编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶02 随机变量的分布与特征易错点综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5 B．3/4 C．1/2 D．3/10
2．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为，恰好有三个红色和一个白色的概率为，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为，四种颜色各一个的概率为．若恰好有，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为（ ）
A．17 B．19 C．21 D．前三个答案都不对
3．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .
A． B． C． D．
4．若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
5．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则
A． B． C． D．
6．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设，随机变量的分布列是：
0 1
则当在内增大时（ ）A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
8．设随机变量的分布列如下
1 2 3 4 5 6
其中构成等差数列，则的（ ）A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
9．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A． B． C． D．4
10．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.
12．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝________.
13．若随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为________．
14．已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．
0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
15．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为，则的概率为______．
16．随机变量的取值为0，1，2，若，，则______.
17．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a 2a b
，当最大时，=_______________．
18．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
19．已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
20．袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________．
三、解答题
21．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．
（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；
（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．
22．某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
编号
编号
（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的分布列．
23．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内（）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计．若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．
(1)求的值；
(2)若一次抽取4个城市，
（i）假设抽取出的小城市的个数为，求的概率分布列；
（ii）若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率．
24．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲 乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲 乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
25．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：
(1)乙取胜的概率；
(2)设比赛局数为，求的分布列．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶02 随机变量的分布与特征易错点综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5 B．3/4 C．1/2 D．3/10
【标准答案】C
【思路指引】
先记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，根据题意得到与，再由条件概率，即可求出结果.
【详解详析】
记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，
则事件AB为“两次都取到白球”，
依题意知，，
所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．
故选：C.
【名师指路】
本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.
2．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为，恰好有三个红色和一个白色的概率为，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为，四种颜色各一个的概率为．若恰好有，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为（ ）
A．17 B．19 C．21 D．前三个答案都不对
【标准答案】C
【思路指引】
若红、白、蓝、绿玻璃球数量分别为，，，，可得，即可知盒子里玻璃球的个数的最小值.
【详解详析】
设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为，，，．
由题意得，即．
经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时，，，．
故选：C
3．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．
【详解详析】
根据题意，由于，那么可知，时，则可得概率和为1，即.
∴
∴
故选D.
考点：离散型随机变量的分布列
点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分
4．若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
【标准答案】C
【详解详析】
P(m≤ξ≤n)
选C.
点睛： 利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
5．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
【详解详析】
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
【名师指路】
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.
6．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解详析】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
【名师指路】
本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
7．设，随机变量的分布列是：
0 1
则当在内增大时（ ）
增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【标准答案】A
【思路指引】
直接利用分布列求出数学期望，进一步求出方差的值，再根据函数的性质的应用求出结果．
【详解详析】
根据随机变量的分布列，
则
＝
＝
由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为，
故增大.
故选：A.
【名师指路】
本题考查的知识要点：数学期望和方差的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
8．设随机变量的分布列如下
1 2 3 4 5 6
其中构成等差数列，则的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
【标准答案】B
根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案.
【详解详析】
，，，
当且仅当时取等，
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多.
9．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A． B． C． D．4
【标准答案】C
【思路指引】
列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.
【详解详析】
根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，
由，随机变量的取值为，故对应，
∴，
故选：C.
10．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由题知a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，进而得共有种不同的情况．再根据随机变量求解即可得答案.
【详解详析】
由于抛物线的对称轴在y轴左侧，
所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，
所以共有种不同的情况．
因为，
所以的取值范围是，
其中的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
所以．
故选：A．
二、填空题
11．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.
【标准答案】
【思路指引】
由题设及分布列概率的性质，结合相关事件的互斥关系有P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)，即可求P(ξ≥8).
【详解详析】
由题意知：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－＝.
故答案为：
12．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝________.
【标准答案】
【思路指引】
根据分步计数原理列出可能情况，再代入古典概型的公式计算即可.
【详解详析】
P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝
故答案为：
13．若随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为________．
【标准答案】
【思路指引】
首先根据分布列的性质得到，再利用基本不等式的性质求解即可.
【详解详析】
由分布列的性质，知，即.
因为，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
14．已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．
0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
【标准答案】0.2##15
【思路指引】
根据离散型随机变量及其分布列的概率和为1，得到，然后与联立求得，的值求解.
【详解详析】
由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，因此．
故答案为：0.2.
15．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为，则的概率为______．
【标准答案】##0.95
【思路指引】
由题可知的取值范围是，分别求概率，即求.
【详解详析】
易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．
方法一 ，，，
所以．
方法二 ．
故答案为：.
