编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题08 数列求和之分组（并项）法求和专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（ ）
A．G B． C．-G D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据写出两个等式后再联合即可求解.
【详解详析】
由，可得
…①
…②
①+②得，
化简得.
故选：D
2．已知数列为的前项和，其中，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【标准答案】B
【思路指引】
先求出，由条件可得，即的奇数项，偶数项分别是以公差为2的等差数列，从而分奇数项，偶数项分别求和即可.
【详解详析】
由题意
设为奇数，则是偶数，是奇数，
则，①
，②
①+②得：
所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，
同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列.所以
故选：B
3．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列、等差数列的求和公式，即可求出数列的前10项和.
【详解详析】
设等比数列的公比为，
，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，
，且，
，，
，即，解得：或（舍去），
，所以数列的前10项和：
.
故选：C.
4．已知数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意先求数列的前四项，即可看到数列具有周期性，因此根据这一特性，即可逐一计算各项中的值，即可判断答案.
【详解详析】
因为，，
所以 ，
，
故数列是以3为周期的周期数列，
则 ，故A错；
，故B错；
又 ，
故 ，故C错；
，故D对，
故选：D.
5．数列的通项公式为，前项和为，则（ ）
A． B．4950 C． D．5050
【标准答案】B
【思路指引】
利用诱导公式化简数列，代入即可求解.
【详解详析】
.
故选：B.
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前项和为，则（ ）
A．3950 B．3953 C．3840 D．3845
【标准答案】D
【思路指引】
先根据累加法求出，进而求出，结合对数运算，算出前2021项之和.
【详解详析】
①，②，③，……，
上面（n-1）个式子相加得：，其中，所以，即，令得：，解得：，经检验，符合，故的通项公式为：，所以，，时，，当时，，当时，，当时，，所以
故选：D
7．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【标准答案】B
【思路指引】
先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对进行赋值即可求解.
【详解详析】
解：因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列
所以
因为是以1为首项，2为公比的等比数列
所以
由得：
当时，即
当时，
当时，
所以n的最大值是.
故选：B.
【名师指路】
关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出，再通过赋值法即可求出使不等式成立的的最大值.
8．在等差数列中，，，则数列的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
求出数列的通项公式，计算的值，利用并项求和法可求得结果.
【详解详析】
设等差数列的公差为，则，则，所以，
故，
因为，则，
对任意的，，
因此，数列的前项的和为.
故选：C.
9．在归国包机上，孟晩舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处.”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途，”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
A选项结合等差数列的前项和公式求出前项和，进而解方程即可判断；B选项结合裂项相消法求出前项和，进而解方程即可判断；C、D选项结合分组求和法求出前项和，进而解方程即可判断.
【详解详析】
A选项：因为，设数列的前项和为，
所以，
令，方程无正整数解，故A错误；
B选项：因为，设数列的前项和为，
则，
令，方程无正整数解，故B错误；
C选项：因为，设数列的前项和为，
当为偶数时，
，
，所以当为偶数时，和不可能为1028；
当为奇数时，
，
，
令，方程无正奇数解，故C错误；
D选项：因为，设数列的前项和为，则，令，解得，故数列的前项的和为1028，故D符合题意.
故选：D
10．已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，，，···，2，1，···的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．81 B．90 C．100 D．2021
【标准答案】B
【思路指引】
将数列排成杨辉三角的形式，得到各行所有数的项及其和的通项公式，再求前i行的数的和求解.
【详解详析】
依题意，把数列排列成如下所示的形式：
第1行 1
第2行 1，2，1
第3行 1，2，4，2，1
第4行 1，2，4，8，4，2，1
… …
第行 1，2，4，…，，…，4，2，1
可知此数列第1行有1项，第2行有3项，第3行有5项，…，第行有项，
前行共有项．
设第行的个数的和为，
则．
则前行的和，
，
，
所以，．
又，
，，
所以的最小值为90．
故选：B
二、填空题
11．在数列中，，，，若数列是递减数列，数列是递增数列，则______．
【标准答案】
【思路指引】
根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.
【详解详析】
因为，，，
所以，即，
，且是递减数列，数列是递增数列
或（舍去），
，，
故可得当 时，
，
故答案为：
12．已知数列的通项公式，则其前项和___________.
【标准答案】，
【思路指引】
根据数列的通项公式，求和时采用分组求和法，利用等比数列的前n项和公式，求得答案.
【详解详析】
因为，
所以
，
故答案为：，
13．已知数列满足，，，则数列的前项和为__________．
【标准答案】
【思路指引】
分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.
【详解详析】
由题意，当为奇数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
当为偶数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，设数列的前项和为，
.
故答案为：
【名师指路】
解答本题的关键是要分类讨论为奇数与为偶数时所对应的数列的通项公式，再利用分组求和法求和.
