编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题06 数列求和之错位相减法求和专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．数列满足﹐若，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（ ）
A．10212 B．9212 C．11212 D．12212
5．Sn＝＋＋＋…＋等于（ ）
A． B． C． D．
6．数列{n·2n}的前n项和等于（ ）
A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2
C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1
7．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）
参考数据：1.122＝8.14
A．814 B．900 C．914 D．1000
8．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（ ）
A．4097 B．4107 C．5119 D．5129
9．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．数列满足，，，，则数列的前n项和为______.
12．已知数列满足，，若，则_______.
13．对于正整数，设，如对于正整数和，当，时，设，，则__________．
14．已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________.
15．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______．
三、解答题
16．已知数列的前项和为，2，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，且，求的前n项和．
18．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
19．已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
20．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题06 数列求和之错位相减法求和专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
由题可得数列依次有1个0，2个1，4个2，8个3，，个，则由可得，即可得，由错位相减法可求得.
【详解详析】
，，
当时，，即（共1项）；
当时，，即（共2项）；
当时，，即（共4项）；
…
当时，，即（共项），
由，得．即，所以．
所以，
则，
两式相减得
，
．
故选：D．
【名师指路】
关键点睛：本题考查数列的前n项和的求解，解题的关键是得出数列的特点，从而得出，再利用错位相减法求解.
2．已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先求出，用错位相减法求出把不等式恒成立，转化为，记，求出的最大值，即可求出t的最小值.
【详解详析】
解：对于，
当n=1时，
当n≥2时，
经检验：对n=1也成立，
∴
所以
∴
，
两式相减得，，
，
所以 所以， 令 ，
，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，t的最小值为．
故选：B．
【名师指路】
（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；
（2）数列求和常用方法：
①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．
3．数列满足﹐若，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由，得，所以可得数列是等差数列，得数列的通项公式，再利用错位相减法求和.
【详解详析】
因为，所以，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，所以，设的前项和为，所以①，②，①-②得，，得.
故选：C
【名师指路】
本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（ ）
A．10212 B．9212 C．11212 D．12212
【标准答案】A
【思路指引】
先设等差数列的公差，根据公式求和，判断是等比数列{bn}的前三项，再求得公比和，代入计算，最后利用错位相减法求即可.
【详解详析】
设等差数列{an}的公差为，则，解得.
故，即，
由题意知，是等比数列{bn}的前三项，即，公比，故.
故，，
，两式作差得，，所以.
故选：A.
5．Sn＝＋＋＋…＋等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
利用错位相减法求解即可.
【详解详析】
由Sn＝＋＋＋…＋，①
得Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，
所以Sn＝－，
∴Sn＝.
故选：B.
6．数列{n·2n}的前n项和等于（ ）
A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2
C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1
【标准答案】B
【思路指引】
错位相减法求解即可.
【详解详析】
∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②
由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)
＝n×2n＋1－＝n×2n＋1－2n＋1＋2.
故选:B.
7．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）
参考数据：1.122＝8.14
A．814 B．900 C．914 D．1000
【标准答案】C
【思路指引】
由题得，再利用错位相减法求解.
【详解详析】
由条件可得，
∴，
得
，
∵，
∴．
故选：C
8．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（ ）
A．4097 B．4107 C．5119 D．5129
【标准答案】B
【思路指引】
根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．
【详解详析】
由题意时，，，在上奇数共有个，
，，
，
设，则，
相减得：，
所以，
所以．
故选：B．
9．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意，先求出弦长，再表示出，得到，求出数列的通项公式，再表示出，用错位相减求和求出，再求解即可.
【详解详析】
根据题意，圆的半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长，
所以，
当时，，所以，
时，，
所以，
得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，，
所以，
，
，
所以，
由有解，，
只需大于的最小值即可，
因为，所以，所以.
故选：D
【名师指路】
本题主要考查求圆的弦长、由和求数列通项、错位相减求数列的和和解不等式有解的情况，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.
