编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题07 数列求和之裂项相减法求和专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
5．已知在函数上的点处的切线为，则数列的前n项的和是（ ）．A． B． C． D．
6．数列满足，，则数列的前2019项的和为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面上有一系列点，对每个正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切．若，且,,的前项之和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．数列满足，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知数列{}满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．已知数列满足，，则数列的前n项和______．
12．已知数列满足：，且，记，若，则___________.（用表示）
13．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________．
14．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.
15．已知数列 an满足，则 __________．
三、解答题
16．已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)记，设为数列的前项和，求证．
17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.
18．已知数列的前项和为，满足，，.
(1)记，求的通项公式；
(2)记，求的前63项和.
19．己知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求的值．
20．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：当时，．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题07 数列求和之裂项相减法求和专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据裂项相消法，结合数列的单调性进行求解即可.
【详解详析】
解：，
前项和为
，
可得为递增数列，且有取得最小值；
且，
当为偶数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得①
当为奇数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得，即②
由①②解得．
故选：A
【名师指路】
关键点睛：利用裂项相消法，结合分类讨论法进行求解是解题的关键.
2．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
列举出循环的每一步，利用裂项相消法可求得输出结果.
【详解详析】
第一次循环，不成立，，；
第二次循环，不成立，，；
第三次循环，不成立，，；
以此类推，最后一次循环，不成立，
，.
成立，跳出循环体，输出.
故选：B.
3．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可
【详解详析】
，
故
，
故恒成立等价于，
即恒成立，
化简得到，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以．
故选：D
4．已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由等差数列性质得，进而根据题意得，再结合得，故，，再根据裂项求和得的前项和，最后求解的前2022项和即可得答案.
【详解详析】
解：由等差数列的前项和公式得，
因为是与的等比中项，所以，即，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以
所以
所以，
所以的前项和，
所以的前2022项和为
故选：C
5．已知在函数上的点处的切线为，则数列的前n项的和是（ ）．A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先求出，再求出，利用裂项相消法求和得解.
【详解详析】
解：∵在点处切线，∴，
∵，所以，
所以.
即，∴，
∴数列前n项的和．
故选：D
6．数列满足，，则数列的前2019项的和为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据，可得，利用累加法可求得数列的通项公式，再利用裂项相消法即可求出答案.
【详解详析】
解：依题意，由，可得，
故，，
，
，
，
累加得，
则
，
，
设数列的前项的和为，则
．
故选：D．
7．在平面上有一系列点，对每个正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切．若，且,,的前项之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据两圆的几何关系及其圆心在函数的图象上，即可得到递推关系式，通过构造等差数列求得的通项公式，得出，最后利用裂项相消，求出数列前项和，即可求出.
【详解详析】
由与彼此外切，
则，
，
，
又∵，
∴，故为等差数列且，，
则，
，
则，
即，
故答案选：.
8．数列满足，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和.
【详解详析】
依题意得：，
，
，
故选：D．
9．已知数列{}满足，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.
【详解详析】
因为，
.
故选：B
10．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【标准答案】A
【思路指引】
根据递推关系式求出，再求和后即可求解.
【详解详析】
函数，数列满足，
，
，
，
，
，
，
，且，可知数列为递增数列，
所以，因此，
，
，使得恒成立
整数的最小值是2，
故选：A
二、填空题
11．已知数列满足，，则数列的前n项和______．
【标准答案】
【思路指引】
先求出，利用裂项相消法求和.
【详解详析】
因为数列满足，，
所以数列为公差d=2的等差数列，所以，
所以
所以
.
故答案为：.
12．已知数列满足：，且，记，若，则___________.（用表示）
【标准答案】
【思路指引】
由可得，结合已知条件，利用裂项相消求和法即可得答案.
【详解详析】
解：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，又，
所以.
故答案为：.
13．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________．
【标准答案】
【思路指引】
先对进行化简，再以裂项相消法求数列{bn}的前21项和.
【详解详析】
＝＝＝n＋1，
所以bn＝＝＝－，
则＝－＋－＋＋－＝－＝．
故答案为：
14．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.
【详解详析】
由是等差数列且，可知：，
故.
，
数列的前2021项和为.
故答案为：.
15．已知数列 an满足，则 __________．
【标准答案】2019
【思路指引】
将已知化为代入可以左右相消化简，将已知化为，代入可以上下相消化简，再全部代入求解即可.
【详解详析】
由知
故
所以
故答案为：2019
三、解答题
16．已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)记，设为数列的前项和，求证．
【标准答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【思路指引】
（1）当时，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项可求得数列的通项，利用等差数列的求和公式可求得；
（2）证明出，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
解：当时，，因为，解得；
当时，由可得，
上述两个等式相减可得，所以，，
对任意的，，故且，
故数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，故，
所以，.
(2)
证明：，
因为
，
所以，，
因此，.
17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.
【标准答案】(1)
(2)．
【思路指引】
（1）由等差数列的前项和公式，等比数列的性质列方程组求得，然后可得通项公式；
（2）用裂项相消法求得和，然后由求得的范围后可得的范围．
(1)
设等差数列公差为，由题意
，，解得，
所以；
(2)
由（1），
所以，
易知是递增的且，
不等式对任意的都成立，则，所以．
18．已知数列的前项和为，满足，，.
(1)记，求的通项公式；
(2)记，求的前63项和.
【标准答案】(1)；
(2).
【思路指引】
(1)根据给定的递推公式变形可得是等差数列，利用等差数列定义求解作答.
(2)由(1)的结论求出的通项，再借助裂项相消法计算作答.
(1)
数列的前项和为，因时，，则，
于是得，而，则当时，，数列是等差数列，
首项，公差，则有，
所以的通项公式.
(2)
由(1)知，，，
，
所以的前63项和为.
19．己知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求的值．
【标准答案】(1)；
(2).
【思路指引】
(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求相邻两项的关系计算作答.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法求出，即可作答.
(1)
依题意，，，则当时，，
于是得：，即，
而当时，，即有，因此，，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以数列的通项公式是.
(2)
由(1)知，，
从而有，
所以.
20．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：当时，．
【标准答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【思路指引】
（1）对题干条件变形整理为，根据定义即可证明，并求出通项公式；（2）放缩法和裂项相消法进行证明.
(1)
当时，，
当时，；
相除得
整理为：，
即，
为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：，经检验，符合要求.
(2)
由（1）得：．
，
，
，
所以，当时，．