14．已知数列满足，，则的前n项和为___________.
【标准答案】
【思路指引】
由递推公式得到，即可得到是以4为首项，2为公比的等比数列，从而得到的通项公式，再利用分组求和法求和即可；
【详解详析】
解：数列满足，整理得：，
所以，
又，
故是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，所以的前项和
故答案为：
15．已知数列中，，，且满足，则数列前10项和等于________．
【标准答案】2036
【思路指引】
本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和．
由已知可得数列是以2为首项，公比为2的等比数列，利用累加法求出，然后分组求和．
【详解详析】
解：数列中，，，
，
因为，，
，
数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
，
所以时，
，
又也符合上式， 所以，
所以数列前10项和．
故答案为：2036．
三、解答题
16．已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列{bn}的前100项的和．
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
（1）利用得到等比数列，求出通项公式；（2）结合第一问利用等比数列求和公式及分组求和进行求解.
(1)
由，得，
两式相减得，即，
又当n=1时，，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；
(2)
由（1）可知，
所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以．
17．已知数列满足，.
(1)记，求证：数列为等比数列；
(2)求的前项和.
【标准答案】(1)证明见解析；
(2).
【思路指引】
(1)利用给定的递推公式分段计算、推导作答.
(2)由(1)求出数列的通项公式及前n项和，再由已知可得，借助并项求和法计算作答.
(1)
依题意，因，则，
于是得，而，则，
所以是首项为6，公比为2的等比数列.
(2)
由(1)知，，则，记数列的前n项和为，
则，
因，则，从而有
因此，，
所以的前项和.
18．记数列的前n项和为，满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的前n项和.
【标准答案】(1)证明见解析
(2)前n项和为
【思路指引】
（1）利用公式化简变形可证得结论，
（2）利用分组求和法求解即可
(1)
证明：因为，①
所以当时，，得或7，
又，则.
当时，，②
①-②得，，
，
由，得，
故，即为等差数列.
(2)
由（1）知，为等差数列且公差为4，所以，
所以数列的前n项和
，
故的前n项和为.
19．在数列中，，．
(1)求；
(2)设为的前n项和，求的最小值．
【标准答案】(1)；
(2)取最小值为－243.
【思路指引】
（1）根据题意得到，然后与原式相减，得到，进而对n分奇偶进行讨论，最后得到数列的通项公式；
（2）结合（1），对n分奇偶进行讨论，进而通过并项求和与等差数列求和得到答案.
(1)
由题意，，则，
两式相减得：.又，则.
于是，，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，
，…是以a2为首项，2为公差的等差数列．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，.
于是
(2)
当n为偶数时，，
故当n=22时，的最小值为-242.
当n为奇数时，，
对应函数的对称轴为n=22，故当n＝21或n＝23时，取得最小值．
于是，取最小值为－243．
20．设，数列满足，数列的通项公式为.
(1)已知，求k的值；
(2)若，设，求数列最大项及相应的序数；
(3)若，设，求数列的前n项和.
【标准答案】(1)
(2)最大项为，相应的序数为57或58.
(3)
【思路指引】
（1）由已知代入即可求解；
（2）由题，计算，分类讨论n的取值，判断与的大小即可得解；
（3）分类讨论n为奇数和n为偶数，利用分组求和结合等差数列求和及等比数列求和公式可得解.
(1)
因为数列满足，
，解得
(2)
由题知
显然，令，得
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
，且
所以数列的最大项为，相应的序数为57或58.
(3)
由已知，即
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以
【名师指路】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题08 数列求和之分组（并项）法求和专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（ ）
A．G B． C．-G D．
2．已知数列为的前项和，其中，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
3．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
5．数列的通项公式为，前项和为，则（ ）
A． B．4950 C． D．5050
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前项和为，则（ ）
A．3950 B．3953 C．3840 D．3845
7．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．在等差数列中，，，则数列的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
9．在归国包机上，孟晩舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处.”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途，”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，，，···，2，1，···的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．81 B．90 C．100 D．2021
二、填空题
11．在数列中，，，，若数列是递减数列，数列是递增数列，则______．
12．已知数列的通项公式，则其前项和___________.
13．已知数列满足，，，则数列的前项和为__________．
14．已知数列满足，，则的前n项和为___________.
15．已知数列中，，，且满足，则数列前10项和等于________．
三、解答题
16．已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列{bn}的前100项的和．
17．已知数列满足，.
(1)记，求证：数列为等比数列；
(2)求的前项和.
18．记数列的前n项和为，满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的前n项和.
19．在数列中，，．
(1)求；
(2)设为的前n项和，求的最小值．
20．设，数列满足，数列的通项公式为.
(1)已知，求k的值；
(2)若，设，求数列最大项及相应的序数；
(3)若，设，求数列的前n项和.
