编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题10 数列的综合应用专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．某县2019年12月末人口总数为57万，假如从2020年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则2020年10月末的人口总数为（ ）
A．57.1万 B．57.2万
C．57.22万 D．57.23万
2．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为（ ）(参考数据：，，，)
A．4 B．5 C．6 D．7
4．古希腊时期，人们把宽与长之比为（）的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形，，，，，均为黄金矩形，若与间的距离超过，与间的距离小于，则该古建筑中与间的距离可能是（ ）
（参考数据：，，，，，）
A． B． C． D．
5．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取，）
A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元
6．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．小王2021年1月初向银行借了免息贷款10000元，用于自己开发的农产品 土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2021年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取，）
A．38720元 B．48720元 C．31520元 D．41520元
8．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（ ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）
A．83 B．60 C．50 D．44
9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
10．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
二、填空题
11．现有某种细胞1000个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为；2小时后，细胞总数约为……则当细胞总数超过个时，所需时间大约为___________小时.（参考数据：，.结果保留整数）
12．2015年7月31日，国际奥委会正式确定2022年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回___________元.
（参考数据：，，）
13．
如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.
14．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.
15．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．
三、解答题
16．已知正项数列满足：，.为数列的前项和.
（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，.
17．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数（是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．
18．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
19．已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；② .记数列的前项积为 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
20．已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题10 数列的综合应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．某县2019年12月末人口总数为57万，假如从2020年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则2020年10月末的人口总数为（ ）
A．57.1万 B．57.2万
C．57.22万 D．57.23万
【标准答案】B
根据实际问题可知，每月月末的该县的总人口为等差数列，根据等差数列的通项公式求解即可.
【详解详析】
根据题意，某县2019年12月末人口总数为57万，从2020年元月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的总人口为等差数列，
设这个数列为{an}，且a1＝57，设其公差为d(单位为万)，
又由到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则有a1＝57，a13＝57.24，
则有d＝＝0.02，
所以2020年10月末的人口总数为a11＝a1＋10d＝57.2.
故选：B
2．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【标准答案】A
【思路指引】
由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求.
【详解详析】
小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：
，
解得：
所以，
所以，
即春分时节的日影长为4.5.
故选：A
【名师指路】
(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.
3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为（ ）(参考数据：，，，)
A．4 B．5 C．6 D．7
【标准答案】B
【思路指引】
记表示第次去掉的长度，然后根据等比数列的前项和公式计算，最后根据，可得结果.
【详解详析】
记表示第次去掉的长度
所以，第2次操作，去掉的线段长为，，第次操作，去掉的线段长度为
所以，则
由，，所以的最大值为5
故选：B
【名师指路】
关键点点睛：本题关键在于掌握第次操作，去掉的线段长度为，建立等比数列的数学模型求解.
4．古希腊时期，人们把宽与长之比为（）的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形，，，，，均为黄金矩形，若与间的距离超过，与间的距离小于，则该古建筑中与间的距离可能是（ ）
（参考数据：，，，，，）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
设，，进而根据题意得，，故，解不等式即可得答案.
【详解详析】
设，，
因为矩形，，，，，均为黄金矩形，
所以有，，，，，，
由题设得，解得.
故选:C．
【名师指路】
本题与数学问题相结合考查等比数列的应用，考查数学建模能力，是中档题.本题解题的关键在于设，，进而建立边长之间的等比数列模型，进而根据题意求解.
5．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取，）
A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元
【标准答案】D
【思路指引】
设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，由题意得出的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论．
【详解详析】
设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，
，、
同理可得，所以，而，
所以数列是等比数列，公比为，
所以，，
总利润为．
故选：D．
【名师指路】
思路点睛：本题考查数列的实际应用．解题方法是用数列表示月初进货款，得出递推关系，然后构造等比数列求解．
6．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【标准答案】D
【思路指引】
把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.
【详解详析】
设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，
由等差数列前n项和公式得：，
∴，
∵,∴n为264 的因数，且为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.
故选：D
【名师指路】
(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
7．小王2021年1月初向银行借了免息贷款10000元，用于自己开发的农产品 土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2021年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取，）
A．38720元 B．48720元 C．31520元 D．41520元
【标准答案】C
【思路指引】
1月底小王手中有现款（元），设月底小王手中有现款元，月底小王手中有现款元，由题意可知，从而可得数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，从而可得答案.
【详解详析】
解：1月底小王手中有现款（元），
设月底小王手中有现款元，月底小王手中有现款元，
则，，
所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
所以，即，
年利润为（元）.
故选：C.
8．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（ ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）
A．83 B．60 C．50 D．44
【标准答案】B
【思路指引】
由题可知5年后投入再生产的资金为：，即求.
【详解详析】
设每年应扣除的消费资金为万元，则
1年后投入再生产的资金为：，
2年后投入再生产的资金为：
，
5年后投入再生产的资金为：
∴，
∴.
故选：B
9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【标准答案】A
【思路指引】
小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利.这是本题的关键所在.
【详解详析】
设每月还元，按复利计算，则有
即
解之得，
故选：A
10．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.
