编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶02 一元线性回归分析综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元） 2 3 4 5 6
销售额（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）
A．回归直线 必经过样本点、
B．这组数据的样本中心点未必在回归直线上
C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元
【标准答案】D
【思路指引】
根据回归方程的含义与性质判断ABC，根据最小二乘法求出回归方程可判断D.
【详解详析】
回归直线 ，不一定经过任何一个样本点，故 A错；
由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点一定在回归直线上，故B错；
回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错；
，，
将代入可得，则回归方程为，
时，，故D正确.
故选：D.
【名师指路】
本题主要考查回归方程的含义与性质，考查根据最小二乘法求出回归方程以及利用回归方程估计总体，属于基础题.
2．上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：
(克) 2 4 5 6 8
(%) 30 50 70 60
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．39.5 B．40 C．43.5 D．45
【标准答案】B
【思路指引】
由表中数据计算求得，根据回归直线经过样本中心点，求出的值.
【详解详析】
由表中数据，计算可得，，
因为回归直线方程过样本中心点，
所以有，解得，
故选：B.
【名师指路】
关键点点睛：该题考查的是有关回归直线的问题，正确解题关键是掌握回归直线过样本中心点.
3．已知变量关于的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测值可能为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
将回归方程左右同时取对数得：，看作回归直线的形式，由回归直线过样本中心点可构造方程求得，由此得到回归方程；将代入回归方程即可求得结果.
【详解详析】
由得：，，
解得：，回归方程为，若，则.
故选：D.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查非线性回归中的预估值的求解，解题关键是能够通过对指数型回归模型左右同时取对数，将其变为线性回归的形式来进行求解.
4．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
第天 1 2 3 4 5
使用人数() 15 173 457 842 1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（ ）A． B． C．3 D．2
【标准答案】B
【思路指引】
先计算出的值，然后求得估计值，最后计算出残差.
【详解详析】
令，则，
1 4 9 16 25
使用人数() 15 173 457 842 1333
，，
所以，
所以，
当时，，
所以残差为.
故选：B
【名师指路】
非线性回归要先转化为线性回归来求解，回归直线方程过样本中心点.
5．如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【标准答案】B
【思路指引】
根据图中的点，计算去掉前后的相关系数、残差平方和、，即可判断各选项的正误.
【详解详析】
由图，，，则，，，
∴相关系数.
令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，，
∴残差平方和，故，
去掉后，
，，则，，，
∴相关系数.
∴，A、D正确；
令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，
∴残差平方和，故，
∴，B错误，C正确；
故选：B
6．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶克数与食客的满意率的关系，调查研究发现，可选择函数模型来拟合与的关系，根据以下统计数据：
茶叶克数 1 2 3 4 5
4.34 4.36 4.44 4.45 4.51
可求得关于的非线性经验回归方程为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
令，由线性回归方程经过样本中心点，利用表中数据求得，代入选项即得.
【详解详析】
由题表中数据可知，
令，则，
对于A，化简变形可得，等号两边同取对数，可得，将代入可得，所以A正确；
对于B，，
∴，将代入可得，
，故B错误；
对于C，∵，将代入可得，
∴，故C错误；
对于D，∵，将代入可得，
∴，故D错误.
故选：A.
7．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018
年份代码 1 2 3 4 5
留学生回国人数/万 36.5 40.9 43.3 48.1 51.9
根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（ ）
A．63.14万 B．64.72万 C．66.81万 D．66.94万
【标准答案】D
【思路指引】
先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果．
【详解详析】
由题意知：，，
所以样本点的中心为，所以，解得：，
可得线性回归方程为，
年对应的年份代码为，令， 则，
所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，
故选：D.
8．给出下列有关线性回归分析的四个命题：
①线性回归直线未必过样本数据点的中心；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关系数时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于.
其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据线性回归直线的性质可判断选项A，B；根据相关系数的性质可判断C，D，进而可得正确选项.
【详解详析】
对于①，线性回归直线一定过样本数据点的中心，故①错误；
对于②，回归直线在散点图中可能不经过任何一个样本数据点，故②错误；
对于③，当相关系数时，两个变量正相关，故③正确；
对于④，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于或，故④错误.
故真命题的个数为1，
故选：A.
9．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（ ）
22 23 24 25 26
23 24 ▲ 26 28
A．24 B．25 C．25.5 D．26
【标准答案】A
【思路指引】
可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出、，将样本中心点带入回归方程，即可求得参数.
