编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶03 2X2列联表综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是A． B． C． D．
2．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）
参考公式附：，其中.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
A．130 B．190
C．240 D．250
3．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度，厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表．
单位：天
日落云里走 夜晚天气
下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
临界值表：
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
并计算得到，下列小波对地区天气的判断不正确的是（ ）A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．若出现“日落云里走”，则有99.9%的把握认为夜晚一定会下雨
4．随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．100 B．150 C．250 D．300
5．某工科院校对，两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下列联表：
专业类型 性别 专业 专业 总计
女 12
男 46 84
总计 50 100
则该工科院校，两个专业中性别与专业有关的把握为（ ）A．99.5% B．99% C．99.9% D．95%
6．某工科院校对A，B两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格：
专业A 专业B 合计
女生 12
男生 46 84
合计 50 100
若认为工科院校中“性别”与“专业”有关，则犯错误的概率不会超过（ ）A．0.005 B．0.01 C．0.025 D．0.05
7．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男、女乘客晕机的情况，调查结果如下表所示（单位：人）：
晕机情况 性别 晕机 不晕机 合计
男 15
女 6
合计 28 46
则约为（ ）A．0.775 B．1.118 C．4.225 D．6.786
8．某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）
附：,其中.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
9．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（ ）
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．400 B．300 C．200 D．100
10．某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的.若被调查的男生人数为，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
二、填空题
11．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考查某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取只小鼠进行试验，得到如下联表：
感染 未感染 总计
服用
未服用
总计
参考公式：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”．
12．2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：
感染 未感染 总计
注射 10 40 50
未注射 20 30 50
总计 30 70 100
参照附表，在犯错误的概率最多不超过____的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．
【参考公式：.】
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
13．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：
同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计
男 20 5 25
女 10 15 25
合计 30 20 50
则认为“是否同意限定区域停产与家长的性别有关”的把握约为__________．
附：，其中.
0.050 0.005 0.001
3.841 7.879 10.828
14．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
（1）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使得推断错误．
（2）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有的可能患有肺病；
（3）若，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
其中说法正确的是________．
15．有下列四个命题：
①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
③若数据，，，的平均数为1，则，，，的平均数为2；
④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；
其中真命题的个数为___________.
16．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数．若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有________人．
17．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
18．某中学共有学生5000名，其中男生3500名，女生1500名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现用分层随机抽样的方法从中收集300名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：），其频率分布直方图如下：
已知在样本数据中，有60名女生的每周平均体育锻炼时间不少于4h，根据独立性检验原理，我们有______的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
19．某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过______.
20．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表：
总计
15
50
总计 20 45 65
其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附：
三、解答题
21．庞大集团拥有数十万员工，年龄在25周岁以下的占40%.调研部为研究员工的日平均生产量是否与年龄有关，按“25周岁以下组”和“25周岁以上组（含25周岁）”，用分层抽样的方法抽取了100人的样本进行调研.将两组员工的日平均生产件数分成5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，设其中为“25周岁以下组”的人数为X，求X的分布列；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”.调研部想通过独立性检验的方法来研究“工人的年龄”与“是否是生产能手”是否有关.请完成下列2×2列联表.
生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上组 60
25周岁以下组 40
合计 30 70 100
(3)调研部利用上表求得K2≈1.79.从而得出结论：某员工所属年龄组与是否为生产能手无关，可视为独立事件进行研究.已知庞大集团所有员工中，生产能手占30%，现从庞大集团所有员工中随机抽取2人，设其中为25周岁以下组的生产能手的人数为Y，求Y的期望和方差.
22．心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表所示.
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？
(2)现从选择做几何题的8名女同学（包含甲 乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲 乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
.
23．为了解当代中学生喜欢文科 理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文 理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题一分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为"文科意向"学生，低于60分的被称为"理科意向"学生.
