编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 等比数列的前n项和难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海浦东新·高二期末）等比数列的前项和，则的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
2．（2022·上海·高三月考）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2019·上海中学高二期末）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·上海市建平中学高一期末）设为数列的前项和，，则的值为
A． B． C． D．不确定
5．（2022·上海·高三月考）设是以为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，记，则中不超过的项的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（2022·上海·高三月考）已知数列满足：，设表示数列的前项和．则下列结论正确的是（ ）
A．和都存在 B．和都不存在
C．存在，不存在 D．不存在，存在
7．（2020·上海·高三月考）已知数列是等比数列，，且前项和满足，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·上海·华师大二附中高三期中）已知无穷等比数列的各项的和为3，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·上海·高考真题）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则数列单调递增
B．若，则数列单调递增
C．若数列单调递增，则
D．若数列单调递增，则
10．（2020·上海·上外附中高二月考）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
二、填空题
11．（2020·上海市金山中学高三期中）将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解，当是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为______．
12．（2021·上海市高桥中学高三期中）数列1，，的前n项之和____________.
13．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“数列”，则以下为“数列”的是______．
①是等差数列，且，公差；
②若是等比数列，且公比满足；
③若；
④若，．
14．（2021·上海市金山中学高二月考）等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为_________.
15．（2021·上海·模拟预测）已知是等比数列，它的前n项和为，且，，则________
16．（2021·上海市向明中学高三月考）已知数列前项和为，且满足，则________．
17．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：“9的因数有1、3、9，”，“10的因数有1、2、5、10，”，那么____________．
18．（2022·上海市控江中学高一期末）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，，，，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式______.
19．（2020·上海·格致中学高二期中）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为____.
20．（2021·上海嘉定·一模）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
三、解答题
21．（2022·上海市复兴高级中学高二期末）在数列中，，（n为正整数）.
(1)求的通项公式；
(2)求证：；
(3)若数列满足，，求数列的通项公式.
22．（2022·上海市控江中学高二期末）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．
(1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；
(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？
23．（2022·上海市控江中学高二期末）已知数列与满足．
(1)若，且，求数列的通项公式；
(2)设的第k项是数列的最小项，即恒成立．求证：的第k项是数列的最小项；
(3)设．若存在最大值M与最小值m，且，试求实数的取值范围．
24．（2022·上海·高三月考）定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.
25．（2022·上海·高三月考）已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.
（1）已知无穷数列的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
（2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；
（3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 等比数列的前n项和难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海浦东新·高二期末）等比数列的前项和，则的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【标准答案】D
由求出，由它们成等比数列求得即可得．
【详解详析】
由题意，，，
∵成等比数列，∴，解得，
此时，也满足．
故选：D．
【名师指路】
本题考查由数列的前项求项，考查等比数列的定义，掌握和与项的关系是解题基础．
2．（2022·上海·高三月考）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【标准答案】A
【思路指引】
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解详析】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3．（2019·上海中学高二期末）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，利用“”法求解.
【详解详析】
因为S3 = a2 +10a1，
所以a2 +a3= a2 +10a1，
即a3= 9a1，即= 9a1，
解得= 9，
又因为a5 = 9，
所以= 9，
解得，
故选：C.
4．（2019·上海市建平中学高一期末）设为数列的前项和，，则的值为
A． B． C． D．不确定
【标准答案】C
【思路指引】
令，由求出的值，再令时，由得出，两式相减可推出数列是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出的值.
【详解详析】
当时，，得；
当时，由得出，两式相减得，可得.
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.
故选C.
【名师指路】
本题考查利用前项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及与时，可利用公式求解出，也可以转化为来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．（2022·上海·高三月考）设是以为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，记，则中不超过的项的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【标准答案】C
【思路指引】
求出数列、的通项公式，可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整数的值，进而可得出结论.
【详解详析】
由题意可得，，所以，，
则，
所以，数列单调递增，
因为，，则，
则使得不等式成立的最大正整数的值为.
因此，数列中不超过的项的个数为.
故选：C.
