编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第七章 概率初步（续）单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6 B．15 C．19 D．22
【标准答案】C
【思路指引】
根据，利用平均数和方差的性质求.
【详解详析】
由题，
则，，
所以.
故选：C.
2．设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
【标准答案】D
【思路指引】
求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.
【详解详析】
因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
3．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
【标准答案】D
【思路指引】
根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.
【详解详析】
因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.
4．若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．0.1573 B．0.34135 C．0.49865 D．0.1359
【标准答案】A
【思路指引】
由X（单位：分）服从正态分布N（96，16），可得，则，然后根据正态分布的对称性可求得结果
【详解详析】
因为数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），
所以，
因为，，
所以，
所以
，
故选：A
5．2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
【标准答案】B
【思路指引】
根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解详析】
解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以
故选：B
6．随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
【标准答案】C
【思路指引】
根据公式算出期望和方差，进而结合二次函数的性质求得答案.
【详解详析】
若，则，故A,B均错误；
若，则，，其对称轴为：，则时，有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
7．在次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
【标准答案】C
【思路指引】
事件A，B，C发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可
【详解详析】
根据事件的互斥性可得：每一次试验中，事件发生的概率为
设事件A，B，C发生的次数为分别随机变量，则有：
则事件A，B，C发生次数的方差分别为： ，，
故事件A，B，C发生次数的方差之比为：
故选：C
8．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【标准答案】D
【思路指引】
根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．
【详解详析】
∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.
故选：D.
9．已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
分和两种情况分别去求数学期望，再进行比较即可解决.
【详解详析】
交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，,
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
.
即.
则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：C
10．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由题意可知10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，从而可求出，同样的方法可求出，进而可求出比值
【详解详析】
由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，
故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，
同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，
∴.
故选：B
二、填空题
11．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松训练的天数进行统计，得到下表：
平均每月参与马拉松训练的天数x
人数 10 50 40
依据上表，用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取3人，记抽取的3人中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为Y，则___________.
【标准答案】65##1.2
【思路指引】
由随机变量Y的取值范围为，利用超几何分布求得相应概率，然后利用期望公式求解.
【详解详析】
用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，其中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为，
随机变量Y的取值范围为，
，，
，，
所以.
故答案为：
12．一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则________．
【标准答案】
【思路指引】
分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.
【详解详析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以，.
故答案为：.
13．一个布袋中装有个大小质地相同的小球，颜色白黑红，从中任意取出球，记取到白球每个得分，取到黑球每个得分，取到红球每个得分，设取出的球得分总和为．则______．
【标准答案】
【思路指引】
分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.
【详解详析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
因此，.
故答案为：.
14．若随机变量，则服从的正态分布为______（填序号）.
①；②；③；④.
【标准答案】④
【思路指引】
根据变量线性变化后，其均值、方差的变化情况判断．
【详解详析】
∵，，
∴，，故.故④正确.
故答案为：④
15．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
【标准答案】
【思路指引】
先利用古典概型求得试验成功的概率，再利用二项分布均值公式求解.
【详解详析】
在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，
故试验成功的概率P＝1－＝，
则在10次试验中成功次数的均值E(ξ)＝.
故答案为：
16．一个口袋内有个大小相同的球，其中个红球和个白球，已知从口袋中随机取出个球是红球的概率为，,若有放回地从口袋中连续次取球(每次只取1个球)，在次取球中恰好次取到红球的概率大于，则________.
【标准答案】
【思路指引】
由题意次取球中恰好次取到红球的概率大于，根据次独立重复试验概率计算公式列出不等式可求出的范围，进而求出的具体数值；然后由随机取出个球是红球的概率为列式即可求出的值.
【详解详析】
次取球中恰好次取到红球的概率大于，
，，
，，，，
又，，，
又从口袋中随机取出个球是红球的概率为，，
故答案为：
17．已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
【标准答案】
【思路指引】
根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【详解详析】
依题意，，
由分布列的性质得，解得，
所以实数.
故答案为：
18．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．
【标准答案】
【思路指引】
根据某人共有三发子弹可得，2，3，然后求得其相应概率，再由期望公式求、，最后根据求值.
【详解详析】
由题意知：，2，3，
，，，
∴的分布列为：
1 2 3
∴，，
∴.
故答案为：.
19．袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据给定条件可得取出的4只球中至少有两个红球，有三种情况，分别求出各个情况的概率，再用互斥事件的加法公式计算作答.
【详解详析】
依题意，的事件是，，的三个互斥事件的和，
的事件是取出2只红球、2只黑球的事件，，
的事件是取出3只红球、1只黑球的事件，，
的事件是取出4只红球的事件，，
因此，，
所以的概率为.
故答案为：
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
【标准答案】②④##④②
【思路指引】
随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解详析】
因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
三、解答题
21．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放人对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：，，，，，绘成如下频率分布直方图：
(1)求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；
(2)学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A，B两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A，B两人至少有1人被选中的概率；
(3)从所抽取的40人中得分落在组的选手中随机选取3名选手，用X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望.
【标准答案】(1)56
(2)
(3)分布列见解析，
【思路指引】
（1）利用平均数公式即求；
（2）利用对立事件的概率公式即求；
（3）利用古典概型概率公式可求分布列，然后利用期望公式即得.