理科方向 文科方向 总计
男 110
女 50
总计
(1)根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有的把握认为是否为"文科意向"与性别有关？
(2)将频率视为概率，现按照性别用分层抽样的方法从"文科意向"学生中抽取8人作进一步调查，校园电视台再从该8人中随机抽取2人进行电视采访，求恰好有1名男生 1名女生被采访的概率.参考公式：，其中参考临界值：
24．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康 解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：
男生 女生 总计
90分钟以上 80 x 180
90分钟以下 y z 220
总计 160 240 400
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？
(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
25．为了解社区居民的业余活动，某社区对100名居民业余活动是参加文艺活动还是参加体育活动进行问卷调查，数据如下表所示：
文艺活动 体育活动
男性 10 40
女性 30 20
(1)是否有99.9%的把握认为参加文艺活动还是体育活动与性别有关？
(2)用频率估计概率，从社区全体居民中随机抽取3人，记X是所抽3人中参加文艺活动的人数，求随机变量X的分布列与期望．
附：
0.025 0.010 0.005 0.001
k 5.024 6.635 7.879 10.828编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
进阶03 2X2列联表综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是
A． B． C． D．
【标准答案】D
【详解详析】
分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.
详解：因为，
所以
选D.
点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.
2．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）
参考公式附：，其中.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
A．130 B．190
C．240 D．250
【标准答案】B
设男、女生的人数都为，列出列联表，计算的值，查表解不等式即可.
【详解详析】
依题意，设男、女生的人数各为，建立列联表如下所示：
喜欢网络课程 不喜欢网络课程 总计
男生
女生
总计
故，由题可知，
∴，只有B符合题意.
故选：B.
【名师指路】
本题主要考查独立性检验，关键点是建立列联表代入公式计算，考查数学运算、数学建模的核心素养.
3．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度，厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表．
单位：天
日落云里走 夜晚天气
下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
临界值表：
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
并计算得到，下列小波对地区天气的判断不正确的是（ ）A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．若出现“日落云里走”，则有99.9%的把握认为夜晚一定会下雨
【标准答案】D
【思路指引】
根据已知数据计算概率可判断AB，计算后可判断C，根据概率的意义判断D．
【详解详析】
根据列联表可知，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A中判断正确；同样，未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B中判断正确；，因此认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C中判断正确；有关只是说可能性，不代表一定下雨，D中判断错误，
故选：D．
4．随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．100 B．150 C．250 D．300
【标准答案】B
【思路指引】
设被调查的男、女学生总数量为，列出列联表，计算出关于的表达式，结合临界值表可得出，求出的取值范围，即可得解.
【详解详析】
设被调查的男、女学生总数量为，
根据题意可得出列联表如下表所示：
喜欢网络课程 不喜欢网络课程 合计
男生
女生
合计
，
由题意可得，即，
整理得.
故的可能取值为.
故选：B.
5．某工科院校对，两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下列联表：
专业类型 性别 专业 专业 总计
女 12
男 46 84
总计 50 100
则该工科院校，两个专业中性别与专业有关的把握为（ ）A．99.5% B．99% C．99.9% D．95%
【标准答案】D
【思路指引】
补全列联表，据此计算，比较临界值，作出结论即可.
【详解详析】
根据题意，填写列联表，得到以下表格：
专业类型 性别 专业 专业 总计
女 12 4 16
男 38 46 84
总计 50 50 100
计算得，且，
所以有95%的把握认为该工科院校，两个专业中性别与专业有关.
故选：D
6．某工科院校对A，B两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格：
专业A 专业B 合计
女生 12
男生 46 84
合计 50 100
若认为工科院校中“性别”与“专业”有关，则犯错误的概率不会超过（ ）
A．0.005 B．0.01 C．0.025 D．0.05
【标准答案】D
【思路指引】
由表格中数据间的关系填写列联表中的余下数据，计算的值，比较其与临界值的大小关系确定若认为工科院校中“性别”与“专业”有关的犯错误的概率，由此确定正确选项.
【详解详析】
根据题意，填写列联表如下：
专业A 专业B 合计
女生 12 4 16
男生 38 46 84
合计 50 50 100
则．又，所以认为工科院校中“性别”与“专业”有关，犯错误的概率不会超过0.05，
故选：D.
