编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶03 二项分布与超几何分布难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．袋中有大小相同的2红4绿共6个小球，随机从中摸取1个小球，甲方案为有放回地连续摸取3次，乙方案为不放回地连续摸取3次．记甲方案下红球出现的次数为随机变量，乙方案下红球出现的次数为随机变量，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【标准答案】C
【思路指引】
甲方案可看成3次独立重复试验，利用二项分布期望与方差公式可得；乙方案为不放回抽取，列取值、求概率、再求期望与方差，最后与甲方案比较.
【详解详析】
由题意知，，故.
,则，，
，则，
.
则，.
故选：C.
【名师指路】
离散型随机变量分布列的求解：一要明确随机变量的可能取值有哪些且每一个取值所表示的意义；二要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率；三要利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2．设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【标准答案】C
【思路指引】
利用二项式的通项公式，建立方程组，解出，代入公式得到结果.
【详解详析】
二项式展开式的通项公式为，
又，
∴，，
即 ，解得：，
此时，，
经检验可得，，
∴，，
故选：C
【名师指路】
方法点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
3．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
由正态分布解得每个零件合格的概率为，由对立事件得，
即，令，由的单调性可解得结果.
【详解详析】
服从正态分布，且，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为，
由，得，
令，
，单调递减，又，，
不等式的解集为的最小值为
故选：C.
【名师指路】
关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得，即.
4．1654年，法国贵族德 梅雷骑士偶遇数学家布莱兹 帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
【标准答案】B
【思路指引】
由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.
【详解详析】
由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
，，
，，
显然有，即，
所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
故选：B
5．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为，．若，，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据给定条件，分析甲乙所在的小组获 “优秀小组”的所有可能情况，再利用互斥事件的加法公式，相互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解详析】
依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的1题有先后之分，
所以所求概率为.
故选：A
6．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数的均值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
计算得出台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数服从二项分布，利用二项分布的期望公式可求得结果.
【详解详析】
由题意可知，该部件每个元件正常工作超过小时的概率均为，
则该部件正常工作超过小时的概率为，
所以台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数服从二项分布，
故所求均值为.
故选：C.
7．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5,10] （10,15] （15,20] （10,15]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【标准答案】C
【思路指引】
由条件求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，设设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，由此可得，再求其最大值，并确定对应的的值.
【详解详析】
根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，其中，，
当时，由，
得，化简得，
解得，又，所以，所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4．
故选：C．
8．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先求得该产品能销售的概率，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后利用二项分布求解.
【详解详析】
由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，
所以，，
，
故，
，
故选：B．
9．从区间和内分别选取一个实数，，得到一个实数对，称为完成一次试验．若独立重复做次试验，则的次数的数学期望为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先根据几何概型求出一次试验中发生的概率，再由二项分布的期望公式即可求数学期望．
【详解详析】
从区间和内分别选取一个实数，，
则表示的可行域为矩形区域（不含边界），如图所示，
表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．
因为的面积为，矩形的面积为，
所以由几何概型可知，每次试验发生的概率，
由题意知，,
所以的次数的数学期望为．
故选：D．
10．在次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
【标准答案】C
【思路指引】
事件A，B，C发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可
【详解详析】
根据事件的互斥性可得：每一次试验中，事件发生的概率为
设事件A，B，C发生的次数为分别随机变量，则有：
则事件A，B，C发生次数的方差分别为： ，，
故事件A，B，C发生次数的方差之比为：
故选：C
二、填空题
11．已知随机变量，若随机变量，则的数学期望______.
【标准答案】80
【思路指引】
根据二项分布的期望公式计算即可.
【详解详析】
由题设随机变量，
知，
因为，
所以.
故答案为：80
12．甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________.
【标准答案】
【思路指引】
因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，分为前三局全胜，前四局胜三局，打完五局胜三局，进而求得答案.
【详解详析】
因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，
若前三局甲胜，甲获胜的概率为，
若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概率为，
若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率是.
故答案为：.
13．已知随机变量，且，则______．
【标准答案】
【思路指引】
根据二项分布的期望公式得，进而根据二项分布概率公式计算即可.
【详解详析】
解：解法一：由题知，，解得，所以，
所以．
解法二：由题知，，解得，所以，
所以．
故答案为：
14．设随机变量，，若，则的值为__________．
【标准答案】
【思路指引】
由可得，从而可得.
【详解详析】
∵随机变量，，
∴，
∴，
∴，
∴，故答案为.
【名师指路】
本题主要考查二项分布、独立重复试验概率公式、对立事件的概率公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力以及计算能力，属于中档题.
15．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数的数学期望为______.
【标准答案】4
【思路指引】
根据比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为求得每局比赛甲胜的概率，再根据二项分布的有关知识求甲胜的局数的数学期望.
【详解详析】
先因为比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为，
每局比赛甲胜的概率，所以，解得，
所以每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为.
由题意可知，随机变量服从二项分布，
所以，
故甲胜的局数的数学期望为4.
故答案为：
【名师指路】
关键点点睛：本题考查二项分布，关键是求出每局比赛甲胜的概率.
