编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 数列求和之倒序相加法求和专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．
【详解详析】
由题已知是上的奇函数，
故，
代入得：，
∴函数关于点对称，
令，
则，
得到，
∵，
，
倒序相加可得，
即，
故选：C．
【名师指路】
思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.
先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.
2．已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
【标准答案】C
【思路指引】
设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解详析】
解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【名师指路】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
3．设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
【标准答案】A
【思路指引】
由题得 ①， ②，两式相加化简即得解.
【详解详析】
令 ①
则 ②
①+②可得：，
，..
故选：A
4．已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
【标准答案】D
【思路指引】
根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解详析】
根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，．
的所有项的和为．
故选：D
【名师指路】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
5．已知函数，若等比数列满足，则（ ）．
A．2020 B． C．2 D．
【标准答案】A
【思路指引】
由函数解析式可知，，
而根据等比数列的性质 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题
【详解详析】
∵，∴．
∵数列为等比数列，且，∴．
∴，
∴由倒序求和可得．
故选：A．
二、填空题
6．若()，则数列的通项公式是___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.
【详解详析】
，
，两式相加可得
，
，
所以 .
故答案为：
【名师指路】
本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型.
7．已知函数，数列是正项等比数列，且，________.
【标准答案】
由，求得，根据数列是正项等比数列，由等比数列的性质，得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解详析】
由题意，函数，可得，
又由数列是正项等比数列，且，
根据等比数列的性质可得，
设，
则，
所以，
可得，即.
故答案为：.
【名师指路】
倒序相加法求和：如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数时，求解这个数列的前项和，即可采用倒序相加法求解.
8．设函数，定义，其中，，则__________.
【标准答案】
【思路指引】
计算出，再利用倒序相加法可求得.
【详解详析】
对于函数，有，即，解得，
对任意的，，则，
因为，
所以，
因此，.
故答案为：.
9．已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．
【标准答案】4032
【思路指引】
根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解详析】
根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，即，
的所有项的和为．
故答案为：4032．
【名师指路】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
10．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.
【标准答案】
【思路指引】
由题设函数式易得，再由，应用倒序相加得，即可求数列的前2020项和.
【详解详析】
∵，
又，
∴，
∴，
∴.
故答案为：
三、解答题
11．在数列中，.
（1）求证：数列为等差数列;
（2）设数列满足，求的通项公式及的前项和.
【标准答案】（1）证明见解析；（2）.
【思路指引】
（1）若数列为等差数列，则后一项为，所以等式左右两边同时减去，化简即可得到，则可证明结论. （2）由第（1）问的证明结果，可以求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，代入中求出，即可通过等差数列前n项和公式求出.
【详解详析】
解：，变形为：，即，所以数列为等差数列，首项为公差为1.
（2）由（1）可知，，即，所以，
所以.
【名师指路】
本题考查等差数列的证明，考查等差数列求和，涉及到了数列的构造，属于基础题.
12．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，求.
【标准答案】（1），（2）
【思路指引】
（1）利用与之间的关系即可求得；根据的函数性质，利用倒序相加法即可容易求得；
（2）由（1）中所求，即可求得，利用错位相减法即可求得.
【详解详析】
（1）因为即
当时，，
当时，，
，即
是等比数列，首项为，公比为，
；
因为，.
故….
….
①+②，得，
（2）因为，
…. ①
… ②
①－②得…
则，
故.
【名师指路】
本题考查利用的关系求数列的通项公式，以及利用错位相减法和倒序相加法求数列的前项和，涉及等比数列前项和的计算，属综合中档题.
13．已知函数，，为数列的前n项和，求的值.
【标准答案】
【思路指引】
先证明，再利用倒序相加法求和得解.
【详解详析】
因为.
所以设=（1）
=（2）
（1）+（2）得：，
所以=.
14．已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
【标准答案】
【思路指引】
由题得，所以….①….②，两式相加即得解.
【详解详析】
因为，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以数列的通项公式为.
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n+2﹣4（n∈N*），函数f（x）对 x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{bn}满足+f+f（1）.
