编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题09 数列新定义难点综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（ ）
A．1024 B．256 C．2 D．512
【标准答案】D
【思路指引】
设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.
【详解详析】
解：因为数列是等比数列，是其前n项之积， ，设数列的公比为q，
所以，解得，
所以，
故选：D.
2．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5， 11，21，37，61，则该数列的第7项为（ ）
A．95 B．131 C．139 D．141
【标准答案】A
【思路指引】
利用已知条件，推出数列的差数的差组成的数列是等差数列，转化求解即可
【详解详析】
由题意可知，1，5， 11，21，37，61，……，的差的数列为
4，6，10，16，24，……，
则这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，……，是一个等差数列，
设原数列的第7项为，则，解得，
所以原数列的第7项为95，
故选：A
若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”．现有以下数列：①；②；③；④；其中是数列的有（ ）．
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【标准答案】D
【思路指引】
利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可
【详解详析】
①,则,,则,故①是“数列”；
②,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故②不是“数列”；
③,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故③不是“数列”；
④,则,，则
,故④是“数列”
故选：D
【名师指路】
本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力
4．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据新定义，逐一检验即可
【详解详析】
由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】
本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.
5．单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【标准答案】C
假设是中大于0的最大的4项，由题意得和中至少有一个是中的项，得到，进而得到和都不是中的项，再由题意得和中至少有一个是中的项，得到以，得出中大于0的最多有3项，进而得出存在数列满足题意，得到答案.
【详解详析】
假设是中大于0的最大的4项，对于来说，
因为，所以和都不是中的项，
又由题意得和中至少有一个是中的项，
所以是中的项，且，所以，
对于来说，因为，所以和都不是中的项，
又由题意得和中至少有一个是中的项，
所以是中的项，且，所以，
所以，矛盾，所以中大于0的最多有3项，
同理，中小于0的最多有3项，加上0，故的最大值为7，
此时存在数列满足题意.
故选C.
【名师指路】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
6．对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则（ ）
A．存在，使得 B．不存在，使得
C．存在，使得 D．不存在，使得
【标准答案】D
【思路指引】
任意的，至少存在一个全为1的拆分，判断选项A；当为奇数时，判断能否是全偶拆分，判断选项B；选项，可以举例发现规律，判断选项.
【详解详析】
对于任意的，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；
当为奇数时，，故B错误；
当为偶数时，是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了和的均为奇数的拆，
当时，偶数拆为，奇数拆为，；
当时，偶数拆为，，奇数拆为，；
故当时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故，故C错误，D正确.
故选：D
【名师指路】
关键点点睛：本题考查新定义，关键是读懂题意，理解定义，并能根据选项举例解决问题.
7．对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（ ）
A．首项为1，公比为的等比数列是有界数列
B．若数列是有界数列，则数列是有界数列
C．若数列是有界数列，则数列是有界数列
D．若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列
【标准答案】B
【思路指引】
根据有界数列的定义，利用不等式放缩，可判断A、C正确；设，可判断B错误；根据数列和数列的有界性，用和来控制，即可选项D.
【详解详析】
解：对A:设满足题设的等比数列为，则，
当时，，
所以，
即，
所以首项为1，公比为的等比数列是有界数列，故A正确；
对B: 事实上，设，则，易知数列是有界数列，而此时，
所以，由的任意性，知数列不是有界数列，故B错误；
对C：因为数列是有界数列，所以存正数，对任意有
，即，
于是，
所以数列是有界数列，故C正确；
对D：若数列、都是有界数列，则存在正数，，使得对任意，有
；，
又因为
同理，可得，
所以
，
所以
，
数列也是有界数列，故D正确.
故选：B
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“有界数列”的定义.
8．若数列满足：，，，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”下列说法正确的有（ ）
①若数列是等差数列，则具有“三项相关性”
②若数列是等比数列，则具有“三项相关性”
③若数列是周期数列，则具有“三项相关性”
④若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，，数列的通项公式为，与的前项和分别为，，则对，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②
【标准答案】B
【思路指引】
根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.
【详解详析】
①若为等差数列，则有
即，①正确
②，，（）
即易知，显然成立
时，，取
有，也成立，所以②正确
③周期数列：0，0，1，0，0，1，
时，，显然不成立，
③错误
④
即，
∴，
易知
即，，故：，④正确
综上：①②④正确
故选：B
9．定义【】为“函符数列”，且有“函符数列”【】满足.例如，数列满足，则当m=1时，.用表示当m=1时的值.已知数列满足，则（ ）（注：的值等于a，b，c中最大的值，的值等于a，b，c中最小的值）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【详解详析】
解析征集
10．若数列满足，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，找到合适的数列满足递推关系，或举反例否定. 对选项，找到，且满足题意；对选项，找到，且满足题意；对选项，找到与题设矛盾；对选项，找到满足题意；
【详解详析】
对选项，令，且，则有：，故选项正确；
对选项，由，得：
令，则当时，数列满足题设，所以B正确；
对选项，由，
令，得，，，，
令，得，，，
则，，从而，与矛盾，所以错误；
对选项，存在数列，比如，则有：，故选项正确；
故选：
【名师指路】
需要熟悉常见函数的运算规则，比如对数运算、指数运算等，注意类比常见函数的运算性质，寻找恰当的数列；否定命题，赋值举反例，发现矛盾.