【名师指路】
本题考查数列不等式的求解，考查了数列单调性的应用以及分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
6．（2022·上海·高三月考）已知数列满足：，设表示数列的前项和．则下列结论正确的是（ ）
A．和都存在 B．和都不存在
C．存在，不存在 D．不存在，存在
【标准答案】A
【思路指引】
根据数列的通项公式，利用等比数列的前项和公式以及分组求和法即可求解.
【详解详析】
数列，对任意的正整数，，
设表示数列的前项和，
，
，，，
，
，
，
所以和都存在.
故选：A
【名师指路】
本题考查了数列的分组求和、等比数列的前项和公式、数列极限，考查了基本计算能力，属于中档题.
7．（2020·上海·高三月考）已知数列是等比数列，，且前项和满足，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设等比数列的公比为，可知或，计算出，可得出关于的表达式，结合的范围，可解出的取值范围.
【详解详析】
设等比数列的公比为，由于，则或，
，则，得.
①若，则，即，，解得；
②当，则，得，，则不成立.
综上所述，的取值范围是.
故选A.
【名师指路】
本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.
8．（2020·上海·华师大二附中高三期中）已知无穷等比数列的各项的和为3，且，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
设等比数列的公比为，进而根据题意得，且，从而解得，故
【详解详析】
解：设等比数列的公比为，显然，
由于等比数列中，
所以等比数列的前项和为：，
因为无穷等比数列的各项的和为，
所以，且，
所以，解得，
所以.
故选：C.
【名师指路】
本题解题的关键在于根据题意将问题转化为，且，进而根据极限得，考查运算求解能力，是中档题.
9．（2022·上海·高考真题）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则数列单调递增
B．若，则数列单调递增
C．若数列单调递增，则
D．若数列单调递增，则
【标准答案】D
【思路指引】
根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；
举例首项和公比的值即可判断C；
根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.
【详解详析】
A：由，得，即，则、取值同号，
若，则不是递增数列，故A错误；
B：由，得，即，则、取值同号，
若，则数列不是递增数列，故B错误；
C：若等比数列，公比，则，
所以数列为递增数列，但，故C错误；
D：由数列为递增数列，得，所以，
即，所以，故D正确.
故选：D
10．（2020·上海·上外附中高二月考）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
【标准答案】C
【思路指引】
对于①举反例即可．对于②举反例即可．对于③是正确的命题，时可证恒成立，时有有无穷多项为0；对于④利用③的结论即可反证；对于⑤利用反证即可.
【详解详析】
是由实数构成的无穷等比数列，
对于①，令，则时，故结论是不正确的
对于②令，则恒成立，故结论不正确
对于③，当时，恒成立，
当且时，恒成立
当时，时，，时，恒成立．
综上可得结论是正确的．
对于④，由①可知结论是不正确的．
对于⑤，若，则，，，
可知结论是正确的．
故选：C.
【名师指路】
关键点睛：解决本题的关键是要善于举反例，同时也要灵活运用反证法来推敲、判断.
二、填空题
11．（2020·上海市金山中学高三期中）将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解，当是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为______．
【标准答案】
先通过归纳得，再利用等比数列求和得解.
【详解详析】
由题意得，
，
归纳得，
则
．
故答案为：
【名师指路】
关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.
12．（2021·上海市高桥中学高三期中）数列1，，的前n项之和____________.
【标准答案】
先归纳出通项公式，然后再分组求和．
【详解详析】
由题意，
∴．
故答案为：。
【名师指路】
本题考查求等比数列的前项和，分组（并项）求和法．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
13．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“数列”，则以下为“数列”的是______．
①是等差数列，且，公差；
②若是等比数列，且公比满足；
③若；
④若，．
【标准答案】②③
对于①②③④中的数列，分别求前项和，判断是否存在实数，使得对任意的，都有，即可判断该数列是否为“数列”，即可得正确答案.