【详解详析】
设缺少的数值为，则，，
因为回归直线方程经过样本点的中心，所以，解得.
故选：A．
10．设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
A．32 B．63 C．64 D．128
【标准答案】C
【思路指引】
先通过换元把非线性回归方程转化为线性回归直线方程，从而可以利用公式求系数的值，然后把的值代入即可得到答案.
【详解详析】
令，则 ，
，，
所以 ，，
所以，即，
所以当时， .
故选：C.
二、填空题
11．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格 8.5 9 11 11.5
销售量 12 6 7 5
已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______.
【标准答案】10
先求样本平均值，，再根据样本中心点在回归直线上列方程求解即可得答案.
【详解详析】
解：依题意，，
代入回归直线方程得①，
根据题意②，
解①②组成的方程组得.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查已知回归方程求原始数据，考查运算能力，解题的关键是样本中心点在回归直线上，是基础题.
12．对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用(单位：百元)和网购图书的费用(单位：百元)的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点.将，和归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论：
①直线比直线的分类效果好；
②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧；
④如果从第Ⅰ组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是.
其中所有正确结论的序号是___________.
【标准答案】②③④
【思路指引】
根据分类直线的定义判断.
【详解详析】
由图象知：，
①当直线为分类直线时，，当直线为分类直线时，所以直线分类效果好，故错误；
②由图知定位L的位置由确定，所以直线L过点的外心，设直线方程为 则 ，解得，故正确；
③当到L的距离与到L的距离相等时为L的临界值，此时点在L的右侧，故正确；
④去掉点后，，解得，故正确；
故答案为：②③④
【名师指路】
关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本题L的位置由确定.
13．种棉花以绒长、品质好、产量高著称于世．我国2020至2021年度种棉花产量为万吨，占国内产量比重约，占国内消费比重约．已知某地区所产种棉花的产量与光照时长之间的关系如表．若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则下列说法中正确的有_______．（把正确答案的编号全部填上）
光照时长（单位：小时）
产量（单位：万吨）
①该回归直线过点；②种棉花的产量与光照时长成正相关；
③的值是；④当光照时长为小时时， 种棉花的产量一定为万吨．
【标准答案】①②③
【思路指引】
首先计算，代入回归直线方程，求得的值，判断①③，根据表格数据，直接判断正负相关性，根据回归方程，只能得到预测值，而不是准确值.
【详解详析】
由线性回归方程，可知种棉花的产量与光照时长成正相关，故②正确；，，代入，得，则，故③正确；
，则回归直线过点故①正确；
当时，，则当光照时长为小时时，种棉花的产量约为万吨，④错误．
故选：①②③
14．某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：
广告费用(万元) 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8
销售额(万元) 3 4 6 5 7
销售额(万元)与广告费用(万元)之间有线性相关关系，回归方程为 (为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为____万元．
【标准答案】.
【思路指引】
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，得到线性回归方程，取求得值即可．
【详解详析】
，
，
样本点的中心为，
代入，得，即．
线性回归方程为．
取，得，则（万元）．
故答案为：.
15．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则相应于点的残差为________.
气温 5 10 15 20 25
杯数y 26 20 16 14 14
【标准答案】.
【思路指引】
由表中数据计算出，，代入线性回归方程求出，进而可求得结果.
【详解详析】
，，
代入线性回归方程得，解得，
则线性回归方程为.
所以，则相应于点的残差为.
故答案为：.
16．某种细胞的存活率（%）与存放温度（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度/℃ 20 15 10 5 0
存活率/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为______.
【标准答案】
【思路指引】
根据更正前的数据计算更正后的，，，，从而求更正后的回归方程.
【详解详析】
由题意知，更正后，，
，，
∴，，
∴更正后的回归方程为.
故答案为：.
17．已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，那么表格中的数据m的值为______.
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 m
【标准答案】6.7
【思路指引】
根据回归直线必过样本中心点求解即可.
【详解详析】
，，
把的坐标代入回归直线方程得，
解得.
故答案为：6.7
18．某工厂为了对一种新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 4 5 6 7 8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．
【标准答案】
【详解详析】
由已知得＝6.5，＝80，将(，)代入＝－4x＋，解得＝106.将表格中的(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)，依次代入线性回归方程＝－4x＋106，得在回归直线左下方的点为(5,84)，(9,68)，共2个．故在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为.
