第3章一元一次方程复习学案

一元一次方程知识点复习
知识点一：一元一次方程的概念
只含有 个未知数，并且未知数的次数都是 的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形是：　　　　　　　　　　　　　　　　　
请你注意：一元一次方程必须满足的3个条件：
（1） ；（2） （3） 缺一不可。
例1下列各式中，是方程的是（ ）
A． x + 3 B． x – 2 > 0
C．2x + 7 = 3 D．2 + 3 = 5
在下列方程中哪些是一元一次方程（ ）
（1）3x+5=12； （2） + =5； （3）2x+y=3；
（4）y2+5y－6=0； （5） = 2, (6) x+2＞2
【变式1】已知： 是一元一次方程，求n的值。
【变式2】关于x的方程(2k -1)x2 -(2k + 1)x + 3 = 0是一元一次方程, 则k值为
知识点二：方程的解
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的　　　　。
判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否 。
例2
例3、若x＝－3是方程x＋a＝4的解，则a的值是 .
【变式1】y=1是方程的解，求关于x的方程的解
【变式2】方程与的解相同，则的值等于（ ）
例4、写一个根为 的一元一次方程是 。
练习：1、已知方程 ax=3-2x的解是x=2 ,则 a= 。

知识点三：等式的性质（方程变形——解方程的重要依据）
（一）等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）
等式的性质1： 。即： 。
等式的性质2： 。即： 。
（二）分数的基本的性质:
分数的分子、分母同时 的数，分数的值不变。即： （其中m≠0）
注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 ，
如方程：－=1.6，将其化为： － =1.6。方程的右边没有变化，
这要与“去分母”区别开。
例5、下列等式变形正确的是( )
A.若,则 B. 若,则
C.若,则 D. 若,则
练习：
1、若,下列变形不一定正确的是( )
A. B. C. D.
2、运用等式性质进行的变形,正确的是( )
A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果,那么a=b;
C.如果a=b,那么; D.如果a2=3a,那么a=3
3、把方程变形为，这种变形叫 ，根据是 。
知识点四：解一元一次方程的一般步骤

（一）解一元一次方程的基本思路：
通过对方程变形，把含有 的项归到方程的一边，把
归到方程的另一边，最终把方程“转化”成 的形式。
（二）解一元一次方程的一般步骤是：
变形名称
具体做法
变形依据
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号

注意变号，防止漏乘；
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住：移项要变号)

