编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶04 正态分布难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：
甲：；
乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；
丙：；
丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.
（参考数据：若 ，则，， ；）
其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【标准答案】B
【思路指引】
根据可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案.
【详解详析】
由知，，，
对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；
对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在
内的概率，故乙是假命题；
对于丙：由知，丙正确；
对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，
，故丁是真命题.
故选：B.
2．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【标准答案】B
【思路指引】
首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解详析】
若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
3．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，求出即得解.
【详解详析】
解：设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，
则；
故该部件能正常工作的概率为.
故选：B
4．某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25
C．0.4 D．0.8
【标准答案】B
【思路指引】
根据正态分布的对称性得到对称轴为，得到摄像头在4年内能正常工作的概率为，再计算概率得到答案.
【详解详析】
，，所以.
所以正态分布曲线的对称轴为，即，
即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为.
所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为.
故选：B.
5．某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（ ）
(附:若随机变量服从正态分布，则
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
利用正态分布的性质得出的值，进而估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数.
【详解详析】
因为服从正态分布，所以
则
且在区间内的个数为，故可估计值约万个.
则
故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为.
故选：B.
6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为（ ）
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．0.682 6 B．0.841 3
C．0.818 6 D．0.954 4
【标准答案】C
【思路指引】
由题得μ＝80，σ＝5，利用P(75【详解详析】
解：烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，
∴μ＝80，σ＝5.
所求概率P(75＝P(μ－2σ＝[P(μ－2σ＝×(0.954 5＋0.682 7)＝0.818 6.
故选：C
7．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
【标准答案】D
【思路指引】
根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.
【详解详析】
因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.
8．若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．0.1573 B．0.34135 C．0.49865 D．0.1359
【标准答案】A
【思路指引】
由X（单位：分）服从正态分布N（96，16），可得，则，然后根据正态分布的对称性可求得结果
【详解详析】
因为数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），
所以，
因为，，
所以，
所以
，
故选：A
9．2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
【标准答案】B
【思路指引】
根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解详析】
解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以
故选：B
10．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【标准答案】D
【思路指引】
根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．
【详解详析】
∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.
故选：D.
二、填空题
11．已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）=3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P(Y>0)=p，则P(0【标准答案】0.25
【思路指引】
根据，及求得p，从而根据，求得，从而有.
【详解详析】
由知，，则，
则，，
故，
因此
故答案为：0.25
12．下列命题中，正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
【标准答案】②③④
【思路指引】
由二项分布的均值与方差公式计算判断①，由方差的性质判断②，由正态分布的对称性判断③，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断④．
【详解详析】
①，解得，①错；
②方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，②正确；
③服从正态分布，，③正确；
④，则，
由，解得，所以．④正确．
故答案为：②③④．
13．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________.
【标准答案】
【思路指引】
先根据正态分布概率的对称性求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解详析】
由生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，
可得正态分布曲线对称轴为，
所以，
所以恰好有3个尺寸在区间的概率为，
故答案为：.
14．已知服从正态分布的随机变量在区间，，内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997.若某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为______.
【标准答案】0.8185
【思路指引】
根据条件结合正态曲线的对称性即可解得答案.
【详解详析】
根据题意得到质量在到之间的大米概率为0.954，则小于的大米的概率为；质量在到之间的大米的概率为0.683，故质量大于的大米的概率为.故质量在的大米的概率为.
故答案为：0.8185.
15．若随机变量，，若，，则______．
【标准答案】
【思路指引】
解不等式1﹣（1﹣p）3＝0.657得到p＝0.3，再利用正态分布求解.
【详解详析】
解：∵P（X≥1）＝0.657，
∴1﹣（1﹣p）3＝0.657，即（1﹣p）3＝0.343，解得p＝0.3，
∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.3，
∴P（Y＞4）＝＝．
故答案为：0.2．
16．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为________.
(参考数据：若，则； ；.)
【标准答案】0.9772
【思路指引】
由X是服从正态分布知μ=800，σ=50，故，结合正态分布的对称性可知，根据即可求解.
【详解详析】
由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，
则.
由正态分布的对称性，
可得.
【名师指路】
本题主要考查了正态分布，利用正态曲线的对称性解题，属于中档题.
17．设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
【标准答案】
【思路指引】
根据函数的无零点可得，结合题意易知，再应用正态分布的三段区间概率及对称性求.
【详解详析】
函数没有零点，
二次方程无实根，即，可得，
又没有零点的概率是，
，由正态曲线的对称性知：，
，即，
，
，，
，
故答案为:．
18．若随机变量，则服从的正态分布为______（填序号）.
①；②；③；④.
【标准答案】④
【思路指引】
根据变量线性变化后，其均值、方差的变化情况判断．
【详解详析】
∵，，
∴，，故.故④正确.
故答案为：④
19．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
【标准答案】32
因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
【详解详析】
根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故答案为：32.
【名师指路】
本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息.
