偶性不同，一奇一偶，
所以种，
分别令可得中元素
分别为，，，，， ， ，
，共组，
故答案为：.
14．（2021·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 ___．
【标准答案】
【思路指引】
当时，，当时，可得的通项公式，再利用裂项求和即可求解.
【详解详析】
当时，，
当时，，
因为满足上式，所以，
所以
所以，
故答案为：.
15．（2021·上海市大同中学高三月考）已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________.
【标准答案】300
【思路指引】
由数列的通项公式可求得，推出数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可.
【详解详析】
因为
所以，
由题意可得，
其中，
可得，
则，
当时，也适合上式，
所以，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为
故答案为：300.
16．（2021·上海静安·一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．
【标准答案】
【思路指引】
先证明，从而可求数列的通项公式，最后求和即可.
【详解详析】
因为
，
所以，
所以当为偶数时，
；
当为奇数时，
.
所以，
数列的前n项和.
故答案为：
17．（2022·上海·高三月考）对于自然数，设，如，对于自然数n，m，当时，设，，则___________.
【标准答案】-144
【思路指引】
由题意可知，，，然后按照，，，，，进行求解即可．
【详解详析】
解：由题意，，
，
，，，，，，.
故答案为：-144
18．（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________．
【标准答案】
【思路指引】
利用累加法即可求出数列的通项公式.
【详解详析】
因为，所以，
所以，，，…，，
把以上个式子相加，得，
即，所以.
故答案为：.
19．（2021·上海市建平中学高二期中）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________
【标准答案】62
【思路指引】
设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，根据，得到即有，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解.
【详解详析】
解： 由题意知：等差数列满足
，
故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，
则，且，即，
由，则，即，
即有，
则
，
可得，解得，
即有的最大值为，的最大值为.
故答案为：.
20．（2022·上海市复兴高级中学高二期末）已知，，…，（n为正整数）是直线上的n个不同的点，设，当且仅当时，恒有（i和j都是不大于n的正整数，且），.有下列命题：
①数列是等差数列；
②；
③点P在直线l上；
④若是等差数列，P点坐标为.
其中正确的命题有___________.（填写所有正确命题的序号）.
【标准答案】②③④
【思路指引】
①可以根据题意进行判断；②根据题干条件当时，恒有，进行推导；③设出点P坐标，结合题干条件进行推导；④再第三问基础上进行推导即可.
【详解详析】
只有在数列是等差数列时，数列是等差数列，根据题意，数列不一定是等差数列，故数列不一定是等差数列，①错误；
因为，所以；②正确；
因为，设，则，，因为，，…，（n为正整数）是直线上的n个不同的点，所以，，，，则，，，，相加得：，因为，所以，点P在直线l上，③正确；
是等差数列，若为偶数，则，若为奇数，则，又当时，恒有（i和j都是不大于n的正整数，且），若为偶数，则
，同理可得：；若为奇数，则，同理可得：；
综上所述：若是等差数列，P点坐标为，④正确.
故答案为：②③④
三、解答题
21．（2021·上海浦东新·三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
【标准答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.
【思路指引】
（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可；
（2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.
【详解详析】
解：（1）记11月日新感染者人数为，
则数列是等差数列，，公差为，
又，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
人；
（2）记11月日新感染者人数为，
11月日新感染者人数最多，当时，.
当时，，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以，
得，即
解得或(舍)，
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
【名师指路】
本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程.
22．（2021·上海·曹杨二中高三月考）设等差数列的前n项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若 30 成等差数列， 18 成等比数列，求正整数p q的值；
（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
【标准答案】（1）；（2）；（3）存在，或14.
【思路指引】
（1）设等差数列的公差为，由题设可得关于的方程组，求出其解后可得列的通项公式.
（2）由（1）可得关于的方程组，其解即为所求的正整数p q的值；
（3）根据题设条件可得关于的方程，利用该方程有正整数解可求的值.
【详解详析】
（1），所以，
.
（2）由（1）可得.
因为成等差数列，成等比数列，
故，故或
所以或（因不是正整数，舍），
故.
（3）假设存在使得为数列中的项，
故，其中，
，
故，而，
所以（无正整数解，舍）或或
故或，所以或.
23．（2021·上海闵行·高一期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列．
（1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和；
（2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求，及数列的前2021项和；
（3）若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合．
【标准答案】（1）；（2），，；（3）.
【思路指引】
（1）当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可；
（2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可
（3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合
【详解详析】
（1）若数列为1级等差数列，
即为对一切，都成立，
则数列为等差数列，设公差为，
由，，可得，
则．
（2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，
可得对一切，都成立．
，
，
，……，
可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，
偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，
则
所以，，．
（3）∵是3级等差数列，∴，
对一切，都成立．
即，
∴．
∴，或．
对恒成立时，．
时，，∴，
∴．
24．（2021·上海市实验学校高三月考）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
【标准答案】（1）；（2）；（3）.
【思路指引】
（1）利用等差中项得出Sn与an的关系式，即可求出an；
（2）由题意可求出，然后利用等差数列前n项和公式可求；
（3）由题写出的表达式，构造函数，然后判断单调性，可求函数的最大值，即可解出答案.
【详解详析】
（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，
∴当时，，
当时，
∴，即，
∴数列为首项为1公差为1的等差数列，
故；
（2）∵，
∴，
所以当时，，
当时，
∴；
（3）由题知，
令，则，
∴，
故单调递减，于是
∴要得不等式对一切都成立，则.
25．（2021·上海普陀·二模）记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．
（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．
①，②；
（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．
【标准答案】（1）①数列为“趋势递减数列”；②数列不是“趋势递减数列”；理由见解析；（2）；（3）证明见解析．
【思路指引】
（1）根据“趋势递减数列”的定义逐个分析可得结果；
（2）由数列为“趋势递减数列”可得，①若，推出，经验证数列为“趋势递减数列”； ②若，推出，经验证数列为“趋势递减数列”，由此可得结果；
（3）利用反证法证明必要性，根据“趋势递减数列”的定义证明充分性,即可得解.
【详解详析】
（1）①中，由，，得（为正整数），
因为，所以①数列满足“趋势递减数列”的定义，故①中数列为“趋势递减数列”.
②中，由，，所以（为正整数），
因为，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”．
（2）由数列为“趋势递减数列”，得．
①若，则，即，也即，
此时为递减数列，故．
所以，
故（），满足条件．
②若，则，则，即，
由得，
则，则，
即，解得，所以．此时为递减数列，
所以，
所以，
所以当且时，，又，
所以（），满足条件，
由①②可得，．
（3）先证明必要性：用反证法．
假设存在正整数，使得，，令，
因为，且，所以，故，
则数列从项开始以后的各项为，
则当时，，所以，
所以，与是“趋势递减数列”矛盾．
故假设不成立，故的项中没有.
再证明充分性：
由，得，
因为中的项没有，所以对于任意正整数，．于是（为正整数），
所以，
①当时，，
②当时，，
所以均有，
故为“趋势递减数列”的充要条件是数列的项中没有．
【名师指路】
关键点点睛：理解并运用“趋势递减数列”的定义求解是解题关键.