二、填空题
11．某项测试有道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列和记录他们的成绩．若第题甲答对，则，若第题甲答错，则；若第题乙答对，则，若第题乙答错，则．已知，且只有题甲和乙均答错，则甲至少答对______________________道题．
【标准答案】
【思路指引】
设出甲和乙均答对的题数，表示出恰有人答对的题数，再依据条件列式求解即得.
【详解详析】
设甲和乙均答对的题数为，则甲和乙中恰有人答对的题数为，
依题意，若第题甲和乙均答对，则，若第题甲和乙恰有人答对，则，若第题甲和乙均答错，则，
于是得，解得，即甲和乙有题均答对，剩余题目甲可能都答错，
所以甲至少答对道题.
故答案为：22
12．对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
【标准答案】100
【思路指引】
结合新定义，令bn＝an＋1－an，由题可知{bn}为公差为1的等差数列，求得，列式得a1＝a1，a2－a1＝b1，…，an－an－1＝bn－1，叠加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1，结合等差数列前项和公式化简可得an＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，令n＝12，n＝22解方程可求.
【详解详析】
令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，
a1＝a1，
a2－a1＝b1，
a3－a2＝b2，
…
an－an－1＝bn－1，
累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，
＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，
分别令n＝12，n＝22，
得
解得a1＝，a2＝100.
故答案为：100
13．在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：
①不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
③等比数列一定是“等差比数列”；
④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确的序号是________．
【标准答案】①④
【思路指引】
根据得到k不为0，① 正确，考虑常数列得到② ③错误，数列0，1，0，1，…是等差比数列，得到④正确，得到答案.
【详解详析】
由等差比数列的定义可知，，故，故k不为0，所以① 正确；
当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；
当是等比数列，且公比q＝1时，不是等差比数列，所以③错误；
数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．
故答案为：①④.
14．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
【标准答案】4
【思路指引】
先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.
【详解详析】
因为，所以
.
又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.
故答案为：4.
15．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________.
【标准答案】397
【思路指引】
利用数列的通项公式与前n项和的关系可得，利用数列的新定义可得数列的各项，即求.
【详解详析】
由题可得，
所以，
当时，，
当时，，
又也适合上式，
∴，
令，
则，，，，，，，…，，，，
所以，，，，，，，…，，，，
所以数列前35项的和为.
故答案为：397.
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键是根据新定义的特点，分析数列各项，使问题得到解决.
三、解答题
16．已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；
(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；
(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）
【标准答案】(1)；；；
(2)证明见解析
(3)
【思路指引】
（1）利用“紧数列”的定义求解；
（2）由均为递增数列，得到，进而转化为证明：①，②，③，④即可；
（3）记，且根据“强紧数列”的定义求解.
(1)
解：；；；.
(2)
依题意，对任意，有或，或，
因为均为递增数列，所以有，即同时满足：
①，②，③，④.
因为为递增数列，因此①和②恒成立.
又因为为整数数列，对于③，也恒成立.
对于④，一方面，由，得，即.
另一方面，，
所以，
即从第项到第项是连续的正整数，
所以，，
因此，
故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个.
(3)
记，依题意，
对任意，有或，
注意到，即对任意，有，
若，则，即；
若，则，即，
即对任意，或者，或者.
所以，所以不能成立.
记，
，
则，且.
注意到：若存在且，即，则.
否则，若，则，不合题意.
因此集合有以下三种情形：
①，.
对任意，有，则
，
当且仅当：，，
即时，等号成立，
此时存在“强紧数列”，
故此情形下，的最小值为；
②，，其中.
对任意，有，对任意，有.
.
故此情形下，的最小值不小于；
③，.
对任意，有，
.
故此情形下，的最小值不小于.
综上，的最小值为.
17．若有穷数列且满足，则称为M数列．
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．
【标准答案】(1)①数列不是M数列；②数列是M数列；理由见解析
(2)证明见解析
(3)的所有取值为4或5
【思路指引】
（1）直接根据条件检验即可；
（2）先判断必要性，若数列是等差数列，设公差为，可得数列是常数列．再判断充分性，若数列是常数列，可得，进而可得是等差数列；
（3）先判断不符合题意，，符合题意，进而证明不符合题意，令，可得有三种可能：①； ②；③．
当，根据（2）的结论排除这3种可能性，则可得答案.
