人教版数学八年级下册第十八章第三节特殊的平行四边形
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形.
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
C．对角线相互垂直且相等的四边形是菱形.
D．有一组对边平行且相等的四边形是菱形.
2．（2021九上·商河期末）如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．35
3．如图，已知□ABCD，添加下列一个条件：①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD.其中能使□ABCD成为菱形的是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
4．矩形的三个顶点坐标分别是(-2，-3)，(1，-3)，(-2，-4)，那么第四个顶点坐标是（ ）
A．(1，-4) B．(-8，-4) C．(1，-3) D．(3，-4)
5．下面性质中菱形具有而矩形没有的是（ ）
A．邻角互补 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
6．如图所示，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
7．（2021九上·太原期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
8．（2021九上·开福月考）如图，菱形ABCD的周长为16，∠A：∠B＝1：2，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·晋中期末）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
10．（2021九上·讷河期末）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．9
二、填空题
11．（2021·韶关模拟）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为 cm2．
12．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是 .
13．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE，若∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= .
14．（2021八上·江油期末）如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 ．
15．（2020七上·黄冈期末）如果长方形的周长为，它的一边长为，则另一边长为 .
16．（2021·赛罕模拟）正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都是1，若正方形绕点O转动，则这两个正方形重叠部分的面积为 ．
三、解答题
17．（2021九上·金塔期末）已知：如图， ABCD中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点，求证：四边形AMCN是矩形.
18．（2021九上·铁西期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
19．（2021九上·揭西月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
20．（2021八下·临湘期末）已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积.
21．（2021九上·秦都月考）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE， ， ，求证：四边形ABCD是正方形.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A错误；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B、C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形ABCD的边长为7，
四边形ABCD是正方形
∴四边形EFGH的面积为
故答案为：B
【分析】由题意先求出，则四边形EFGH的面积等于正方形ABCD减去四个直角三角形的面积。
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解： ①∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是矩形，错误；
③∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD为菱形，正确；
④∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，∴∴四边形ABCD是矩形，错误；
综上，正确的是①③ .
故答案为：A.
【分析】菱形的判定定理有：邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角平分对角的平行四边形是菱形；依此分别判断即可.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过 (-2，-4)，(1，-3) 两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为(1， -4)，即为第四个顶点坐标.
故答案为：A.
【分析】过 (-2，-4)，(1，-3) 两点分别作x轴、y轴的平行线，两直线交于一点，读出其交点坐标即可.
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形和矩形的邻角都互补，错误；
B、菱形和矩形的内角和都为360° ，错误；
C、菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，错误；
D、菱形的对角线互相垂直， 矩形的对角线互相不垂直， 正确；
故答案为：D.
【分析】菱形的性质有：四边相等，两组对边分别平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角；矩形的性质有：两组对边分别平行且相等，邻角互补，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，据此分别判断即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∵O为AC的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=CD=6，
∴AC===10，
∴OB=AC=5.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，结合 OE∥AB和O为AC的中点，求出OE为△ACD的中位线，则可求出CD长，从而求出AB长，然后根据勾股定理求AC长，最后根据直角三角形斜边中线的性质求OB长即可.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，AC、BD互相平分，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出BC的长，再结合即可求出AE的长。
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD交于点O，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
又∵∠DAB：∠ABC＝1：2，∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝∠DAB＝30°，
在Rt△ABO中，
∴BO＝AB＝2，
∴AO＝＝2，
∴BD＝4，AC＝4，
∴菱形的面积＝AC×BD＝8.
故答案为：D.
【分析】连接AC、BD交于点O，根据菱形的四边相等求出各边的长，根据平行线的性质，结合 ∠DAB：∠ABC＝1：2，求出∠DAB和∠ABC的度数，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出BO长，再根据勾股定理求AO，根据菱形对角线互相垂直平分则可求出BD和AC，最后计算菱形的面积即可.
9．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD=BC AE=CD AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：B
【分析】根据菱形的判定定理即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据题意，连接BN，BM，
三点共线时，DN＋MN取得最小值，
则BM就是DN＋MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，
根据勾股定理得：，
即DN＋MN的最小值是10，
故答案为：C
【分析】连接BN，BM，当B、M、N三点共线时，DN＋MN取得最小值，再利用勾股定理求出BM的长即可。
11．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形面积是6×8÷2＝24cm2；
故答案为24．
【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半求解即可。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF垂直BC于点F，
∵菱形BDCE，
∴BD=CD，
又∵∠D=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DFC=90°，BF=CF=1，即D点纵坐标为：1，
∴在Rt△DFC中，DF=，
∵正方形ABCD，BC=2，
∴OC=2，
∴D点横坐标为：OC+DF=2+，
故答案为：（2+，1）.
【分析】如图，过点D作DF垂直BC于点F，由菱形性质结合∠D=60°，可证明△BDC是等边三角形，再根据等边三角形三线合一得BF=CF=1，即D点纵坐标为：1；再利用正方形性质结合D点与O点的水平距离，即可求得D点的横坐标，即可解决问题.