16．随机变量的取值为0，1，2，若，，则______.
【标准答案】
【思路指引】
根据，计算得到
，再计算得到答案.
【详解详析】
，则；
故.
故答案为：
【名师指路】
本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.
17．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a 2a b
，当最大时，=_______________．
【标准答案】.
【思路指引】
先计算，再计算，，当时最大,得到答案.
【详解详析】
由题知,
,
故当时最大,
此时
故答案为
【名师指路】
本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.
18．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
【标准答案】
X 1 2 3
P
【思路指引】
将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．
【详解详析】
由题意知X的可能取值为1，2，3
； ；
故答案为：
X 1 2 3
P
19．已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
【标准答案】
【思路指引】
根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【详解详析】
依题意，，
由分布列的性质得，解得，
所以实数.
故答案为：
20．袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据给定条件可得取出的4只球中至少有两个红球，有三种情况，分别求出各个情况的概率，再用互斥事件的加法公式计算作答.
【详解详析】
依题意，的事件是，，的三个互斥事件的和，
的事件是取出2只红球、2只黑球的事件，，
的事件是取出3只红球、1只黑球的事件，，
的事件是取出4只红球的事件，，
因此，，
所以的概率为.
故答案为：
三、解答题
21．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．
（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；
（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．
【标准答案】（1）；（2）分布列见解析.
【思路指引】
（1）利用古典概型概率公式即求；
（2）由题知X的取值范围为，分别求概率，即得.
【详解详析】
（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则．
（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）
（2）X的取值范围为，
则，，．
所以总得分X的分布列为：
X 0 1 2
P
22．某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
编号
编号
（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的分布列．
【标准答案】（1）；（2）分布列见解析.
【思路指引】
【详解详析】
（1）由表可知，指标z为0的有，指标z为1的有，，，，，，指标z为2的有，，．
在这10人中任取2人，所有的情况种数为，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为，
所以抽取的2人指标z相同的概率．
（2）由题意得10人的综合指标如表：
编号
综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3
其中等级是一级的有，，，，，，共6个，等级不是一级的有，，，，共4个．
随机变量X的取值范围为，，，
，，，
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
23．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内（）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计．若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．
(1)求的值；
(2)若一次抽取4个城市，
（i）假设抽取出的小城市的个数为，求的概率分布列；
（ii）若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率．
【标准答案】(1)7
(2)（i）
0 1 2 3 4
（ii）
【思路指引】
（1）一次抽取2个城市，全是小城市的个数和从个城市中一次抽取2个城市的情况用组合数表达出来，列出方程，求出的值；（2）（i）用超几何分布求出分布列，（ii）把抽取的4个城市是同一类城市，全为超大城市和全为小城市的情况均求出来，进而求出全为超大城市的概率.
(1)
（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得
(2)
（i）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
则的概率分布列为
0 1 2 3 4
（ii）若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为．
24．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲 乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲 乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
【标准答案】(1)；
(2)分布列见解析；
(3)方案③.
【思路指引】
(1)根据条件结合独立事件的乘法公式求出小北每个袋各抽一个白球的概率即可.
(2)先求出从甲袋分别取2白球、1白1黑、2黑球的事件的概率，再求出的可能值，并求出对应的概率即可作答.
(3)同(2)的方法，求出做3个俯卧撑的概率，再比对即可作答.
(1)
按方案①，小北做6个俯卧撑的事件是从甲、乙两袋中各抽出1个白球的事件，而每个袋中抽球是相互独立的，
所以小北做6个俯卧撑的概率.
(2)
从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
而的可能值为3，6，
，，
所以的分布列为：
3 6
(3)
从乙袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
小北抽出白球的概率为：，显然，
所以应该方案③.
25．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们每一局获胜的概率均为，且每局比赛互补影响，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：
(1)乙取胜的概率；
(2)设比赛局数为，求的分布列．
【标准答案】(1)
(2)分布列见解析
【思路指引】
（1）当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，求出两种情况的概率和可得答案；
（2）求出的可能取值和对应的概率可得答案.
(1)
当甲先胜了前两局时，乙取胜的性质有两种：第一种是乙连胜三局，第二种是在第三局到第六局，乙胜了三局，第七局乙胜，
第一种情况下乙取胜的概率为：，
第二种情况下乙取值的概率为：，
甲先赢了前两局，乙取胜的概率为
．
(2)
由已知得的可能取值为4，5，6，7，
，
，
，
，
的分布列为：
4 5 6 7