（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）已知数列{cn}满足cn＝an bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若存在正实数k，使不等式k（n2﹣9n+49）Tn＞10n2an对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围.
【标准答案】（1），；（2）.
【思路指引】
（1）利用可求的通项，利用倒序相加法可求的通项.
（2）利用错位相减法求出，再利用参变分离分法可求的取值范围.
【详解详析】
（1）由可得即.
因为，
故
，
因为，
故即.
（2）.
，
故，
所以，
故.
又不等式等价于：
，
因为，当且仅当时等号成立，
故，故.
16．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足．
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
【标准答案】（1），；（2）存在，．
【思路指引】
（1）利用求得，利用倒序相加法求得.
（2）利用错位相减求和法求得，由分离常数，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解详析】
（1），，
，
时满足上式，故（），
∵，∴，
∵ ①
∴ ②
∴①+②，得，∴.
（2）∵，∴，
∴ ①
②
得，
即，
要使得不等式恒成立，恒成立，
∴对于一切的恒成立，即，
令（），则，
，
当且仅当时等号成立，故，所以为所求．
17．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【标准答案】(1)
(2)
(3)
【思路指引】
（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
(1)
因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
(2)
因为，所以，
所以.
(3)
由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
18．{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.
(1)求数列{}和数列}的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
①记，求{}的通项公式；
②求的值.
【标准答案】(1)，
(2)①；②
【思路指引】
（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；
（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.
(1)
设数列{}的公差为d，则d=1，
由，
即，可得，
所以{}的通项公式为；
由可知：
当，得，
当时，，
两式相减得；，即，
所以{}是以为首项，为公比的等比数列，
故.
(2)
①，
两式相加，得
所以；
②，
，
两式相减得：
，
故.
19．设奇函数对任意都有
求和的值；
数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；
【标准答案】解：（1），；（2）是等差数列.
【思路指引】
（1）根据，且f（x）是奇函数，将代入，可求的值，再结合奇函数得到．令，即可求得结论；
（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列．
【详解详析】
解：（1）∵，且f（x）是奇函数
∴
∴，故
因为，所以．
令，得，即．
（2）令
又
两式相加．
所以，
故，
又．故数列{an}是等差数列．
【名师指路】
本题主要考查数列与不等式的综合问题，考查奇函数性质的应用，考查倒序相加求和，属于中档题.
20．设函数，设，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）计算的值，然后用倒序相加法计算；
（2）由裂项相消法求得，注意分类，，时可转化为求函数（数列）的最大值．
【详解详析】
（1）；
时，，
，
相加得，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
（2），
，，，即，，
时，，
，
，即，
，
，，所以即时，取得最大值，，
综上，．
【名师指路】
本题考查对数的运算，考查倒序相加法求和，考查数列不等式恒成立问题．注意一个和满足首尾两项的和与到尾两项等距离的两项的和相等时，可用倒序相加法求和，在函数式的计算中也常用到这种方法．数列不等式恒成立问题，需把不等式化简，能求和的求和，不能求和的用放缩法放缩后求和，然后还可能结合函数的知识求解，但要注意此函数的定义域是正整数集合．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 数列求和之倒序相加法求和专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
3．设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
4．已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
5．已知函数，若等比数列满足，则（ ）．A．2020 B． C．2 D．
二、填空题
6．若()，则数列的通项公式是___________.
7．已知函数，数列是正项等比数列，且，________.
8．设函数，定义，其中，，则__________.
9．已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．
10．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.
三、解答题
11．在数列中，.
（1）求证：数列为等差数列;
（2）设数列满足，求的通项公式及的前项和.
12．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，求.
13．已知函数，，为数列的前n项和，求的值.
14．已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n+2﹣4（n∈N*），函数f（x）对 x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{bn}满足+f+f（1）.
（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）已知数列{cn}满足cn＝an bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若存在正实数k，使不等式k（n2﹣9n+49）Tn＞10n2an对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围.
16．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足．
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
17．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
18．{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.
(1)求数列{}和数列}的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
①记，求{}的通项公式；
②求的值.
19．设奇函数对任意都有
求和的值；
数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；
20．设函数，设，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