16．若随机变量，且，则_________．
【标准答案】1
【思路指引】
由求出，再求得，进而求得.
【详解详析】
因为，所以，解得，所以，故.
故答案为：1.
【名师指路】
结论点睛：
（1）若随机变量，则，；
（2），.
17．一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数，其中的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则54次这样的重复试验的总得分的方差为______．
【标准答案】
【思路指引】
由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其方差的性质即求.
【详解详析】
启动一次出现数字为的概率，
设试验成功的次数为，则，
所以的方差为，
易得总得分，所以．
故答案为：.
18．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
【标准答案】①②④
【思路指引】
根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【详解详析】
由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.
又X的分布列
X 0 1 2
P
∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
η的分布列为
η 1 2 3
P
∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
19．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
【标准答案】
【思路指引】
先利用古典概型求得试验成功的概率，再利用二项分布均值公式求解.
【详解详析】
在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，
故试验成功的概率P＝1－＝，
则在10次试验中成功次数的均值E(ξ)＝.
故答案为：
20．一个口袋内有个大小相同的球，其中个红球和个白球，已知从口袋中随机取出个球是红球的概率为，,若有放回地从口袋中连续次取球(每次只取1个球)，在次取球中恰好次取到红球的概率大于，则________.
【标准答案】
【思路指引】
由题意次取球中恰好次取到红球的概率大于，根据次独立重复试验概率计算公式列出不等式可求出的范围，进而求出的具体数值；然后由随机取出个球是红球的概率为列式即可求出的值.
【详解详析】
次取球中恰好次取到红球的概率大于，
，，
，，，，
又，，，
又从口袋中随机取出个球是红球的概率为，，
故答案为：
三、解答题
21．为保护生态环境，减少污染物排放，某厂用“循环吸附降污法”减少污水中有害物，每次吸附后污水中有害物含量y（单位：mg/L）与吸附前的含量x（单位：mg/L）有关，该有害物的排放标准是不超过4 mg/L．现有一批污水，其中该有害物含量为2710 mg/L，5次循环吸附降污过程中的监测数据如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
吸附前的含量x mg/L 2710 880 290 90 30
吸附后的含量y mg/L 880 290 90 30 10
(1)已知y关于x的经验回归方程为．请你预测首次达到排放标准时有害物的含量；
(2)视（1）中所求的预测含量为实际排放含量，排放前，取n份处理后的污水样品检测该有害物的含量．已知检测结果的误差zn~N（0，）（zn单位：mg），至少要取多少份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不小于0.9987．
附：若X~N（μ，σ2），则P（|X－μ|≤3σ）≈0.9974）．
【标准答案】(1) ，当 时，，达到排放标准，此时，排放有害物的含量为3.25mg/L.
(2)至少要取37份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不低于0.9987.
【思路指引】
(1)计算 和 ，代入经验回归方程求 ；
(2)通过二项分布计算 ，再计算 .
(1)
由题意可得，
， ，
所以 ，
所以 .
当 时，，达到排放标准，此时，排放有害物的含量为3.25mg/L.
(2)
记检测结果为 mg/L，由(1)知，.
要使检测结果符合排放标准的概率不小于0.9987，
需 .
又因为 ，即 的期望 ， ，
所以 .
所以，
所以，至少要取37份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不低于0.9987.
22．某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中．
（注：收益率）
等级 一等品 二等品 三等品
指标值
产品收益率
(1)求的值；
(2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．
①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大．
【标准答案】(1)；
(2)①分布列见解析，；②投资产品的收益更大.
【思路指引】
（1）利用直方图可得，即求；
（2）①由题可得，即求；②分别计算收益，比较即得.
(1)
由题可得，
解得.
(2)
①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，
由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，1，2，3，且，，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
∴.
②由题可得，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品的收益：,
产品的收益：,
∴，
因为，
所以，即，
故投资产品的收益更大．
23．2021年11月25日，南非报告发现新冠病毒突变毒株.1.1.529，26日，世界卫生组织将其命名为“奥密克戎”．传染病专家威兰德根据现有数据计算称，相比原始新冠毒株，“奥密克戎”的传染性高出5倍，而“德尔塔”仅高出70%．在最近的中非合作论坛上，中国正式宣布将再次向非洲援助冠状病毒疫苗10亿针．同时，卫生部拟从5名防疫专家中抽选人员分批次参与援助南非活动．援助活动共分3批次进行，每次援助需要同时派送2名专家，且每次派送专家均从这5人中随机抽选．已知这5名防疫专家中，2人有援非经验，3人没有援非经验．
(1)求5名防疫专家中的“甲”，在这3批次援非活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到没有援非经验专家的人数的分布列与期望．
【标准答案】(1)；
(2)分布列见解析；期望为.
【思路指引】
（1）由题可得甲在每轮抽取中，被抽取到的概率，然后利用独立重复实验概率公式即得；
（2）由题知的可能取0，1，2．然后根据分布列的步骤及期望公式即得.