7．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男、女乘客晕机的情况，调查结果如下表所示（单位：人）：
晕机情况 性别 晕机 不晕机 合计
男 15
女 6
合计 28 46
则约为（ ）
A．0.775 B．1.118 C．4.225 D．6.786
【标准答案】A
【思路指引】
根据列联表求出表中的数据，再由公式计算的值即可求解.
【详解详析】
由列联表数据，知，得补充得到列联表（单位：人）如下：
晕机情况 性别 晕机 不晕机 合计
男 12 15 27
女 6 13 19
合计 18 28 46
所以.
故选：A．
8．某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）
附：,其中.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【标准答案】B
根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算,结合表中的数据判断即可.
【详解详析】
由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为,故经常进行体育锻炼的学生人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为,女生有.列出列联表有：
男生 女生 总计
经常锻炼 110 40 150
不经常锻炼 30 20 50
总计 140 60 200
故,因为.
故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”.
故选：B
【名师指路】
本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.
9．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（ ）
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．400 B．300 C．200 D．100
【标准答案】B
【思路指引】
根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可.
【详解详析】
由题可知，男女各人，列联表如下：
喜欢 不喜欢 总计
男 30m 20m 50m
女 20m 30m 50m
总计 50m 50m 100m
，
有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，
，解得，
，
，
.
故选：B
10．某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的.若被调查的男生人数为，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【标准答案】B
【思路指引】
列出列联表，计算，解不等式，即可求解.
【详解详析】
由题意得到如下列联表：
喜欢看篮球赛情况 性别 喜欢 不喜欢 总计
男
女
总计
所以.
因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以，
即，得.
又，，为整数，所以的最小值为12.
故选：B
二、填空题
11．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考查某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取只小鼠进行试验，得到如下联表：
感染 未感染 总计
服用
未服用
总计
参考公式：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”．
【标准答案】
【详解详析】
由题意可得，，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为.
【方法点睛】
本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
12．2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：
感染 未感染 总计
注射 10 40 50
未注射 20 30 50
总计 30 70 100
参照附表，在犯错误的概率最多不超过____的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．
【参考公式：.】
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【标准答案】0.05
【详解详析】
分析：直接利用独立性检验公式计算即得解.
详解：由题得,
所以犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．
故答案为0.05.
点睛：本题主要考查独立性检验和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.
13．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：
同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计
男 20 5 25
女 10 15 25
合计 30 20 50
则认为“是否同意限定区域停产与家长的性别有关”的把握约为__________．
附：，其中.
0.050 0.005 0.001
3.841 7.879 10.828
【标准答案】99.5%.
【详解详析】
分析：利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论.
详解：因为K2= ≈8.333
又 P（k2≥7.789）=0.005=0.5%．
故答案为99.5%.
所以，我们有99.5%的把握恩威是否同意限定区域停车与家长的性别有关．
点睛：本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
（1）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使得推断错误．
（2）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有的可能患有肺病；
（3）若，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
其中说法正确的是________．
【标准答案】（1）
【思路指引】
根据题意，利用独立性检验的定义与基本思想，对题目中的命题进行逐个分析、判断，即可求解出答案．
【详解详析】
根据独立性检验的基本思想，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系的意思为有的把握认为这个推理是正确的，所以（1）正确．从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系的意思为有的把握认为这个推理是正确的，而不是说某个人吸烟就有的可能患有肺病，所以（2）错误．同（2）中的推论，所以也不能在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故（3）错误．故答案为（1）．
【名师指路】
本题主要考查了独立性检验的基本思想，是检验两个事件相关程度的量，是相关关系，是反映有关和无关的概率．
15．有下列四个命题：
①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
③若数据，，，的平均数为1，则，，，的平均数为2；
④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；
其中真命题的个数为___________.
【标准答案】3
【思路指引】
根据残差的意义，可判定①②真命题；根据数据的平均值的计算公式，可得③真命题；根据独立性检验中观测值的几何意义，可判定④为假命题.
