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2022春学期3月份自主检测
九年级数学试题
卷面总分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列实数中，是无理数的是 （ ）
A． B． C． D．
2．计算a3÷(﹣a)的结果是 （ ）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
3．我国冬奥会于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是 （ ）
A．①② B．①③ C．② D．②④
4．如图，下列图形从正面看是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
5．国家卫健委表示，重点人群新冠病毒疫苗接种工作顺利推进，截至2021年2月9日24时，全国累计报告接种4052万剂次．将数字4052万用科学记数法表示为 （ ）
A．0.4052×104 B．4.052×103 C．4.052×106 D．4.052×107
6．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，则∠2的度数等于 （ ）
A．50° B．30° C．20° D．15°
7．已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．，
8．如图，在矩形中，，，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
第6题图 第8题图
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．已知数据a，b，c的平均数为8，那么数据，，的平均数是____________．
10．因式分解：1-2a+a2=________．
11．若正多边形的一个内角是120°，则该多边形的边数是______．
12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为_____．
13．如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是______．
第12题图 第13题图 第14题图 第16题图
14．如图，半径为3的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为40°，则图中阴影部分的面积为_______．
15．某工厂现在平均每天比原计划多生产60台机器，现生产800台机器所需时间与原计划生产650台所需时间相同．设原计划每天生产x台，根据题意，可列方程为：______________________．
16．如图，点E为矩形纸片的边AB上一点，小华将△ADE沿着DE折叠至△A′DE，线段DE、射线DA′分别与线段AC交于M、N，在折叠过程中，小华发现△DMN的形状随着AE长度的变化而变化，当△DMN为直角三角形时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：（a2+4a）÷（﹣ ），其中a是方程x2﹣3x﹣1＝0的根．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若AB=10，，求CE的长．
21．（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm．
为更好开展“课后延时”服务，某校抽取了部分九年级学生，就课后活动项目进行调查．学校根据学生前期统计给出了如下四个选项：“球类”、“棋类”、“计算机信息类”、“其他”，并将最终调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)本次调查共抽取了____名学生，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角大小为
(2)将条形统计图补充完整；
(3)已知选择类的同学有两位来自九(1)班，其余来自九(2)班，调查组准备从选类同学中任选两位做细致分析求两位同学来自同一个班级的概率．
23．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
24．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，交AB于点Q，若OP∥BC，且OP＝6，⊙O的半径为2，求BC的长．
25．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．
(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家第二周获利5160元，求m的值．
26.阅读理解：如图1，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当PM最小时，称线段PM为直线l与⊙O的“极短切线”．
【理解】
如图2，⊙A的半径为1，A（0，2），分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，则这三条切线中 是x轴与⊙A的“极短切线”，该“极短切线”的长度为 ．
【应用】
（2）如图3，⊙A的半径为1，A（0，2），直线l: y＝kx-2与⊙A的“极短切线”的长度为，求k的值．
（3）保持（2）中求得的直线l不动，将⊙A沿着y轴向下平移，若直线l与⊙A的“极短切线”的长度小于，求点A的纵坐标y的取值范围．
27．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着原点O顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1,设α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（1,2）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 ；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（1，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设α＝45°，点P是反比例函数y＝（x>0且k>0）的图象上的动点，当动点P′运动到直线y=上时，恰好有OP′=，求出k的值.
【灵活运用】
（4）如图3，设α＝90°，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是二次函数图象上的动点，过P′作直线AC的垂线段P′H，试探究P′H是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
图1 图2 图3
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九年级数学试题答案
一、选择题
1-4. A．B．C．C． 5-8 D．A．A．B
二、填空题
9．9
10．(1-a) 2
11．6
12．45°
13．70°
14．π
15．
16．或
三、解答题
17．（6分）解：原式=
18．（6分）解：解不等式，得：
解不等式，得：
所以不等式组的解集是：．
19．（5分+3分）解：原式=a（a+4）÷
=a（a+4）÷
=a（a+4）÷
=a（a+4）
=a（a-3）
=a2﹣3a，
∵a是方程x2﹣3x﹣1=0的根，
∴a2﹣3a﹣1=0，
即a2﹣3a=1，
∴原式=1．
20．（4分+4分）(1)证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC于点D，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
(2)解：过点E作EF⊥AC于F．