【详解详析】
对于①：是等差数列，且，公差，由等差数列的前项和公式可得：，当无限大时，也无限大，所以数列不是 “数列”，故①不正确；
对于②：若是等比数列，且公比满足；所以，满足“数列”的定义，故②正确；
对于③：，
所以所以数列是“数列”，故③正确；
对于④：在数列中，，，
当是奇数时，，数列中的奇数项构成常数列，且各项都是，
当是偶数时，，即任意两个连续偶数和为，
当时，，所以不是“数列”，
综上所述为“数列”的是：②③，
故答案为：②③
【名师指路】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法；
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
14．（2021·上海市金山中学高二月考）等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为_________.
【标准答案】
求出，讨论n的奇偶利用数列单调性求出的最值即可得出.
【详解详析】
依题意得，.
当为奇数时，随着的增大而减小，，
随着的增大而增大，；
当为偶数时，随着的增大而增大，，
随着的增大而增大，.
因此的最大值与最小值分别为，，其最大值与最小值之和为.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查求数列的最值问题，解题的关键是讨论n的奇偶根据单调性求出范围.
15．（2021·上海·模拟预测）已知是等比数列，它的前n项和为，且，，则________
【标准答案】或
【思路指引】
根据是等比数列，且，，求得，再利用等比数列的前n项和公式求解.
【详解详析】
因为是等比数列，且，，
所以，解得，
当 时， ，
则 ，
当时，，
则，
故答案为：或
16．（2021·上海市向明中学高三月考）已知数列前项和为，且满足，则________．
【标准答案】
【思路指引】
根据与的关系式把已知条件中的转化为的形式，从而可求出是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的的通项公式即可求出数列的通项公式，从而可求出的值.
【详解详析】
因为时，，
所以， 即，
所以，即，
又时，，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
即，所以.
故答案为：.
17．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：“9的因数有1、3、9，”，“10的因数有1、2、5、10，”，那么____________．
【标准答案】
【思路指引】
根据题中对的定义，判断出，且若为奇数则，利用等差数列的前项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前项和公式，即可得出答案.
【详解详析】
由的定义易知，且若为奇数则
令
则
即
由此可得
以上各式相加得
即
故答案为：
【名师指路】
方法点睛：本题考查等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式、累加法的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.
18．（2022·上海市控江中学高一期末）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，，，，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式______.
【标准答案】
【思路指引】
依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前项和公式即可求解.
【详解详析】
由题意得，
，
，
，
，，
，
由等比数列的前项和公式可得，，
所以的通项公式.
故答案为：.
19．（2020·上海·格致中学高二期中）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为____.
【标准答案】
推导出对任意的时，取最大值时，为等比数列，求出该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的最大值.
【详解详析】
因为数列满足，，
所以，，可得，，则.
易得当时，，则、、、均为正数，
由可知，可得数列为单调递增数列，
当取最大值时，，可得，
所以，对任意的，取最大值时，数列为等比数列，且该数列的公比为，首项为.
因此，的最大值为.
故答案为：.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查数列和的最值，解题的关键就是结合题意推导出当中的每一项均取最大值时，为等比数列，在推导时可充分利用数学归纳法来进行推导.
20．（2021·上海嘉定·一模）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
【标准答案】36
【思路指引】
由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得.
【详解详析】
由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，
且.
可算得（项），，，
因为，，，所以，，，
因此所求的最小值为36.
故答案为：36.
三、解答题
21．（2022·上海市复兴高级中学高二期末）在数列中，，（n为正整数）.
(1)求的通项公式；
(2)求证：；
(3)若数列满足，，求数列的通项公式.
【标准答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【思路指引】
（1）利用累乘法可求出数列的通项公式；
（2）根据（1）可求出，从而根据裂项相消求和法可证明结论；
（3）根据（1）可知，从而利用累加法可求出数列的通项公式.
(1)
因为，
所以，，，，…，，
把以上个式子相乘，得
，
即，
所以，即.
(2)
因为，所以，
所以
，
所以.
(3)
因为，
即，
所以，，，，…，，
把以上个式子相加，得
，
又因为，所以.
22．（2022·上海市控江中学高二期末）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．
(1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；
(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？
【标准答案】(1)8745，1686元
(2)37天
【思路指引】
（1）根据等比数列的性质求出结果；
（2）对活动天数进行讨论，列出不等式求出的范围即可.