(1)
①因为，所以该数列不是M数列；
②因为，所以该数列是M数列．
(2)
必要性：
若数列是等差数列，设公差为，
则．
所以数列是常数列．
充分性：
若数列是常数列，
则，即．
所以或．
因为数列的各项互不相同，
所以．
所以数列是等差数列．
(3)
当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为．此时，符合题意；
当时，数列为．此时，符合题意；
下证当时，不存在满足题意．
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
①；
②；
③．
当时，因为，
由（2）知：是公差为1（或 1）的等差数列．
当公差为1时，由得或，
所以或，与已知矛盾．
当公差为 1时，同理得出与已知矛盾．
所以当时，不存在满足题意．
其它情况同理可得．
综上可知，的所有取值为4或5．
【名师指路】
方法点睛：1、对于数列种的新定义问题，一定要理解新数列的性质后才能解题，充分利用新数列的定义去解答问题.2、对于第三问，可能的取值必然不多，那么可以通过尝试取值，然后找到规律和方法来解决问题.
18．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
【标准答案】(1)数列具有性质，理由见解析；
(2)，；
(3)有限个.
【思路指引】
（1）由题意，由性质的定义，即可知是否具有性质.
（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；
（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.
(1)
由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
(2)
设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为整数且，
那么为中的一项．
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
(3)
同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.
【名师指路】
关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.
19．已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
(1)判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.
【标准答案】(1)数列，，，不具有性质；
(2)证明见解析；
(3)可能取值只有.
【思路指引】
（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.
（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，，，，，应用累加法即可证结论.
（3）讨论、、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.
(1)
数列，，，不具有性质.
因为，，和均不是数列，，，中的项，
所以数列，，，不具有性质.
(2)
记数列的各项组成的集合为，又，
由数列具有性质，，所以，即，所以.
设，因为，所以.
又，则，，，，.
将上面的式子相加得：.
所以.
(3)
（i）当时，由（2）知，，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
（ii）当时，存在数列，，，，符合题意，故可取.
（iii）当时，由（2）知，.①
当时，，所以，.
又，，
∴，，，，即.
由，，得：，，
∴.②
由①②两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
综上，满足题设的的可能取值只有.
【名师指路】
关键点点睛：第二问，由可知，并应用累加法求证结论；第三问，讨论k的取值，结合的性质，由性质、等差数列的性质判断不同k的取值情况下数列的存在性即可.
20．已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．
(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．
【标准答案】(1)，其和为55（答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)505
【思路指引】
（1）列举出一个即可；（2）根据数列的总和为5050进行证明；（3）反证法进行证明，结合第二问结论进行求解.
(1)
，各项和为（答案不唯一）；
(2)
令，取，则，即，所以对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)
假设，即对于任意的，存在，使得，考察数列：，其中各项满足，，，于是有：，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
即存在，，使得，这与假设矛盾，所以，结合第二问结论可知：的最大值为505.
【名师指路】
针对于定义新数列的题目，要结合题干中信息，选择合适的方法进行求解，常用到列举法，反证法等方法.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题09 数列新定义难点综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（ ）
A．1024 B．256 C．2 D．512
2．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5， 11，21，37，61，则该数列的第7项为（ ）
A．95 B．131 C．139 D．141
3．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”．现有以下数列：①；②；③；④；其中是数列的有（ ）．A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
4．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A． B． C． D．
5．单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则（ ）
A．存在，使得 B．不存在，使得
C．存在，使得 D．不存在，使得
7．对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（ ）
A．首项为1，公比为的等比数列是有界数列
B．若数列是有界数列，则数列是有界数列
C．若数列是有界数列，则数列是有界数列
D．若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列
8．若数列满足：，，，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”下列说法正确的有（ ）
①若数列是等差数列，则具有“三项相关性”
②若数列是等比数列，则具有“三项相关性”
③若数列是周期数列，则具有“三项相关性”
④若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，，数列的通项公式为，与的前项和分别为，，则对，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②
9．定义【】为“函符数列”，且有“函符数列”【】满足.例如，数列满足，则当m=1时，.用表示当m=1时的值.已知数列满足，则（ ）（注：的值等于a，b，c中最大的值，的值等于a，b，c中最小的值）
A． B．
C． D．
10．若数列满足，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足
二、填空题
11．某项测试有道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列和记录他们的成绩．若第题甲答对，则，若第题甲答错，则；若第题乙答对，则，若第题乙答错，则．已知，且只有题甲和乙均答错，则甲至少答对______________________道题．
12．对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
13．在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：
①不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
③等比数列一定是“等差比数列”；
④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确的序号是________．
14．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
15．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________.
三、解答题
16．已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；
(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；
(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）
17．若有穷数列且满足，则称为M数列．
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．
18．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
19．已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
(1)判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.
20．已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．
(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．