10．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
本题首先可根据、得出，然后根据得出，再然后根据错位相减法求出，最后根据题意得出对任意不等式恒成立，根据即可得出结果.
【详解详析】
设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，，，
因为，所以，，
则，，
，
对任意不等式恒成立，即对任意不等式恒成立，
因为，所以，的取值范围为.
故选：C.
【名师指路】
方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题.
二、填空题
11．数列满足，，，，则数列的前n项和为______.
【标准答案】
【思路指引】
数列满足，即数列满足，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出.再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出数列的前n项和为.
【详解详析】
解：数列满足，即数列满足，
∴数列是等差数列，设公差为d.
则，解得.
∴，
∴，
则数列的前n项和为，
，
相减可得：，
化为：.
故答案为：
【名师指路】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
12．已知数列满足，，若，则_______.
【标准答案】
【思路指引】
根据条件得到，则数列是首项，公差为的等差数列，得到，则可得，写出，利用错位相减法可求解.
【详解详析】
解：因为，，
所以，
即，
所以数列是首项，公差为的等差数列，
所以，
则，
则，
设①，
则②，
①-②可得
，
则.
即.
故答案为：.
【名师指路】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
13．对于正整数，设，如对于正整数和，当，时，设，，则__________．
【标准答案】82435
【思路指引】
首先利用分组求和与错位相减法求出，再计算即可；
【详解详析】
解：
令
则
两式相减得
即，所以
所以
故答案为：
14．已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________.
【标准答案】
【思路指引】
首先由递推关系可得是等比数列，进而可得、的通项公式，再利用乘公比错位相减，分组求和即可求解.
【详解详析】
由可得，
因为，所以，即，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，
则的前项的和等于，
令，前项的和为，则
，
，
两式相减可得：
，
所以，
所以前项的和为，
故答案为：.
15．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______．
【标准答案】##2.9375
【思路指引】
先根据题干条件得到，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.
【详解详析】
①，当时，；当时，②，①-②得：，即．
又满足，所以．
由，得．
令，则，
两式相减得，则．
所以新数列的前70项和为．
故答案为：
三、解答题
16．已知数列的前项和为，2，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
（1）根据等差数列的性质可得：，结合，可得，故数列为等比数列，利用等比数列的通项公式得出；
（2）由（1）得，利用错位相减法即可得出结果.
(1)
∵2，，成等差数列，∴．
当时，；
当，且时，，，
两式相减得，，即．
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，．
(2)
∵，
∴，①
∴，②
①-②：，
∴．
17．已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，且，求的前n项和．
【标准答案】(1)；
(2).
【思路指引】
（1）利用等差数列的通项公式结合条件即求；
（2）利用条件可得，然后利用错位相减法即求.
(1)
设等差数列的公差为d，由得，
即，化简得，
又，，成等比数列，则，
即，
将代入上式得，
化简得，解得或－2（舍去），
则，所以．
(2)
∵，
当时，，
当时，，符合上式，
则，
所以，
令，则，
，
∴，
化简得．
综上，的前n项和．
18．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
（1）由等比数列的前项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得和公比后可得通项公式；
（2）用错位相减法求得和．
(1)
设数列的公比为q，由，，
得，解之得所以；
(2)
，
又，得，
，
两式作差，得
，
所以．
19．已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【标准答案】(1)，;
(2).
【思路指引】
（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；
（2）求出，再利用错位相减法求解.
(1)
解：，
.
当时，，适合.
.
设等比数列公比为，
，
，即，
或（舍去），
.
(2)
解：，
，
，
上述两式相减，得，
所以
所以
.
20．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【标准答案】(1)证明见解析
(2)
【思路指引】
(1)根据给定递推公式变形，结合等比数列定义即可得证.
(2)由(1)求出数列通项，再利用分组求和方法求解即得.
(1)
证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列．
(2)
由（1）得，得，
所以，设的前n项和为，
则，①
，②
由①-②，得
，则，
故．
