2021—2022学年人教版八年级数学下册17.1 勾股定理 课后培优（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年人教版八年级数学下册17.1 勾股定理 课后培优（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 766.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-19 14:11:20 | ||
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文档简介
17.1 勾股定理
一、单选题
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A． B．5 C．7 D．5或
2．如图，在中，，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，则的面积是（ ）
A．24 B．48 C．50 D．100
3．如图，在中，，，，D为AB上一动点，当时，的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
4．直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边是（ ）
A．7 B．5 C． D．或5
5．如图，小明和小华同时从A处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
7．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢顶端飞到另一棵树的树梢顶端，小鸟至少飞行了（ ）
A．8米 B．10米
C．12米 D．14米
8．在活动课上，同学们用4张图1所示的纸片拼出了两个不同的六边形（图2，图3中的空白部分），将两个六边形分割，图形Ⅰ，Ⅱ均为正方形．已知，，则CD等于（ ）
A． B． C．5 D．
9．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4cm，问吸管要做（ ）cm．
A．13 B．16 C．17 D．14.5
10．如图甲，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2＝c2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA至B1，使AB1＝OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至B2，使A1B2＝OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，…，按此规律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n为正整数），则A2B2的长及△OA2021B2021的面积分别是（ ）
A．2，22020 B．4，22021 C．2，22020 D．2，22019
11．如图所示，在长方形ABCD中，，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A． B．3 C．3.5 D．4
13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．已知长分别为14，13，9，7的四条线段可以构成梯形，则在所有可能构成的梯形中，连接梯形两腰中点的线段长度的最大值是_______．
15．如图，在中，，若，则线段的长为__．
16．已知在△ABC中，AB= 8，BC =5，∠A=30°，则△ABC的面积是_______．
17．如图，已知OA=13，点A到射线OM的距离为5，点B是射线OM上的一个动点，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为_____．
18．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为_______．
19．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是_____．
20．如图，四边形中，，，、交于点E，，若，，则________．
三、解答题
21．（1）如图①，AC平分，，若，则______．
（2）探究：如图②，四边形ABCD中，AC平分，，求证：．
（3）应用：如图③，四边形ABCD中，AC平分，，，，，求AC的长．
22．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．
(1)这架梯子的顶端离地面有多高？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．
23．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）
25．如图，一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树AD的高度，他从工作人员处了解到绳子AB的长为13米，AC的长为20米，然后用米尺测得B、C之间的距离为21米，已知B、C、D在一条直线上，AD⊥BC，求大树的高AD．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为＝5．
故选：B．
2．C
解：如图，过点作，则
，，
，
相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，
中，
．
故选C
3．C
解：在中，，，，
的周长为
故选C
4．D
解：当3和4为这个直角三角形的两直角边长时，则有第三边长为；
当3为一条直角边长，4为斜边时，则第三边长为；
故选D．
5．D
解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，
，，
∴，
即20s后他们之间的距离为．
故选：D
6．B
解：∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
∴AD=BD=10 cm，∠DBA=∠BAD=15°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=AD=5（cm），
CD=（cm）．
故选：B
7．B
解：如图，
设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，
在Rt△AEC中，AC= =10m，
故选：B．
8．D
解：如图，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥CF，交CF的延长线于H，
∵，
∴，
由图2，可知：，
∵，
∴，
∴，
∵DG⊥EF，DH⊥FH，GF⊥FH，
∴四边形DGFH是矩形，
∴，
∴，
故选：D．
9．C