(1)
由题可知5名防疫专家中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；
(2)
由题可知的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
0 1 2
0.1 0.6 0.3
所以的期望.
24．足球运动是一项在学校广泛开展 深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用.某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A，B，C三个层次，其中A，B，C三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A，B，C三个层次的球员所占比例如图所示.
层次 A B C
概率
(1)若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；
(2)若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X，求X的分布列及数学期望.
【标准答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【思路指引】
（1）从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A，B，C的成员踢进球的事件分别记为事件A，B，C，分别求出其概率，利用互斥事件概率加法即可求解；
（2）先判断出X服从二项分布，即可求出其分布列及数学期望.
(1)
从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A，B，C的成员踢进球的事件分别记为事件A，B，C，
则.
因为事件A，B，C为互斥事件，
所以.
故从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，球员踢进球的概率为.
(2)
由（1）可知从该社团中随机选择1人进行1次射门测试，球员踢进球的概率为，每次踢进球与否相互独立，
所以X服从二项分布，即，
，
.
X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
故X的数学期望.
25．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8．
(1)试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X的分布列及期望；
(2)若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．
（参考数据：，．）
【标准答案】(1)分布列见解析；期望为1
(2)
【思路指引】
小问1：根据二项分布求解即可；
小问2：分情况讨论第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，即可求解．
(1)
因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟，
所以一轮射击中，被罚时间X的值可能为0，1，2，3，4，5．
，，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.32768 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.00032
依题意，被罚时间X满足二项分布，所以；
(2)
依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶03 二项分布与超几何分布难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．袋中有大小相同的2红4绿共6个小球，随机从中摸取1个小球，甲方案为有放回地连续摸取3次，乙方案为不放回地连续摸取3次．记甲方案下红球出现的次数为随机变量，乙方案下红球出现的次数为随机变量，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．1654年，法国贵族德 梅雷骑士偶遇数学家布莱兹 帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
5．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为，．若，，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数的均值为（ ）
A． B． C． D．
7．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5,10] （10,15] （15,20] （10,15]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
8．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A． B． C． D．
9．从区间和内分别选取一个实数，，得到一个实数对，称为完成一次试验．若独立重复做次试验，则的次数的数学期望为（ ）
A． B．
C． D．
10．在次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
二、填空题
11．已知随机变量，若随机变量，则的数学期望______.
12．甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________.
13．已知随机变量，且，则______．
14．设随机变量，，若，则的值为__________．
15．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数的数学期望为______.
16．若随机变量，且，则_________．
17．一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数，其中的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则54次这样的重复试验的总得分的方差为______．
18．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
19．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
20．一个口袋内有个大小相同的球，其中个红球和个白球，已知从口袋中随机取出个球是红球的概率为，,若有放回地从口袋中连续次取球(每次只取1个球)，在次取球中恰好次取到红球的概率大于，则________.
三、解答题
21．为保护生态环境，减少污染物排放，某厂用“循环吸附降污法”减少污水中有害物，每次吸附后污水中有害物含量y（单位：mg/L）与吸附前的含量x（单位：mg/L）有关，该有害物的排放标准是不超过4 mg/L．现有一批污水，其中该有害物含量为2710 mg/L，5次循环吸附降污过程中的监测数据如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
吸附前的含量x mg/L 2710 880 290 90 30
吸附后的含量y mg/L 880 290 90 30 10
(1)已知y关于x的经验回归方程为．请你预测首次达到排放标准时有害物的含量；
(2)视（1）中所求的预测含量为实际排放含量，排放前，取n份处理后的污水样品检测该有害物的含量．已知检测结果的误差zn~N（0，）（zn单位：mg），至少要取多少份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不小于0.9987．
附：若X~N（μ，σ2），则P（|X－μ|≤3σ）≈0.9974）．
22．某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中．
（注：收益率）
等级 一等品 二等品 三等品
指标值
产品收益率
(1)求的值；
(2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．
①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大．
23．2021年11月25日，南非报告发现新冠病毒突变毒株.1.1.529，26日，世界卫生组织将其命名为“奥密克戎”．传染病专家威兰德根据现有数据计算称，相比原始新冠毒株，“奥密克戎”的传染性高出5倍，而“德尔塔”仅高出70%．在最近的中非合作论坛上，中国正式宣布将再次向非洲援助冠状病毒疫苗10亿针．同时，卫生部拟从5名防疫专家中抽选人员分批次参与援助南非活动．援助活动共分3批次进行，每次援助需要同时派送2名专家，且每次派送专家均从这5人中随机抽选．已知这5名防疫专家中，2人有援非经验，3人没有援非经验．
(1)求5名防疫专家中的“甲”，在这3批次援非活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到没有援非经验专家的人数的分布列与期望．
24．足球运动是一项在学校广泛开展 深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用.某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A，B，C三个层次，其中A，B，C三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A，B，C三个层次的球员所占比例如图所示.
层次 A B C
概率
(1)若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；
(2)若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X，求X的分布列及数学期望.
25．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8．
(1)试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X的分布列及期望；
(2)若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．
（参考数据：，．）