【详解详析】
根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以①为真命题；由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，所以②为真命题；若数据的平均数为1，则的平均数也扩大原来的2倍，即平均数为2，所以③为真命题；对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该越大，判断与有关系的把握越大，所以④为假命题.
故答案为：3.
16．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数．若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有________人．
【标准答案】45
【思路指引】
设男生有人，由题意列出列联表，计算的值，由以及且是的倍数即可求解.
【详解详析】
设男生有人，则男生有人，可得列联表如下：
喜欢抖音 不喜欢抖音 总计
男生
女生
总计
若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，
则，可得，
由题意可得且是的倍数，所以男生至少有人，
故答案为：.
17．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
【标准答案】30
【思路指引】
设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论.
【详解详析】
设男生人数为，依题意可得列联表如下：
喜欢追星 不喜欢追星 总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则，
由，解得，
由题知应为6的整数倍，
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有30人，
故答案为：30.
18．某中学共有学生5000名，其中男生3500名，女生1500名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现用分层随机抽样的方法从中收集300名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：），其频率分布直方图如下：
已知在样本数据中，有60名女生的每周平均体育锻炼时间不少于4h，根据独立性检验原理，我们有______的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【标准答案】95%
【思路指引】
根据频率分布直方图可得男女同学每周锻炼时间少于4小时和不少于4小时的列联表，计算，根据临界值作出结论即可.
【详解详析】
由题意，得从5000名学生中抽取一个容量为300的样本，其中男生、女生各抽取的人数为，，由频率分布直方图，可知每周平均体育锻炼时间不少于4h的人数的频率为0.75，所以在300名学生中每周平均体育锻炼时间不少于的人数为，又在每周平均体育锻炼时间不少于的学生中，女生有60名，所以男生有（名），可得如下列联表：
性别 体育锻炼情况 男 女 总计
每周平均体育锻炼时间少于 45 30 75
每周平均体育锻炼时间不少于 165 60 225
总计 210 90 300
由列联表可得，因为，
所以有95%的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
故答案为：95%
19．某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过______.
【标准答案】5%
【思路指引】
根据题目所给的数据填写列联表，计算的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．
【详解详析】
由题意，可得以下列联表：
集中培训 分散培训 总计
一次考试通过 45 30 75
一次考试未通过 10 20 30
总计 55 50 105
则，故认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过5%.
故答案为：5%
20．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表：
总计
15
50
总计 20 45 65
其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附：
【标准答案】9
【思路指引】
由题意，计算，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求得的值.
【详解详析】
解：由题意知：,
则，
解得：或，
因为：且，，
综上得：，，
所以：.
故答案为：9.
【名师指路】
本题考查独立性检验的应用问题.
三、解答题
21．庞大集团拥有数十万员工，年龄在25周岁以下的占40%.调研部为研究员工的日平均生产量是否与年龄有关，按“25周岁以下组”和“25周岁以上组（含25周岁）”，用分层抽样的方法抽取了100人的样本进行调研.将两组员工的日平均生产件数分成5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，设其中为“25周岁以下组”的人数为X，求X的分布列；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”.调研部想通过独立性检验的方法来研究“工人的年龄”与“是否是生产能手”是否有关.请完成下列2×2列联表.
生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上组 60
25周岁以下组 40
合计 30 70 100
(3)调研部利用上表求得K2≈1.79.从而得出结论：某员工所属年龄组与是否为生产能手无关，可视为独立事件进行研究.已知庞大集团所有员工中，生产能手占30%，现从庞大集团所有员工中随机抽取2人，设其中为25周岁以下组的生产能手的人数为Y，求Y的期望和方差.
【标准答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)期望，方差
【思路指引】
（1）由分层抽样，结合频率分布直方图得日平均生产件数不足60件的人中，25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，再根据超几何分布求解即可；
（2）根据频率分布直方图计算数据，完善列联表；
（3）由题知，从集团随机抽取1人为25周岁以下组的生产能手的概率是，进而结合二项分布的求解即可.
(1)
解：由分层抽样得样本中“25周岁以下组”和“25周岁以上组（含25周岁）”人数分别为40和60.