解：如图，杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：AC==13（cm）；
故吸管的长度最少要：13+4=17（cm）．
故选：C．
10．A
解：∵△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝1，
∵AB1＝OA，
∴OB1＝2，
∴A1B1＝OA1＝OB1＝，
∵A1B2＝OA1，
∴OB2＝2，
∴A2B2＝OA2＝OB2＝2＝（）2，
∵A2B3＝OA2，
∴OB3＝4，
∴A3B3＝OA3＝OB3＝2＝（）3，
∴A2021B2021＝（）2021，
∴△OA2021B2021的面积＝ ×（）2021×（）2021＝22020．
故选：A．
11．C
解：设CE长为x，，，
∵翻折为，
∴，
∴，，
根据勾股定理可得：
，
∴，
∴，
∴在中，
，
，
解得：，
∴CE长为．
故选：C．
12．B
解：∵BC＝5，AC＝ ＝5，
∴S△ABC＝×BC×3＝×AC×BD，
∴BD＝3，
故选：B．
13．A
记载于《周髀算经》，
故选A．
14．10.5
解：当这个梯形的上底和下底分别为7和9时，则如图所示：
过点A、C分别作AF⊥BC，CE⊥AD，
由题意得：AD∥BC，AD=7，BC=9，AB=14，CD=13，
∴AF=CE，AE=CF，
设AE=CF=x，则有DE=7-x，BF=9-x，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴此情况符合题意，则取AB、CD的中点M、N，
∴；
当这个梯形的上底和下底分别为7和13时，则AB=14，CD=9，如图所示：
同理可得：，
解得：，
∴此种情况符合题意，即；
当这个梯形的上底和下底分别为7和14时，则AB=13，CD=9，如图所示：
同理可得：，
解得：，
∴此种情况符合题意，即；
当这个梯形的上底和下底分别为9和13时，则AB=14，CD=7，如图所示：
同理可得：，
解得：，
∴此种情况不符合题意；
当这个梯形的上底和下底分别为9和14时，则AB=13，CD=7，同理可知也不符合题意；
当这个梯形的上底和下底分别为14和13时，则AB=9，CD=7，同理可知也是不符合题意；
∴综上所述：当以这四条边作为梯形的边长，两腰的中线最大值为10.5；
故答案为10.5．
15．
解：，
，
，
，
故答案为：．
16．##或
过点B作于点D
①当高BD在外部时，
在中，，AB= 8，∠A=30°
由勾股定理得
在中，BC =5
由勾股定理得
②当高BD在内部时，
在中，，AB= 8，∠A=30°
由勾股定理得
在中， =5
由勾股定理得
综上，△ABC的面积是．
故答案为：．
17．24或13或
解：过A作AN⊥OM于N，则AN=5，
∴ON=，
当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：
①当OA=AB时，如图1所示：
∵AN⊥OM，
∴ON=BN=12，
∴OB=2ON=2×12=24；
②OA=OB时，如图2所示：
OB=13；
③OB=AB时，如图3所示：
设OB=AB=x，则BN=ON-OB=12-x，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AN2+BN2=AB2，
即52+（12-x）2=x2，
解得：x=，
∴OB=；
综上所述，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为24或13或，
故答案为：24或13或．
18．或5##5或
解：∵|m﹣3|+ ＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝4，
∵m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
①当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到x＝，
②当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：x＝＝5．
则Rt△ABC的第三边长为或5．
故答案为：或5．
19．11≤a≤12
当筷子与杯底垂直时a最大，a最大＝24﹣12＝12，
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时，
因此a的最小值为：a最小＝24﹣13＝11，
所以a的取值范围是：11≤a≤12．
故答案是：11≤a≤12．
20．
解：如图所示，在BD上取一点F，使得BF=BC，设∠ADB=x，则∠DBC=2x，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴CE=DE，
在△ACD和△FDC中，
，
∴△ACD≌△FDC（ASA），
∴AC=FD，
设，则，
∵，
∴，
解得（负值已经舍去），
∴BC=3，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．（1）5；（2）证明见详解；（3）5；
解：（1），
∵AC平分，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴CB=CD=5；
故BC的长为：5．
（2）如下图：过C作CE⊥AB于E，过C作CF⊥AD延长线于F；
∵∠B＋∠ADC=180°，A，D，F三点共线，
∴∠B=∠CDF，
由（1）问结论：CE=CF，
∵∠CEB=∠CFD=90°，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴DC=BC．
（3）如下图：过点C分别作CM⊥AB于M，CN⊥AD延长线于N；
由（1）问结论：CM=CN，
△CMB中∠B=45°，∠CMB=90°，
∴∠BCM=45°，
∴△CMB是等腰直角三角形，
∴CM=3，
△CDN中∠CDN=180°-∠ADC=45°，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∴DN=CN=CM=3，
△CAN中∠CAN=90°，
AN=AD＋DN=4，
由勾股定理
∴AC==5，
故AC的长为：5
22．(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；
(2)此时使用不安全
(1)
解：由题意可知
在中，，，，
∴由勾股定理可得，，
即，
∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；
(2)
解：如图所示，，则在中，，，
∴由勾股定理可得，，
∴可得，
∴此时使用不安全．
．
23．13cm
解：将台阶展开，如下图，
根据题意得：AC=3×3+1×3=12cm，BC=5cm，∠C=90°，
∴，
即蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线13cm．
24．证明见解析
证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2．