【详解详析】
感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B
【名师指路】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
二、填空题
11．现有某种细胞1000个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为；2小时后，细胞总数约为……则当细胞总数超过个时，所需时间大约为___________小时.（参考数据：，.结果保留整数）
【标准答案】40
【思路指引】
根据分裂规律，可得细胞在每个小时后的个数成等比数列，由此列式计算即可．
【详解详析】
记个小时后细胞个数为，
则，，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
由，得，则，
∴，
故当细胞总数超过个时，所需时间大约为40小时.
故答案为：40
12．2015年7月31日，国际奥委会正式确定2022年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回___________元.
（参考数据：，，）
【标准答案】
【思路指引】
根据等比数列的求和公式计算可求得答案.
【详解详析】
解：由题意可知，可取出钱的总数为：
，
故答案为：6560.
13．
如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，找到与相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.
【详解详析】
由于 所以
梯形 的面积为的面积減去的面积，
则可得 即递推公式为
故为等差数列，且公差，
故，得
故答案为:
【名师指路】
本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.
14．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.
【标准答案】4039
根据题意得，进而只需求数列的前项和为即可得答案.
【详解详析】
设每个30分钟进去的人数构成数列，
则，…，.
设数列的前项和为，依题意，只需求
.
故答案为：.
【名师指路】
本题解题的关键在于根据题意得每个30分钟进去的人数构成数列，其通项公式为.
15．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．
【标准答案】2．
【思路指引】
根据图形之间的关系可得的递推关系，从而可求的通项公式，故可求a的最小值.
【详解详析】
设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，，
设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，
故，其中，
由累加法可得
，
时，也符合该式，故，
故对任意的恒成立，故即a的最小值为2.
故答案为：2.
【名师指路】
方法点睛：与图形相关的数列的计算问题，一般根据相邻图形的变化关系寻找目标数列的递推关系，再根据其形式得到通项，从而解决图形的计算问题.
三、解答题
16．已知正项数列满足：，.为数列的前项和.
（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，.
【标准答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.
【详解详析】
试题分析：
(I)分类讨论和两种情况，结合裂项求和即可证得题中的结论；
(II)结合(I)的结论的结论可知数列是单调递增数列，构造函数，该函数在区间上单调递增，然后结合数列的性质即可证得题中的结论.
试题解析：
（Ⅰ）证法一：因为，
∴时， ，
∴ ，即，
当时，，综上，.
证法二：考虑到数列的前项和为，猜想，
当时，结论显然成立.假设时，成立，
则当时，由，得
，结论成立.
综上：对任意，有，
以下同解法一.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
.因为在区间上单调递增，
所以，
从而 ，
当时，，，
所以 ，
令
设为不小于的最小整数，取(即)，
当时，.
17．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数（是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．
【标准答案】（1）；（2）经过9个月投资开始见效．
【详解详析】
试题分析: （1）根据g（3）得到k，再计算g（5）和g（5）﹣g（4），而g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]，从而得到结果；
（2）求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可．
试题解析
（1）据题意，解得，
第5个月的净收入为 万元，
所以，万元
（2）
即
要想投资开始见效，必须且只需
，
即
当时，
即不成立；
当时，即，
验算得，时，
所以，经过9个月投资开始见效．
18．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
【标准答案】（1）an=（﹣1）n﹣1
（2）数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为
【详解详析】
（1）设等比数列的公比为q，
∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）
即4a5=a3，
故q2==
又∵数列{an}不是递减数列，且等比数列的首项为
∴q=﹣
∴数列{an}的通项公式an=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1
（2）由（1）得
Sn=1﹣（﹣）n=
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=
故0＜≤=﹣=
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=
故0＞≥=﹣=
综上，对于n∈N*，总有≤≤
故数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为
19．已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；② .记数列的前项积为 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
【标准答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.
【思路指引】
（1）由，可依次求出，从而可求出；
（2）假设存在，设公差为，然后分和，判断出的正负，进而可得到的正负，由此可得结论；
（3）由题意， 且设，则进一步分析得，的值从大到小依次为，然后分，，分析求解即可
【详解详析】
（1），，
∴
（2）不存在，假设存在，设公差为
若，则，公差，矛盾；
若，则，公差，矛盾.
∴假设不成立，故不存在.
（3）由题意， 且
设，，
得，进一步得
显然的值从大到小依次为
（ⅰ）若，则，则不可能
（ⅱ）若，则或，
则或不可能
（ⅲ）若，则，则不可能
∴（当或取得）
从而，
∴.
∴
（当：取得）
又 ，∴
【名师指路】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的项，判断等差数列，考查分类讨论思想，第3问解题的关键是由已知可得设，， 得，进一步得，显然的值从大到小依次为，然后分情况讨论求解即可，考查计算能力，属于较难题
20．已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.
【标准答案】（1）（2）详见解析（3）
【详解详析】
（1）由，得，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故的通项公式为，.
（2）由，得.
所以为常数列，，即.
因为，，所以，即.
故的第项是最大项.
（3）因为，所以，
当时，
.
当时，，符合上式.
所以.
因为，所以，.
①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；
②当时，的最大值为，最小值为，而；
③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.
综上，的取值范围是.