19．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
A区 B区 C区 D区 E区
外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500
留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为___________万元.(参考数据：取)
【标准答案】
【思路指引】
求出，利用中心点求得，然后令代入可得估计值，求得留在当地过年的人员数可得补贴总额．
【详解详析】
由已知，
，
所以，则，即，
时，，
估计应补贴（万元）．
故答案为：．
【名师指路】
关键点点睛：本题考查结尾回归直线方程的应用，线性回归直线的性质：线性回归直线一定过中心点，由此可求得方程中的参数值，得方程，从而用回归方程进行计算估计．
20．已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
根据上表可得回归方程，其中，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为_________万元；
【标准答案】85
【思路指引】
根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当 的函数值即可．
【详解详析】
由上表可知：.
得样本点的中心为，代入回归方程，得.
所以回归方程为，
将代入可得：.
故答案为：85
三、解答题
21．当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击.我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利.
(1)在研发过程中，对研发时间x(月)和产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下：
x(月) 1 2 3 4 5 6 7
y(nm) 99 99 45 32 30 24 21
现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少
(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：
①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；
②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学 并说明理由.
参考数据：设z＝，zi＝，＝0.37，＝50，＝184.5，－72＝0.55；
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝u＋中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为＝，＝－.
【标准答案】(1)，13nm；
(2)方案②，详见解析.
【思路指引】
（1）利用回归直线公式即求；
（2）分别计算两种方案的收益，比较即得.
(1)
由题可得，
∴，
∴，
∵，
∴，即该产品的“理想”优良厚度约为13nm.
(2)
方案①，售卖收益为万元；
方案②，设为3条老旧生产线改造成功的收益，的可能取值为－20,0,20,40，
，，
，，
∴，
∵，
∴该企业应选择方案②更为科学.
22．大气污染物PM2.5(大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物)的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度受汽车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度(单位：μg/m3)，得到的数据如下表所示：
监测点编号 1 2 3 4 5
汽车流量 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9
PM2.5浓度 66 72 113 34 35
根据以上信息，完成下列问题：
(1)建立PM2.5的浓度关于汽车流量的一元线性回归模型；
(2)我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24h平均浓度为75μg/m3，该地为使PM2.5 24h平均浓度不超过68.6，拟对汽车流量作适当控制，请你根据本题数据估计汽车流量控制的最大值；
(3)从5个监测点中抽取3个，记PM2.5平均浓度不超过68.6的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：＝＝，＝－.
【标准答案】(1)；
(2)．
(3)分布列见解析，期望为．
【思路指引】
（1）根据所给数据计算出方程的系数得回归方程；
（2）用回归方程估计的浓度，解不等式可得；
（3）5个监测点中PM2.5平均浓度不超过68.6的有三个：1，4，5，用列举法写出任取3个的基本事件，并得出的基本事件，计数后可得概率，从而得分布列，由期望计算期望．
(1)
,,
,
,
所以回归方程为；
(2)
，，最大值为．
(3)
从5个监测点中任意抽取个的基本事件有：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345共10个，
5个监测点中，PM2.5平均浓度不超过68.6的有3个：编号1，4，5，因此的可能分别为，
的基本事件有：123，234，235三个，，
的基本事件有：124，125，134，135，245，345共6个，，
的基本事件有：145一个，，
的分布列为：
1 2 3
．
23．5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：
时间（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根据以上数据绘制散点图，如图.
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；
(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考数据：
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73
其中设，
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，，.
【标准答案】(1)
(2)回归方程为，8月份的5G经济收入百万元.
(3)答案见解析
【思路指引】
（1）根据散点图判断可得答案；
（2）根据（1）的结果，然后根据参考数据求出方程，进而求得y关于x的回归方程，再将代入方程可得答案；
（3）求出X的可能取值及概率，可得分布列和数学期望.
(1)
，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上差距是增大的趋势，故用表示更合适.
(2)
由得，设，所以，
因为，，，，
所以，，
，
所以，即，
则回归方程为，
预测该公司8月份的5G经济收入百万元.
(3)
月收入超过16百万的个数为的可能取值为1，2，3，
则，
，
，
则的分布列为
1 2 3
所以.
24．经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表.
275 731.1 21.7 150 2368.36 30
表中，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
(1)根据散点图看出样本点分布在一条指数函数的周围，即可判断；
(2)令，利用最小二乘法即可求出y关于x的线性回归方程.
(1)
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为y与x之间的回归方程模型；
(2)
令，则，
；
，
∴；
∴y关于x的回归方程为.
25．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好，
【标准答案】(1)模型②拟合精度更高、更可靠，亿
(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小
【思路指引】
（1）根据公式计算相关指数，再根据大小选择合适的模型，根据所得模型可求直接受益.
