编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶01 条件概率与相关公式易错点综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是（ ）
A．甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52
B．乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.60
C．甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.32
D．乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.60
2．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096
3．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则下列式子成立的是（ ）
①；
②；
③；
④.
A．①②③④ B．② C．②③ D．②④
6．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（ ）
A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575
7．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．从区间中任取两个实数，，记事件，事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，不正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥，则
B．若事件A，B互为独立，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B，C两两独立，则
二、填空题
11．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．
12．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试.李华可以答对这10道题目中的6道题.若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为_________.
13．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．
14．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
15．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．
16．已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．
17．已知号箱中有个白球和个红球、号箱中有个白球和个红球，现随机从号箱中取出一球放入号箱，然后从号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是________.
18．从种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记件为“相邻的个格子颜色不同”，事件为“个格子的颜色均不相同”，则________.
19．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________．
20．已知，那么___________.
三、解答题
21．学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
（2）学生知道正确答案的概率是0.2．
22．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.
23．李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知李明乘坐公共汽车的概率为0.3，乘坐地铁的概率为0.7．而且乘坐公共汽车与地铁时，李明迟到的概率分别为0.2与0.05．
(1)求李明上学迟到的概率；
(2)如果某天早上李明上学迟到了，那么他乘公交车的概率为多少？
24．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
25．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)分别求，，和的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶01 条件概率与相关公式易错点综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是（ ）
A．甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52
B．乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.60
C．甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.32
D．乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.60
【标准答案】B
【思路指引】
设一年中甲地下雨记为事件A，乙地下雨记为事件B，则两地同时下雨记为事件AB.利用条件概率的计算公式分别求概率即可.
【详解详析】
设一年中甲地下雨记为事件A，乙地下雨记为事件B，则两地同时下雨记为事件AB.
由题意可得：.
如图示：
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：B
2．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096
【标准答案】B
【思路指引】
分别用事件，，表示“被保险人是‘谨慎的’，‘一般的’，‘冒失的’”， 事件表示“被保险人在一年内发生事故”，再利用条件概率求解.
【详解详析】
设事件表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件表示“被保险人是‘一般的’”，事件表示“被保险人是‘冒失的’”，则，，.设事件表示“被保险人在一年内发生事故”，则，，.由全概率公式，得.
故选：B
3．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.
【详解详析】
设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.
故选：C.
4．盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则，
由全概率公式知，分别计算对应概率，代入即得解
【详解详析】
设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则，
由全概率公式知，
由题意，，，，
所以.
故选：A．
5．已知，，则下列式子成立的是（ ）
①；
②；
③；
④.
A．①②③④ B．② C．②③ D．②④
【标准答案】B
【思路指引】
利用条件概率公式及概率性质辨析
【详解详析】
①若则，故，故①错误；
②因为所以所以②正确；
③若或则故③错误；
④若或则故④错误.
故选：B
6．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（ ）
A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意，设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，进而根据全概率公式求解即可.
【详解详析】
设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，
则，，，，，，
所以．
故选：B
7．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
记事件表示从仓库中随机提出的一台是合格品，表示提出的一台是第车间生产的，，，分别求出，，，，再由全概率公式即可求解.
【详解详析】
设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件，
事件表示提出的一台是第车间生产的，，，
由题意可得，，，，
由全概率公式得
．
所以该产品合格的概率为，
故选：C.
8．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
利用条件概率求解.
【详解详析】
设“第一次摸到红球”的事件为A，设“第二次摸到白球”的事件为B，
则 ，
所以在第一次摸到的是红球的条件下，第二次第二次摸到白球的概率为：
.
故选：B
9．从区间中任取两个实数，，记事件，事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据不等式的几何意义，结合几何概型求解，，再根据条件概率公式计算即可得答案.
【详解详析】
解：如图, 区间中任取两个实数，，构成的区域为正方形，面积为，
事件表示的区域为三角形的部分，面积为，故，
事件表示圆上及圆内的部分，
所以事件表示图中的阴影部分，面积为，故，
则所求的概率为.
故选： A.
10．下列命题中，不正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥，则
B．若事件A，B互为独立，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B，C两两独立，则
【标准答案】D
【思路指引】
根据互斥事件的概率加法公式即可判断AC；利用独立事件的概率公式可判断B；举反例可判断D.
【详解详析】
对于A，根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确；
对于B，事件A，B互为独立，则，
，故B正确；
对于C，根据互斥事件的概率加法公式即可判断C正确；
对于D，例：从1,2,3,4中随机选出一个数字，记事件“取出的数字为1或2”，“取出的数字为1或3”，
“取出的数字为1或4”，则“取出的数字为1”，
显然，，
满足，，
所以事件A，B，C两两独立，但是，故D错误；
故选：D
二、填空题
11．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．
【标准答案】0.785
【思路指引】
根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解详析】
记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此．
故答案为：0.785．
12．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试.李华可以答对这10道题目中的6道题.若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为_________.
【标准答案】.