则其中日平均生产件数不足60件的人中，25周岁以上组有人周岁以下组有（人），
所以的可能取值为，
所以，
故的分布列为：
0 1 2
(2)
解：由频率分布直方图得25周岁以上组生产能手有人，25周岁以下组生产能手有人，故填表如下：
生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
(3)
从集团随机抽取1人，设事件为“此人在25周岁以下组”，事件为“此人是生产能手”，由条件知，且独立，得，
因庞大集团拥有员工数十万，从中抽取2人的实验可视为重复独立实验，
故，数学期望，方差.
22．心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表所示.
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？
(2)现从选择做几何题的8名女同学（包含甲 乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲 乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
.
【标准答案】(1)有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【思路指引】
（1）根据列联表求出卡方值即可判断；
（2）可得X的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得出分布列即可求出期望.
(1)
由题意得
所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关.
(2)
在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2名，抽取的方法有种，
其中甲 乙2名女同学都没有被抽到的抽取方法有种；恰有1名被抽到的抽
取方法有种；2名女同学都被抽到的抽取方法有种.
所以X的所有可能取值为0，1，2，
，，.
X的分布列为
X 0 1 2
P
所以.
23．为了解当代中学生喜欢文科 理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文 理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题一分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为"文科意向"学生，低于60分的被称为"理科意向"学生.
理科方向 文科方向 总计
男 110
女 50
总计
(1)根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有的把握认为是否为"文科意向"与性别有关？
(2)将频率视为概率，现按照性别用分层抽样的方法从"文科意向"学生中抽取8人作进一步调查，校园电视台再从该8人中随机抽取2人进行电视采访，求恰好有1名男生 1名女生被采访的概率.参考公式：，其中参考临界值：
【标准答案】(1)表格见解析，与性别有关
(2)
【思路指引】
（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；
（2）由分层抽样可知抽取3男5女，列出所有基本事件，由古典概型求解即可.
(1)
由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为
理科意向 文科意向 合计
男 80 30 110
女 40 50 90
合计 120 80 200
，所以有的把握认为“文科意向”与性别有关.
(2)
将频率视为概率，用分层抽样的方法从“文科意向”学生中抽取8人作进一步调查，则抽取的8人中有3名男生 5名女生，3名男生分别记为名女生分别记为，从中随机选取2人，所有情况为，
，
，共28种，
记“恰好有1名男生 1名女生”为事件，则其包含的情况为，
，共15种.
故恰好有1名男生 1名女生被采访的概率是.
24．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康 解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：
男生 女生 总计
90分钟以上 80 x 180
90分钟以下 y z 220
总计 160 240 400
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？
(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【标准答案】(1)，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关
(2)
(1)
由可得：；由可得：；
由可得：；所以列联表如下：
男生 女生 合计
90分钟以上 80 100 180
90分钟以下 80 140 220
合计 160 240 400
，
所以根据表格数据可判断，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．
(2)
抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，
男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；
所以所求概率
25．为了解社区居民的业余活动，某社区对100名居民业余活动是参加文艺活动还是参加体育活动进行问卷调查，数据如下表所示：
文艺活动 体育活动
男性 10 40
女性 30 20
(1)是否有99.9%的把握认为参加文艺活动还是体育活动与性别有关？
(2)用频率估计概率，从社区全体居民中随机抽取3人，记X是所抽3人中参加文艺活动的人数，求随机变量X的分布列与期望．
附：
0.025 0.010 0.005 0.001
k 5.024 6.635 7.879 10.828
【标准答案】(1)答案见解析
(2)分布列见解析，
【思路指引】
（1）依题意进行数据分析，完成列联表，计算，对照参数即可判断；
（2）判断出X服从二项分布，即可求出分布列即数学期望.
(1)
依题意，列联表如下，
文艺活动 体育活动 合计
男性 10 40 50
女性 30 20 50
合计 40 60 100
所以，
所以有99.9%的把握认为参加文艺活动或体育活动与性别有关．
(2)
依题意，居民中参加文艺活动的概率为，其中X服从二项分布，
所以，
，
，
．
其分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以．