(1)
由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2，
所以得分的平均数.
(2)
所抽取的40人中，得分在80分以上的有人，
故所求概率为.
(3)
由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
得分在的人数，得分在的人数为人.
，，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望.
22．为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元．某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4．
(1)求甲比乙付费多的概率；
(2)设甲、乙两人付费之差的绝对值为随机变量，求的分布列和数学期望．
【标准答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【思路指引】
（1）根据甲乙两人的租用时间相互独立，然后列出“甲比乙付费多”这个事件所包含的基本事件，最后通过独立事件的概率计算出结果即可
（2）列出的所有可能取值情况，并分别计算出对应情况的概率，再根据分布列和期望的定义计算结果即可
(1)
根据题意，记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件，，
它们彼此互斥，且，，
同理，记“乙付费为0元、1元、2元”为事件，，
它们彼此互斥，且，，
由题知，事件，，与事件，，相互独立
记甲比乙付费多为事件M，则有：
可得：
；
故甲比乙付费多的概率为：
(2)
由题知，的可能取值为：0，1，2
则有：
，
所以的分布列为：
0 1 2
P 0.34 0.44 0.22
的数学期望：．
23．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求.为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A、B、C的10人中随机选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关工作.其中部门A、B、C可选派的人数分别为3、3、4.
(1)求选派的4人中恰有2人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A、B、C的人数分别为x，y，z，记，求的分布列和数学期望.
注：
【标准答案】(1)
(2)分布列见解析，
【思路指引】
（1）以古典概型解之即可解决；
（2）依据分布列要求列表，依据定义求去数学期望即可.
(1)
记“选派的4人中恰有2人来自部门C”为事件A，
则；
(2)
由题设的所有可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
，
所以的分布列为
1 2 3 4
P
则.
24．足球运动是一项在学校广泛开展 深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用.某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A，B，C三个层次，其中A，B，C三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A，B，C三个层次的球员所占比例如图所示.
层次 A B C
概率
(1)若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；
(2)若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X，求X的分布列及数学期望.
【标准答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【思路指引】
（1）从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A，B，C的成员踢进球的事件分别记为事件A，B，C，分别求出其概率，利用互斥事件概率加法即可求解；
（2）先判断出X服从二项分布，即可求出其分布列及数学期望.
(1)
从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A，B，C的成员踢进球的事件分别记为事件A，B，C，
则.
因为事件A，B，C为互斥事件，
所以.
故从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，球员踢进球的概率为.
(2)
由（1）可知从该社团中随机选择1人进行1次射门测试，球员踢进球的概率为，每次踢进球与否相互独立，
所以X服从二项分布，即，
，
.
X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
故X的数学期望.
25．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8．
(1)试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X的分布列及期望；
(2)若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．
（参考数据：，．）
【标准答案】(1)分布列见解析；期望为1
(2)
【思路指引】
小问1：根据二项分布求解即可；
小问2：分情况讨论第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，即可求解．
(1)
因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟，
所以一轮射击中，被罚时间X的值可能为0，1，2，3，4，5．
，，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.32768 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.00032
依题意，被罚时间X满足二项分布，所以；
(2)
依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第七章 概率初步（续）单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（ ）
A．6 B．15 C．19 D．22
2．设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
3．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
4．若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．A．0.1573 B．0.34135 C．0.49865 D．0.1359
5．2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
6．随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
7．在次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
8．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
9．已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松训练的天数进行统计，得到下表：
平均每月参与马拉松训练的天数x
人数 10 50 40
依据上表，用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取3人，记抽取的3人中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为Y，则___________.
12．一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则________．
13．一个布袋中装有个大小质地相同的小球，颜色白黑红，从中任意取出球，记取到白球每个得分，取到黑球每个得分，取到红球每个得分，设取出的球得分总和为．则______．
14．若随机变量，则服从的正态分布为______（填序号）.
①；②；③；④.
15．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
16．一个口袋内有个大小相同的球，其中个红球和个白球，已知从口袋中随机取出个球是红球的概率为，,若有放回地从口袋中连续次取球(每次只取1个球)，在次取球中恰好次取到红球的概率大于，则________.
17．已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
18．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．
19．袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________．
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
三、解答题
21．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放人对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：，，，，，绘成如下频率分布直方图：
(1)求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；
(2)学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A，B两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A，B两人至少有1人被选中的概率；
(3)从所抽取的40人中得分落在组的选手中随机选取3名选手，用X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望.
22．为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元．某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4．
(1)求甲比乙付费多的概率；
(2)设甲、乙两人付费之差的绝对值为随机变量，求的分布列和数学期望．
23．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求.为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A、B、C的10人中随机选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关工作.其中部门A、B、C可选派的人数分别为3、3、4.
(1)求选派的4人中恰有2人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A、B、C的人数分别为x，y，z，记，求的分布列和数学期望.
注：
24．足球运动是一项在学校广泛开展 深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用.某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A，B，C三个层次，其中A，B，C三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A，B，C三个层次的球员所占比例如图所示.
层次 A B C
概率
(1)若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；
(2)若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X，求X的分布列及数学期望.
25．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8．
(1)试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X的分布列及期望；
(2)若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．
（参考数据：，．）