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
【标准答案】②④##④②
【思路指引】
随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解详析】
因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
三、解答题
21．正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述．例如，同一种生物体的身长、体重等指标．随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化．为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重．经整理分析后发现，鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知．
(1)若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在内的概率；
(2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表．
重量范围（单位：）
条数 1 3 2
①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在内的条数为，求随机变量的分布列和数学期望；
②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条．为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在内的鱼的条数．
【标准答案】(1)0.22；
(2)①分布列见详解；1；②47000；4136 .
【思路指引】
（1）根据正态分布曲线的对称性有，计算后即可得出答案；
（2）①随机变量的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分布的概率求法求出各种情况的概率，可得到其分布列，再由公式求出数学期望；
②设水库中共有条鱼，根据题意有，先求出，又由（1）可知，从而可求出应捕捞体重在内的鱼的条数.
(1)
解：已知鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的重量在内的概率为0.22.
(2)
解：①挑出6条鱼中，体重在内有2条，则从6条鱼中随机选出3条，
得随机变量的所有可能取值为0，1，2，
；
；
；
所以的分布列为：
0 1 2
数学期望.
②设水库中共有条鱼，根据题意有，
则（条），
所以估计水库中有47000条鱼；
由（1）可知，
则体重在内的鱼应捕捞（条）.
22．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量服从正态分布，则，；
②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【标准答案】(1)（i）；（ii）理由见解析.
(2)
0 1 2
【思路指引】
（1）（i）由正太分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.
(1)
（i）因为，所以，因为，所以，因为，所以；
（ii）由第一问知，庞加莱计算25个面包质量的平均值为，，而，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；
(2)
设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,
则；，，故分布列为：
0 1 2
其中数学期望
23．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
重量范围（单位：）
个数
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【标准答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望为.
【思路指引】
（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
(1)
解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
(2)
解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：
所以.
24．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.
参考数据：，若，则.
【标准答案】(1)，；
(2)①；②.
【思路指引】
(1)利用频率分布直方图计算平均数和方差的方法直接计算作答.
(2)①利用给定公式直接计算；②利用①的结论结合二项分布的期望公式计算作答.
(1)
根据频率分布直方图知，阅读时间在区间
内的频率分别为，
，
，
所以样本平均数和样本方差分别为9，1.78.
(2)
①由题意知，，则有，
，，
②由①知，可得，
所以Z的均值.
25．2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球米达标，女生投掷实心球米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练，已知该校男生投掷实心球的距离服从正态分布，女生投掷实心球的距离服从正态分布（的单位:米）.
(1)请你通过计算，判断该校学生是否还需加强实心球项目训练；
(2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离服从正态分布，且.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到？并说明理由.（取的值为2.15）
【标准答案】(1)需要加强
(2)该校女生投掷实心球的考试达标率能达到，理由见解析
【思路指引】
（1）根据独立重复试验概率计算公式进行计算，从而作出判断.
（2）通过计算达标率来进行说明.
(1)
依题意该校男生投掷实心球的距离服从正态分布，女生投掷实心球的距离服从正态分布，
所以男生和女生的达标概率为，不达标概率为，
所以从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率为，
所以该校学生还需加强实心球项目训练.
(2)
，即，
且，即，
所以，
，
则女生达标率为.
所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶04 正态分布难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：
甲：；
乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；
丙：；
丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.
（参考数据：若 ，则，， ；）
其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
3．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25
C．0.4 D．0.8
5．某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（ ）
(附:若随机变量服从正态分布，则
A． B． C． D．
6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为（ ）
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．0.682 6 B．0.841 3
C．0.818 6 D．0.954 4
7．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
8．若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．A．0.1573 B．0.34135 C．0.49865 D．0.1359
9．2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
10．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
二、填空题
11．已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）=3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P(Y>0)=p，则P(012．下列命题中，正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
13．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________.
14．已知服从正态分布的随机变量在区间，，内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997.若某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为______.
15．若随机变量，，若，，则______．
16．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为________.
(参考数据：若，则； ；.)
17．设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
18．若随机变量，则服从的正态分布为______（填序号）.
①；②；③；④.
19．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
三、解答题
21．正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述．例如，同一种生物体的身长、体重等指标．随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化．为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重．经整理分析后发现，鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知．
(1)若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在内的概率；
(2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表．
重量范围（单位：）
条数 1 3 2
①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在内的条数为，求随机变量的分布列和数学期望；
②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条．为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在内的鱼的条数．
22．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量服从正态分布，则，；
②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
23．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
重量范围（单位：）
个数
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
24．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.
参考数据：，若，则.
25．2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球米达标，女生投掷实心球米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练，已知该校男生投掷实心球的距离服从正态分布，女生投掷实心球的距离服从正态分布（的单位:米）.
(1)请你通过计算，判断该校学生是否还需加强实心球项目训练；
(2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离服从正态分布，且.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到？并说明理由.（取的值为2.15）