25．大树的高为12米
解：设BD=x米，则CD=BC-BD=（21-x）米，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴，
∴，
解得，
∴BD=5米，
∴米，
答：大树的高为12米．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A． B．5 C．7 D．5或
2．如图，在中，，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，则的面积是（ ）
A．24 B．48 C．50 D．100
3．如图，在中，，，，D为AB上一动点，当时，的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
4．直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边是（ ）
A．7 B．5 C． D．或5
5．如图，小明和小华同时从A处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
7．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢顶端飞到另一棵树的树梢顶端，小鸟至少飞行了（ ）
A．8米 B．10米
C．12米 D．14米
8．在活动课上，同学们用4张图1所示的纸片拼出了两个不同的六边形（图2，图3中的空白部分），将两个六边形分割，图形Ⅰ，Ⅱ均为正方形．已知，，则CD等于（ ）
A． B． C．5 D．
9．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4cm，问吸管要做（ ）cm．
A．13 B．16 C．17 D．14.5
10．如图甲，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2＝c2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA至B1，使AB1＝OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至B2，使A1B2＝OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，…，按此规律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n为正整数），则A2B2的长及△OA2021B2021的面积分别是（ ）
A．2，22020 B．4，22021 C．2，22020 D．2，22019
11．如图所示，在长方形ABCD中，，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A． B．3 C．3.5 D．4
13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．已知长分别为14，13，9，7的四条线段可以构成梯形，则在所有可能构成的梯形中，连接梯形两腰中点的线段长度的最大值是_______．
15．如图，在中，，若，则线段的长为__．
16．已知在△ABC中，AB= 8，BC =5，∠A=30°，则△ABC的面积是_______．
17．如图，已知OA=13，点A到射线OM的距离为5，点B是射线OM上的一个动点，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为_____．
18．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为_______．
19．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是_____．
20．如图，四边形中，，，、交于点E，，若，，则________．
三、解答题
21．（1）如图①，AC平分，，若，则______．
（2）探究：如图②，四边形ABCD中，AC平分，，求证：．
（3）应用：如图③，四边形ABCD中，AC平分，，，，，求AC的长．
22．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．
(1)这架梯子的顶端离地面有多高？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．
23．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）
25．如图，一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树AD的高度，他从工作人员处了解到绳子AB的长为13米，AC的长为20米，然后用米尺测得B、C之间的距离为21米，已知B、C、D在一条直线上，AD⊥BC，求大树的高AD．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为＝5．
故选：B．
2．C
解：如图，过点作，则
，，
，
相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，
中，
．
故选C
3．C
解：在中，，，，
的周长为
故选C
4．D
解：当3和4为这个直角三角形的两直角边长时，则有第三边长为；
当3为一条直角边长，4为斜边时，则第三边长为；
故选D．
5．D
解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，
，，
∴，
即20s后他们之间的距离为．
故选：D
6．B
解：∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
∴AD=BD=10 cm，∠DBA=∠BAD=15°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=AD=5（cm），
CD=（cm）．
故选：B
7．B
解：如图，
设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，
在Rt△AEC中，AC= =10m，
故选：B．
8．D
解：如图，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥CF，交CF的延长线于H，
∵，
∴，
由图2，可知：，
∵，
∴，
∴，
∵DG⊥EF，DH⊥FH，GF⊥FH，
∴四边形DGFH是矩形，
∴，
∴，
故选：D．
9．C
解：如图，杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：AC==13（cm）；
故吸管的长度最少要：13+4=17（cm）．
故选：C．
10．A
解：∵△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝1，
∵AB1＝OA，
∴OB1＝2，
∴A1B1＝OA1＝OB1＝，