13．【答案】45°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CE⊥BD，
∴∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠DCE：∠ECB=3：1，∠ECB+∠DCE=90°，
∴4∠ECB=90°，
∴∠ECB=22.5°，
∴∠OCB=∠OBC=90°-∠ECB=90°-22.5°=67.5°，
∴∠OCE=∠OCB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°，
∴∠ACE=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据矩形性质，结合CE⊥BD，可得∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，进而得∠OCB=∠OBC，由∠DCE：∠ECB=3：1，得4∠ECB=90°，即∠ECB=22.5°，求得∠OCB=67.5°，∠OCE=45°，即可解决问题.
14．【答案】52
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵∠DAF+∠ADF=∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
在△AFD和△BEA中，
，
∴△AFD≌△BEA（AAS），
∴AE=DF=12，
∴AB==13，
∴正方形的周长=4AB=52.
故答案为：52.
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB，再由余角的性质求出∠ADF=∠BAE，然后利用AAS证明△AFD≌△BEA，得出AE=DF=12，则可利用勾股定理求出AB的长，则可解答.
15．【答案】
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵长方形周长为，一边长为，
∴另一边长为：.
故答案为：a+b.
【分析】根据长方形的特点可得另一边的长为×4a-(a-b)，化简即可.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在正方形和正方形中，
， ，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
故两个正方形重合部分的面积为．
故答案为：．
【分析】先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得，即可得到答案。
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，结合中点的概念可得AM=BM，DN=CN，则可推出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质可得CM⊥AB，然后利用矩形的判定定理进行证明.
18．【答案】证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，
∵BE=BF，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用菱形的性质，再结合“SAS”证明△ADE≌△CDF，再利用全等三角形的性质可得∠DEF=∠DFE。
19．【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB.
∴CD∥AE CD＝AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB＝AC，
∴AC＝DE.
∴平行四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ADCE是平行四边形，再结合AC=DE即可证明结论。
20．【答案】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20；
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S= AC×BD=24.
综上可得菱形的周长为20、面积为24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质可得：AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，结合勾股定理可得AB，进而求得菱形的周长，由菱形的对角线互相垂直可得菱形的面积.
21．【答案】解：在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先利用AAS证明△ABE≌△CBE，得出BA=BC，结合四边形ABCD是矩形，即可证出四边形ABCD是正方形.
1 / 1人教版数学八年级下册第十八章第三节特殊的平行四边形
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形.
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
C．对角线相互垂直且相等的四边形是菱形.
D．有一组对边平行且相等的四边形是菱形.
【答案】B
【知识点】菱形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A错误；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B、C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
2．（2021九上·商河期末）如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形ABCD的边长为7，
四边形ABCD是正方形
∴四边形EFGH的面积为
故答案为：B
【分析】由题意先求出，则四边形EFGH的面积等于正方形ABCD减去四个直角三角形的面积。
3．如图，已知□ABCD，添加下列一个条件：①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD.其中能使□ABCD成为菱形的是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解： ①∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是矩形，错误；
③∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD为菱形，正确；
④∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，∴∴四边形ABCD是矩形，错误；
综上，正确的是①③ .
故答案为：A.
【分析】菱形的判定定理有：邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角平分对角的平行四边形是菱形；依此分别判断即可.
4．矩形的三个顶点坐标分别是(-2，-3)，(1，-3)，(-2，-4)，那么第四个顶点坐标是（ ）
A．(1，-4) B．(-8，-4) C．(1，-3) D．(3，-4)
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过 (-2，-4)，(1，-3) 两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为(1， -4)，即为第四个顶点坐标.
故答案为：A.
【分析】过 (-2，-4)，(1，-3) 两点分别作x轴、y轴的平行线，两直线交于一点，读出其交点坐标即可.
5．下面性质中菱形具有而矩形没有的是（ ）
A．邻角互补 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形和矩形的邻角都互补，错误；
B、菱形和矩形的内角和都为360° ，错误；
C、菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，错误；
D、菱形的对角线互相垂直， 矩形的对角线互相不垂直， 正确；
故答案为：D.
【分析】菱形的性质有：四边相等，两组对边分别平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角；矩形的性质有：两组对边分别平行且相等，邻角互补，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，据此分别判断即可.
6．如图所示，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∵O为AC的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=CD=6，
∴AC===10，
∴OB=AC=5.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，结合 OE∥AB和O为AC的中点，求出OE为△ACD的中位线，则可求出CD长，从而求出AB长，然后根据勾股定理求AC长，最后根据直角三角形斜边中线的性质求OB长即可.
7．（2021九上·太原期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，AC、BD互相平分，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出BC的长，再结合即可求出AE的长。
8．（2021九上·开福月考）如图，菱形ABCD的周长为16，∠A：∠B＝1：2，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD交于点O，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
又∵∠DAB：∠ABC＝1：2，∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝∠DAB＝30°，
在Rt△ABO中，
∴BO＝AB＝2，
∴AO＝＝2，
∴BD＝4，AC＝4，
∴菱形的面积＝AC×BD＝8.