【思路指引】
设事件为“李华进入面试”，事件为“李华答对第一道题”，分别求得和，进而可得.
【详解详析】
设事件为“李华进入面试”，事件为“李华答对第一道题”，则，，所以.
故答案为：.
13．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．
【标准答案】
【思路指引】
首先根据古典概型的概率计算公式，求得，再求，由即可得解.
【详解详析】
设红蓝两颗骰子的点数分别为，，基本事件用表示，
共有种情况，
事件包含基本事件，，，，，，共6种，
则，
事件和事件同时发生的基本事件为，，，，，共5种，
则，
故事件发生的条件下事件发生的概率．
故答案为：．
14．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
【标准答案】
【思路指引】
记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击
中野兔”，“野兔被击中”，注意的发生是不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出后，再由条件概率公式计算．
【详解详析】
记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，
则，
，
，
故答案为：．
15．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．
【标准答案】
【思路指引】
令{第1只是好的}，{第2只是好的}，在发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，由可求得答案.
【详解详析】
解：令{第1只是好的}，{第2只是好的}，
因为事件已发生，所以我们只研究事件即可，在发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，所以．
故答案为：.
16．已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解详析】
由题意知，，，
则．
故答案为：.
17．已知号箱中有个白球和个红球、号箱中有个白球和个红球，现随机从号箱中取出一球放入号箱，然后从号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是________.
【标准答案】
【思路指引】
利用条件概率公式可求得结果.
【详解详析】
设“从号箱取到红球”为事件，“从号箱取到红球”为事件.
由题意，，，
所以，所以两次都取到红球的概率为
故答案为：.
18．从种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记件为“相邻的个格子颜色不同”，事件为“个格子的颜色均不相同”，则________.
【标准答案】
【思路指引】
计算出、的值，利用条件概率公式可求得结果.
【详解详析】
用种对个格子涂色，方法种数为，
若相邻个格子颜色不同，先在中间的格子中任选种颜色涂色，两边的格子所涂的颜色只需和中间格子所涂的颜色不同即可，
所以，“相邻的个格子颜色不同”的涂色方法种数为种，则.
事件为“个格子的颜色均不相同”，则，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
19．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________．
【标准答案】35##0.6
【思路指引】
根据条件概率公式计算即可.
【详解详析】
设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，
则，，
，
故答案为：．
20．已知，那么___________.
【标准答案】0.3
【思路指引】
根据条件概率公式即可求解.
【详解详析】
由题意得，，
所以，
，
所以.
故答案为：0.3.
三、解答题
21．学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
（2）学生知道正确答案的概率是0.2．
【标准答案】（1）0.8；（2）0.5.
【思路指引】
记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，根据题意求得，，
（1）此时有，由贝叶斯公式即可得出答案；
（2）此时有，，由贝叶斯公式即可得出答案.
【详解详析】
解：记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，则按题意有，．
（1）此时有，所以由贝叶斯公式得
．
（2）此时有，，所以由贝叶斯公式得
．
22．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.
【标准答案】（1）0.7192；（2）0.48；（3）0.7192.
【思路指引】
(1)由独立事件的概率乘法公式求出通过率，再由独立事件概率公式求该部门招工的淘汰率；(2)由条件概率公式求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；(3)由概率乘法公式和加法公式求被淘汰的概率.
【详解详析】
设B表示最终通过考核，表示分别通过第一、二、三、四项考核.
（1）因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为
，
因此该部门招工的淘汰率为.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为
，
因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为
.
（3）在考核按第一项到第四项的顺序进行的情况下，淘汰率为
.
23．李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知李明乘坐公共汽车的概率为0.3，乘坐地铁的概率为0.7．而且乘坐公共汽车与地铁时，李明迟到的概率分别为0.2与0.05．
(1)求李明上学迟到的概率；
(2)如果某天早上李明上学迟到了，那么他乘公交车的概率为多少？
【标准答案】(1)0.095
(2)．
【思路指引】
（1）记小明乘坐公共汽车为事件，乘坐地铁为事件，迟到为事件，由结合条件概率公式计算；
（2）由条件概率公式计算．
(1)
记小明乘坐公共汽车为事件，乘坐地铁为事件，迟到为事件，则，，，，所以
．
(2)
．
24．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
【标准答案】(1)
(2)
(3)
【思路指引】
(1)求出从6个节目中依次抽取2个节目的试验的基本事件总数，再求出第1次抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数即可.
(2)求出第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数，结合(1)中信息即可得解.
(3)利用(1)(2)的结论结合条件概率的定义计算作答.
(1)
设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件，
从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，根据分步计数原理有，
所以.
(2)
由(1)知，，所以.
(3)
由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
.
25．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)分别求，，和的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
【标准答案】(1)，，，.
(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.
【思路指引】
（1）利用条件概率公式,计算即可求得，，；三式求和即得；
（2）利用条件概率公式分别计算，，，最大者即为所求箱号.
(1)
由已知可得,
,
∴，
，
，
∴.
(2)
，，，
最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.