∵A1B2＝OA1，
∴OB2＝2，
∴A2B2＝OA2＝OB2＝2＝（）2，
∵A2B3＝OA2，
∴OB3＝4，
∴A3B3＝OA3＝OB3＝2＝（）3，
∴A2021B2021＝（）2021，
∴△OA2021B2021的面积＝ ×（）2021×（）2021＝22020．
故选：A．
11．C
解：设CE长为x，，，
∵翻折为，
∴，
∴，，
根据勾股定理可得：
，
∴，
∴，
∴在中，
，
，
解得：，
∴CE长为．
故选：C．
12．B
解：∵BC＝5，AC＝ ＝5，
∴S△ABC＝×BC×3＝×AC×BD，
∴BD＝3，
故选：B．
13．A
记载于《周髀算经》，
故选A．
14．10.5
解：当这个梯形的上底和下底分别为7和9时，则如图所示：
过点A、C分别作AF⊥BC，CE⊥AD，
由题意得：AD∥BC，AD=7，BC=9，AB=14，CD=13，
∴AF=CE，AE=CF，
设AE=CF=x，则有DE=7-x，BF=9-x，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴此情况符合题意，则取AB、CD的中点M、N，
∴；
当这个梯形的上底和下底分别为7和13时，则AB=14，CD=9，如图所示：
同理可得：，
解得：，
∴此种情况符合题意，即；
当这个梯形的上底和下底分别为7和14时，则AB=13，CD=9，如图所示：
同理可得：，
解得：，
∴此种情况符合题意，即；
当这个梯形的上底和下底分别为9和13时，则AB=14，CD=7，如图所示：
同理可得：，
解得：，
∴此种情况不符合题意；
当这个梯形的上底和下底分别为9和14时，则AB=13，CD=7，同理可知也不符合题意；
当这个梯形的上底和下底分别为14和13时，则AB=9，CD=7，同理可知也是不符合题意；
∴综上所述：当以这四条边作为梯形的边长，两腰的中线最大值为10.5；
故答案为10.5．
15．
解：，
，
，
，
故答案为：．
16．##或
过点B作于点D
①当高BD在外部时，
在中，，AB= 8，∠A=30°
由勾股定理得
在中，BC =5
由勾股定理得
②当高BD在内部时，
在中，，AB= 8，∠A=30°
由勾股定理得
在中， =5
由勾股定理得
综上，△ABC的面积是．
故答案为：．
17．24或13或
解：过A作AN⊥OM于N，则AN=5，
∴ON=，
当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：
①当OA=AB时，如图1所示：
∵AN⊥OM，
∴ON=BN=12，
∴OB=2ON=2×12=24；
②OA=OB时，如图2所示：
OB=13；
③OB=AB时，如图3所示：
设OB=AB=x，则BN=ON-OB=12-x，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AN2+BN2=AB2，
即52+（12-x）2=x2，
解得：x=，
∴OB=；
综上所述，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为24或13或，
故答案为：24或13或．
18．或5##5或
解：∵|m﹣3|+ ＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝4，
∵m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
①当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到x＝，
②当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：x＝＝5．
则Rt△ABC的第三边长为或5．
故答案为：或5．
19．11≤a≤12
当筷子与杯底垂直时a最大，a最大＝24﹣12＝12，
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时，
因此a的最小值为：a最小＝24﹣13＝11，
所以a的取值范围是：11≤a≤12．
故答案是：11≤a≤12．
20．
解：如图所示，在BD上取一点F，使得BF=BC，设∠ADB=x，则∠DBC=2x，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴CE=DE，
在△ACD和△FDC中，
，
∴△ACD≌△FDC（ASA），
∴AC=FD，
设，则，
∵，
∴，
解得（负值已经舍去），
∴BC=3，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．（1）5；（2）证明见详解；（3）5；
解：（1），
∵AC平分，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴CB=CD=5；
故BC的长为：5．
（2）如下图：过C作CE⊥AB于E，过C作CF⊥AD延长线于F；
∵∠B＋∠ADC=180°，A，D，F三点共线，
∴∠B=∠CDF，
由（1）问结论：CE=CF，
∵∠CEB=∠CFD=90°，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴DC=BC．
（3）如下图：过点C分别作CM⊥AB于M，CN⊥AD延长线于N；
由（1）问结论：CM=CN，
△CMB中∠B=45°，∠CMB=90°，
∴∠BCM=45°，
∴△CMB是等腰直角三角形，
∴CM=3，
△CDN中∠CDN=180°-∠ADC=45°，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∴DN=CN=CM=3，
△CAN中∠CAN=90°，
AN=AD＋DN=4，
由勾股定理
∴AC==5，
故AC的长为：5
22．(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；
(2)此时使用不安全
(1)
解：由题意可知
在中，，，，
∴由勾股定理可得，，
即，
∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；
(2)
解：如图所示，，则在中，，，
∴由勾股定理可得，，
∴可得，
∴此时使用不安全．
．
23．13cm
解：将台阶展开，如下图，
根据题意得：AC=3×3+1×3=12cm，BC=5cm，∠C=90°，
∴，
即蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线13cm．
24．证明见解析
证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2．
25．大树的高为12米
解：设BD=x米，则CD=BC-BD=（21-x）米，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴，
∴，
解得，
∴BD=5米，
∴米，
答：大树的高为12米．
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