故答案为：D.
【分析】连接AC、BD交于点O，根据菱形的四边相等求出各边的长，根据平行线的性质，结合 ∠DAB：∠ABC＝1：2，求出∠DAB和∠ABC的度数，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出BO长，再根据勾股定理求AO，根据菱形对角线互相垂直平分则可求出BD和AC，最后计算菱形的面积即可.
9．（2021九上·晋中期末）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD=BC AE=CD AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：B
【分析】根据菱形的判定定理即可得出答案。
10．（2021九上·讷河期末）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．9
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据题意，连接BN，BM，
三点共线时，DN＋MN取得最小值，
则BM就是DN＋MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，
根据勾股定理得：，
即DN＋MN的最小值是10，
故答案为：C
【分析】连接BN，BM，当B、M、N三点共线时，DN＋MN取得最小值，再利用勾股定理求出BM的长即可。
二、填空题
11．（2021·韶关模拟）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为 cm2．
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形面积是6×8÷2＝24cm2；
故答案为24．
【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半求解即可。
12．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF垂直BC于点F，
∵菱形BDCE，
∴BD=CD，
又∵∠D=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DFC=90°，BF=CF=1，即D点纵坐标为：1，
∴在Rt△DFC中，DF=，
∵正方形ABCD，BC=2，
∴OC=2，
∴D点横坐标为：OC+DF=2+，
故答案为：（2+，1）.
【分析】如图，过点D作DF垂直BC于点F，由菱形性质结合∠D=60°，可证明△BDC是等边三角形，再根据等边三角形三线合一得BF=CF=1，即D点纵坐标为：1；再利用正方形性质结合D点与O点的水平距离，即可求得D点的横坐标，即可解决问题.
13．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE，若∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= .
【答案】45°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CE⊥BD，
∴∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠DCE：∠ECB=3：1，∠ECB+∠DCE=90°，
∴4∠ECB=90°，
∴∠ECB=22.5°，
∴∠OCB=∠OBC=90°-∠ECB=90°-22.5°=67.5°，
∴∠OCE=∠OCB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°，
∴∠ACE=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据矩形性质，结合CE⊥BD，可得∠DCB=∠CEB=∠CED=90°，OC=OA=OD=OB，进而得∠OCB=∠OBC，由∠DCE：∠ECB=3：1，得4∠ECB=90°，即∠ECB=22.5°，求得∠OCB=67.5°，∠OCE=45°，即可解决问题.
14．（2021八上·江油期末）如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 ．
【答案】52
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵∠DAF+∠ADF=∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
在△AFD和△BEA中，
，
∴△AFD≌△BEA（AAS），
∴AE=DF=12，
∴AB==13，
∴正方形的周长=4AB=52.
故答案为：52.
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB，再由余角的性质求出∠ADF=∠BAE，然后利用AAS证明△AFD≌△BEA，得出AE=DF=12，则可利用勾股定理求出AB的长，则可解答.
15．（2020七上·黄冈期末）如果长方形的周长为，它的一边长为，则另一边长为 .
【答案】
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵长方形周长为，一边长为，
∴另一边长为：.
故答案为：a+b.
【分析】根据长方形的特点可得另一边的长为×4a-(a-b)，化简即可.
16．（2021·赛罕模拟）正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都是1，若正方形绕点O转动，则这两个正方形重叠部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在正方形和正方形中，
， ，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
故两个正方形重合部分的面积为．
故答案为：．
【分析】先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得，即可得到答案。
三、解答题
17．（2021九上·金塔期末）已知：如图， ABCD中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点，求证：四边形AMCN是矩形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，结合中点的概念可得AM=BM，DN=CN，则可推出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质可得CM⊥AB，然后利用矩形的判定定理进行证明.
18．（2021九上·铁西期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
【答案】证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，
∵BE=BF，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用菱形的性质，再结合“SAS”证明△ADE≌△CDF，再利用全等三角形的性质可得∠DEF=∠DFE。
19．（2021九上·揭西月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB.
∴CD∥AE CD＝AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB＝AC，
∴AC＝DE.
∴平行四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ADCE是平行四边形，再结合AC=DE即可证明结论。
20．（2021八下·临湘期末）已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积.
【答案】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20；
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S= AC×BD=24.
综上可得菱形的周长为20、面积为24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质可得：AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，结合勾股定理可得AB，进而求得菱形的周长，由菱形的对角线互相垂直可得菱形的面积.
21．（2021九上·秦都月考）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE， ， ，求证：四边形ABCD是正方形.
【答案】解：在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先利用AAS证明△ABE≌△CBE，得出BA=BC，结合四边形ABCD是矩形，即可证出四边形ABCD是正方形.
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