∵AB=10，
∴AC=10，
∵四边形ADCE是矩形，对角线AC，DE交于点O，
∴DE=AC=10，
∴OE=OC=5，
∵sin∠COE=，
∴EF=4，
∴OF==3，
∴CF=2．
∴CE==2．
21．（5分+3分）（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即为所求，
（2）∵，
∴，
∴△APE的周长＝AP+AE+PE=AP+AC=3+5=8．
22．（2分+2分+6分）(1)本次调查共抽取的人数为: (人) ，
类对应的圆心角度数为：；
(2) A类人数为：50- (23+12+ 10)=5(人) ，故补全条形统计图如图所示；
(3)将九（1）班2名学生分别记为、，九（2）班3名学生分别记为、、，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两位同学来自同一个班级的有种结果．
设两位同学来自同一个班级的事件为，
则．
23．（5分+5分）解：（1）由题知，
∴．
（2）由图知的一个根为1，
∴，∴，
即一元二次方程为，
解得，，
∴一元二次方程的解为，．
24．（5分+5分）（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴
25．（4分+6分）(1)解：设雪容融的进价为元，则冰墩墩的进价为元，
由题意得：，
解得：，
答：雪容融的进价为元，冰墩墩的进价为元；
(2)解：根据题意得：
，
，
，
解得：或（舍去），
答：．
（4分+4分+4分）（1）OP；
-6＜y＜-4或0＜y＜2
（2分+4分+4分+4分）（1）（2，-1）
（2）
（3）k=8
（4）P′H有最小值，是2022 春学期 3 月份课堂练习
九年级数学试题答案
一、选择题
1-4. A．B．C．C． 5-8 D．A．A．B
二、填空题
9．9
10．(1-a) 2
11．6
12．45°
13．70°
14．π
800 = 650
15． x 60 x
16
16． 或 4 13 12
3
三、解答题
1
17．（6分）解：原式=2 ( 3 1) 2 4 3
2
18．（6分）解：解不等式 x 3 x 2 4，得： x 1
3x 1
解不等式 1 x，得： x 3
2
所以不等式组的解集是： x 1．
（ a 3） a 3 1
19．（5分+3分）解：原式=a（a+4）÷ 2
a 3 a 3
a 3 1
=a（a+4）÷ a 3 a 3
a 3 1
=a（a+4）÷
a 3
a 3
=a（a+4）
a 4
=a（a-3）
=a2﹣3a，
∵a是方程 x2﹣3x﹣1=0的根，
1
∴a2﹣3a﹣1=0，
即 a2﹣3a=1，
∴原式=1．
20．（4分+4分）(1)证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形 ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，点 D是 BC边的中点，
∴AD⊥BC于点 D，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形 ADCE是矩形；
(2)解：过点 E作 EF⊥AC于 F．
∵AB=10，
∴AC=10，
∵四边形 ADCE是矩形，对角线 AC，DE交于点 O，
∴DE=AC=10，
∴OE=OC=5，
4
∵sin∠COE= ，
5
∴EF=4，
∴OF= OE2 EF 2 =3，
∴CF=2．
∴CE= CF 2 EF 2 =2 5．
21．（5分+3分）（1）作法：如图所示，
①连接 PC（用虚线），
②作 PC的垂直平分线交 AC于 E，
③标出点 E即为所求，
2
（2）∵PE CE，
∴ AE EP AC，
∴△APE的周长＝AP+AE+PE=AP+AC=3+5=8．
22．（2分+2分+6分）(1)本次调查共抽取的人数为: 12 24% 50 (人) ，
10
D类对应的圆心角度数为： 360 72 ；
50
(2) A类人数为：50- (23+12+ 10)=5(人) ，故补全条形统计图如图所示；
(3)将九（1）班 2名学生分别记为 A1、 A2，九（2）班 3名学生分别记为 B1、 B2、 B3，
画树状图如下：
由树状图可知，共有 20种等可能的结果，其中两位同学来自同一个班级的有8种结果．
设两位同学来自同一个班级的事件为A，
则 P A 8 2 ．
20 5
23．（5分+5分）解：（1）由题知 1 4m 0，
3
∴m
1
．
4
（2）由图知 x2 x m 0的一个根为 1，
∴12 1 m 0，∴m 2，
即一元二次方程为 x2 x 2 0，
解得 x1 1， x2 2，
∴一元二次方程 x2 x m 0的解为 x1 1， x2 2．
24．（5分+5分）（1）证明：连接 OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即 PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为 2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
BC AC
OB OP
∴
BC 4
3
4
25．（4分+6分）(1)解：设雪容融的进价为 x元，则冰墩墩的进价为 (x 40)元，
由题意得： 20 (x 40) 30x，
解得： x 80，
答：雪容融 1 3 的进价为80元，冰墩墩的进价为120元；y x
(2) 2 2解：根据 题意得：
(100 m 80) (140 m) (150 120) (120 0.2m) 5160，
(20 m) (140 m) 30 (120 0.2m) 5160，
(m 57) 2 4489，
解得：m 10或m 124（舍去），
答：m 10．
26．（4分+4分+4分）（1）OP；
（2） 3
（3）-6＜y＜-4或 0＜y＜2
27．（2分+4分+4分+4分）（1）（2，-1）
（2） 3
（3）k=8
（4）P′H有最小值，是 3 5
8
52022春学期3月份九年级数学答题卡（卷面总分：150分 考试时间：120分钟 ） 一．选择题（每小题3分，共24分）1 2 3 4 5 6 7 8 二．填空题（每小题3分，共24分）9._______________________ 10._______________________11._______________________ 12._______________________ 13._______________________ 14._______________________ 15._______________________ 16._______________________ 三、解答题（本大题共11小题，共102分.）17.（本题6分）计算 :18.（本题6分）解不等式组：．24.（本题10分）25.（本题10分）
19.（本题8分）（本题8分）21．（本题8分）26.（本题满分12分） 22．（本题10分）23．（本题10分）27.（本题满分14分） 图1 图2 图3 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效!
数学答题卡 第1页 共2页(
学校
班级
姓名
座位号
) 2022春学期3月份自主检测
九年级数学试题答题纸
（卷面总分：150分 考试时间：120分钟 ）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17.（本题6分）计算 :
18.（本题6分）解不等式组：
19.（本题8分）
20.（本题8分）
21.（本题8分）
22.（本题10分）
23.（本题10分）
24.21.解（本题10分）
25.（本题10分）
26. （本题满分12分）
27.（本题满分14分）
图1
图2
图3
第1页
人数
25
23
20
15
12
10
10
5
A
B
C
D
项阳
C
B
0
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