（2）根据（1）中的公式结合利润计算方法可求公司收益，从而可得两者的大小关系.
(1)
对于模型①，
对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.
(2)
当时，
后五组的，，
由最小二乘法可得，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶02 一元线性回归分析综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元） 2 3 4 5 6
销售额（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）A．回归直线 必经过样本点、
B．这组数据的样本中心点未必在回归直线上
C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元
2．上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：
(克) 2 4 5 6 8
(%) 30 50 70 60
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）A．39.5 B．40 C．43.5 D．45
3．已知变量关于的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测值可能为（ ）
A． B． C． D．
4．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
第天 1 2 3 4 5
使用人数() 15 173 457 842 1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（ ）A． B． C．3 D．2
5．如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
6．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶克数与食客的满意率的关系，调查研究发现，可选择函数模型来拟合与的关系，根据以下统计数据：
茶叶克数 1 2 3 4 5
4.34 4.36 4.44 4.45 4.51
可求得关于的非线性经验回归方程为（ ）A． B．
C． D．
7．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018
年份代码 1 2 3 4 5
留学生回国人数/万 36.5 40.9 43.3 48.1 51.9
根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（ ）A．63.14万 B．64.72万 C．66.81万 D．66.94万
8．给出下列有关线性回归分析的四个命题：
①线性回归直线未必过样本数据点的中心；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关系数时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于.
其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（ ）
22 23 24 25 26
23 24 ▲ 26 28
A．24 B．25 C．25.5 D．26
10．设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
A．32 B．63 C．64 D．128
二、填空题
11．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格 8.5 9 11 11.5
销售量 12 6 7 5
已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______.
12．对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用(单位：百元)和网购图书的费用(单位：百元)的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点.将，和归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论：
①直线比直线的分类效果好；
②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧；
④如果从第Ⅰ组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是.
其中所有正确结论的序号是___________.
13．种棉花以绒长、品质好、产量高著称于世．我国2020至2021年度种棉花产量为万吨，占国内产量比重约，占国内消费比重约．已知某地区所产种棉花的产量与光照时长之间的关系如表．若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则下列说法中正确的有_______．（把正确答案的编号全部填上）
光照时长（单位：小时）
产量（单位：万吨）
①该回归直线过点；②种棉花的产量与光照时长成正相关；
③的值是；④当光照时长为小时时， 种棉花的产量一定为万吨．
14．某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：
广告费用(万元) 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8
销售额(万元) 3 4 6 5 7
销售额(万元)与广告费用(万元)之间有线性相关关系，回归方程为 (为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为____万元．
15．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则相应于点的残差为________.
气温 5 10 15 20 25
杯数y 26 20 16 14 14
16．某种细胞的存活率（%）与存放温度（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度/℃ 20 15 10 5 0
存活率/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为______.
17．已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，那么表格中的数据m的值为______.
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 m
18．某工厂为了对一种新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 4 5 6 7 8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．
19．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
A区 B区 C区 D区 E区
外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500
留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为___________万元.(参考数据：取)
20．已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
根据上表可得回归方程，其中，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为_________万元；
三、解答题
21．当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击.我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利.
(1)在研发过程中，对研发时间x(月)和产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下：
x(月) 1 2 3 4 5 6 7
y(nm) 99 99 45 32 30 24 21
现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少
(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：
①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；
②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学 并说明理由.
参考数据：设z＝，zi＝，＝0.37，＝50，＝184.5，－72＝0.55；
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝u＋中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为＝，＝－.
22．大气污染物PM2.5(大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物)的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度受汽车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度(单位：μg/m3)，得到的数据如下表所示：
监测点编号 1 2 3 4 5
汽车流量 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9
PM2.5浓度 66 72 113 34 35
根据以上信息，完成下列问题：
(1)建立PM2.5的浓度关于汽车流量的一元线性回归模型；
(2)我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24h平均浓度为75μg/m3，该地为使PM2.5 24h平均浓度不超过68.6，拟对汽车流量作适当控制，请你根据本题数据估计汽车流量控制的最大值；
(3)从5个监测点中抽取3个，记PM2.5平均浓度不超过68.6的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：＝＝，＝－.
23．5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：
时间（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根据以上数据绘制散点图，如图.
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；
(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考数据：
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73
其中设，
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，，.
24．经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表.
275 731.1 21.7 150 2368.36 30
表中，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
25．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好，