(1)
设第天的捐步人数为，则且，
∴第5天的捐步人数为．
由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为5000，公比为1.15，
∴前5天的捐步总收益为元.
(2)
设活动第天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，
若，则，
解得（舍）．
若，则，
解得
∴活动开始后第37天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余.
23．（2022·上海市控江中学高二期末）已知数列与满足．
(1)若，且，求数列的通项公式；
(2)设的第k项是数列的最小项，即恒成立．求证：的第k项是数列的最小项；
(3)设．若存在最大值M与最小值m，且，试求实数的取值范围．
【标准答案】(1)．
(2)证明见解析．
(3)．
【思路指引】
（1）由已知关系得出是等差数列及公差，然后可得通项公式；
（2）由已知关系式，利用累加法证明对任意的，恒成立，即可得．
（3）由累加法求得通项公式，然后确定的奇数项和偶数项的单调性，得出数列的最大项和最小项，再利用已知范围解得的范围．
(1)
由已知，是等差数列，公差为6，
所以；
(2)
对任意的，恒成立，
而恒成立，
若，则，恒成立，
同理若，也有恒成立，所以对任意的，恒成立，即是最小项；
(3)
时，，
所以
，也适合此式．
所以，
若，则，，，即，，
若，由于，且是正负相间，因此无最大项也无最小项．
因此有，
所以的奇数项数列是递增数列，且，，
的偶数项数列是递减数列，且，，
所以的最大值是，最小项是，
，由，又，所以．
24．（2022·上海·高三月考）定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.
【标准答案】（1）；（2）是，理由见解析；（3）存在，，.
【思路指引】
（1）根据数列的定义，结合等比数列的定义进行求解即可；（2）利用前n项和与项的关系得到的递推关系，再利用构造等比数列法求解得到数列的通项公式，并结合数列的定义进行判断；（3）结合定义，推导得出结果．
【详解详析】
（1）因为，且数列为“数列”，所以，
即，所以是以首项为，公差的等差数列，所以.
（2）由己知条件可得，，故，所以.
当时，，
得，又也成立，
所以，
设，即，所以.
又，所以是以首项为公比为3的等比数列.
所以，
即，所以，
所以是以首项为，公比为3的等比数列，
故数列是“数列”.
（3）由数列，是“数列”得，
所以，即，
所以，
所以时，，
当时上式也成立，故.
假设存在正整数m，n，使得，则，
由，可知，所以，又因为m，n为正整数，
所以，又，
所以∴.
∴，∴，∴，∴.
故存在满足条件的正整数m，n，且，.
【名师指路】
方法点睛：利用等比数列定义证明数列为等比数列，利用构造等比数列法、累加法解决具有递推关系的数列问题．
25．（2022·上海·高三月考）已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.
（1）已知无穷数列的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
（2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；
（3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列．
【标准答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.
【思路指引】
（1）由于，所以可得无穷数列为有界数列，由于，再由有界变差数列的定义进行判断即可；
（2）由有界变差数列的定义可得，则为首相为，公比为的等比数列，从而可求得，然后分和进行讨论再结合有界变差数列的定义可得结果；
（3）由题意可得则存在，使得对任意，恒成立，则存在，使得对任意，恒成立，由于和为单调递增数列的有界数列，所以可得，再求可得结论
【详解详析】
解：（1）
则即可，则为有界数列.
由，知
则即可，则为有界变差数列.
（2）
则
当时，则，显然满足题意.
当时，则，则，
若，则，舍去，矛盾.
当时，则为首相为，公比为的等比数列，
则
若时，，则符合题意.
若时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去.
则的取值范围为.
（3）因为和为有界数列，
则存在，使得对任意，恒成立，
则存在，使得对任意，恒成立，
和为单调递增数列的有界数列，
则
则
存在即可，则数列为有界变差数列.
【名师指路】
关键点点睛：此题考查数列的新定义，考查推理计算能力，解题的关键是正确理解数列的新定义，充分利用新定义解题，属于中档题