移项要变号，
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式

计算要仔细，不要出差错；
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝

计算要仔细，分子分母不要颠倒
例6、解方程：
例7、解方程：
练习：解方程。
1、 2、 3、
4、 5、 6、

知识点五：解方程简单应用
若代数式的值是1,则k = _________.
当x = ________时,代数式与的值相等.
若4a-9与3a-5互为相反数, 则a2 - 2a + 1的值为_________.
当x= 时，式子与互为相反数。
解方程：
　解：去分母，得……①
　　 即 ……②
移项，得 ……③
合并同类项，得 ……④
∴ ……⑤
上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。如果上述解方程有错误，请你给出正确的解题过程：
小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是 ，怎么办呢?小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是.很快补好了这个常数，这个常数应是（　 ） A．1 B．2 C．3 D．4
当x＝4时，代数式 A＝ax2－4x－6a的值是－1，那么当x＝－5 时，A的值是多少？
知识点六：列一元一次方程解应用题的一般步骤:
常见的一些等量关系
类型
基本数量关系
等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题
变形前后体积相等
(3)行程问题
相遇问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及问题
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
(4)劳力调配问题
从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
各部分工作量之和＝1
(6)利润率问题
商品利润＝
商品利润率＝ ×100％
售价＝进价×(1＋利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这
个两位数可表示为
抓住数字所在的位置，新数与原数之间的关系
(8)储蓄问题
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)
(9)按比例分配问题
甲∶乙∶丙＝a∶b∶c
全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题
日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大 ；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大 。
日历中的数a的取值范围是__________，且都是正整数
◎题型一：和、差、倍、分问题
（1）某人买了甲、乙两种练习薄共30本，付了25元，找回5.5元，已知甲练习薄每本7角，乙种练习薄每本6角，那么他买了甲种练习薄__________本
（2）甲比乙大15岁。5年前，甲的年龄是乙的年龄2倍，则乙现在的年龄是 （ ）
A、10岁 B、15岁 C、20岁 D、30岁
（3）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我校向灾区人民捐款12400元，其中八年级捐款数比七年级捐款数多400元，九年级捐款数是七年级捐款数的2倍少800元。问：三个年级各捐款多少元？
◎题型二：等积变形问题
例1、 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为 内高为
81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数）
（1）在一只底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？
◎题型三：行程问题
（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。
　　（2）基本类型有
　　　　① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
分析方法辅助手段： 线段图分析法、列表分析法
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
相遇问题： 甲的路程+乙的路程＝全程
追及问题： （1）同地不同时:慢者行程＋先行路程＝快者路程
（2）同时不同地：快者路程 — 慢者行程＝间隔距离
环形跑道问题：
（1）同时同向出发：快车走的路程－慢车走的路程=环行跑道周长 (第一次相遇)
（2）同时反向出发：甲走的路程+乙走的路程=环行周长（第一次相遇）
过桥（洞）：车进洞（上桥）到出洞（下桥）的总路程=车长+洞（桥）长
例1. 某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
例2:甲乙两站间的路程为450km,一列慢车从甲站开出,每小时行驶65km;一列快车从乙站开出,每小时行驶85km.
(1)两车同时开出,相向而行,多少小时相遇?
(2)快车先开30分,两车相向而行,慢车行驶了多少小时两车相遇?
3：一队学生去校外进行军车野营训练，他们以5千米／时的速度前进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米／时的速度按原路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
4.甲乙两人在400米的环形跑道上赛跑，甲速270米/分，乙速250米/分，
（1）若两人同时同地背向跑，几分钟相遇？
（2）若同向跑，几分钟两人第一次相遇？
5.一只轮船航行于甲乙两地之间，顺水用3小时，逆水比顺水多用30分钟，已知轮船在静水中的速度是每小时26公里，求水流速度。
6、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。
7、一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?
◎题型四：劳力调配问题
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例1. 某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？
2.甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人？
3.甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
分配问题：
4.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
5.学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少学生，多少汽车？
6.小明看书若干日，若每日读书32页，尚余31页；若每日读36页，则最后一日需要读39页，才能读完，求书的页数。
◎题型五：配套问题：
例题1、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
1：某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
2：用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个。一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？
3.某部队派出一支有25人组织的小分队参加防汛抗洪斗争，若每人每小时可装泥土18袋或每2人每小时可抬泥土14袋，如何安排好人力，才能使装泥和抬泥密切配合，而正好清场干净。
4.某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？
◎题型六：工程问题
　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
?例1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
例2.有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开
乙管，5小时注满水池。
① 如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把
水池注满？
② 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三
管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？
例3.某中外合资企业，按外商要求承做一批机器，原计划13天完成，科技人员采用一种高新技术后，每天多生产10台，结果用12天，不但完成任务，而且超额了60台，问原计划承做多少台机器？
◎题型七：利润率问题
（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
（2）有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
例1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
1：一件商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%，这种商品每件标价是多少？
2：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
◎题型八：数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
例1. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数
◎题型九：日历中的问题
例1.
（1）在2006年8月的日历中(如图(1))，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是＿＿＿。
（2）现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。
①在图（2）中框出的这16个数的和是＿＿＿。
②在图(2)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
◎题型十：储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
例1. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）
分析：等量关系：本息和=本金×（1+利率）
◎题型十一：纳税问题
例27十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案
(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
税
现行征税方法
草案征税方法
月应纳税额x
税率
速算扣除数
月应纳税额x
税率
速算扣除数
1
x ≤ 500
5%
0
x ≤ 1 500
5%
0
2
50010%
25
1 50010%
▲
3
2 00015%
125
4 50020%
▲
4
5 00020%
375
9 00025%
975
5
20 00025%
1375
35 00030%
2 725
注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。
“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数。
例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2 600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：
方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5% + 1500×10% + 600×15% = 265(元)
方法二：用“月应纳税额×适用税率?速算扣除数”计算，即2600×15% ? 125 = 265(元)
(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；
(2)甲今年3月缴了个人所得税1 060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？
(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？
1、 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司制度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是（ ）
住院医疗费（元）
报销率（%）
不超过500的部分
0
超过500～1000的部分
60
超过1000～3000的部分
80
……
…
 A. 2600元 B. 2200元 C. 2575元 D. 2525元
◎题型十二：按比例分配问题
这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和＝总量。
?
例1. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？
◎题型十三：比赛积分问题：
例1.某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
1、足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：
⑴前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？
⑵这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？
⑶通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？
2、某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了___________道题。
◎题型十四：收费问题：
例题1、某航空公司规定：一名乘客最多可免费携带20kg的行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5％购买行李票，一名乘客带了35kg的行李乘机，机票连同行李票共计1323元，求这名乘客的机票价格。
例题2、根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题

方式一
方式二
月租费
30元／月
0
本地通话费
0.30元／分钟
0.40元／分钟
（1）一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？
（2)对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？
变式1：某市为鼓励市民节约用水，做出如下规定：
用水量
收费
不超过 10 m3
0.5元/m3
10 m3以上每增加 1 m3
1.00 元/m3
小明家 9月份缴水费 20元，那么他家 9月份的实际用水量是多少？
变式2：我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费. 如果某户居民今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为__________立方米.
例题3、某同学去公园春游，公园门票每人每张5元，如果购买20人以上（包括20人）的团体票，就可以享受票价的8折优惠。
（1）若这位同学他们按20人买了团体票，比按实际人数买一张5元门票共少花25元钱，求他们共多少人？
（2）他们共有多少人时，按团体票（20人）购买较省钱？（说明：不足20人，可以按20人的人数购买团体票）
◎题型十五：方案设计与成本分析：
1.我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨获利7500元。
当地一家农工商企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行细加工，每天可以加工6吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了三种可行方案。
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，来不及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天。
你认为哪种方案获利最多？为什么
2.牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若在市场上直接销售鲜奶（每天可销售8吨），每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利润1200元；制成奶片销售，每加工1吨鲜奶可获利润2000元．该厂的生产能力是：若制酸奶，每天可加工3吨鲜奶；若制奶片，每天可加工1吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．
请你帮牛奶加工厂设计一种方案，使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润．
某市剧院举办大型文艺演出，其门票价格为：一等席300元／人,二等席200元／人，三等席150元／人,某公司组织员工36人去观看,计划用5850元购买2种门票,请你帮助公司设计可能的购票方案。
4.某市的出租车计价规则如下：行程不超过3km，收起步价8元，超过部分每千米收费1.2元.某天张老师和三位学生去看望一学生，共乘了11km, 请你算一下张老师应付车费 元。
5.据《楚天都市报》消息，武汉市居民生活用水价格将进行自1999年以来的第四次调整,试行居民生活用水阶梯式计量水价.拟定城市居民用水户（户籍人口4人及以内）每月用水量在22立方米及以内的，为第一级水量基数，按调整后的居民生活用水价格收取；超过22立方米且低于30立方米（含30立方米）的部分为第二级水量基数，按调整后价格的1.5倍收取；超过30立方米的部分为第三级水量基数，按调整后价格的2倍收取.已知调整后居民生活用水价格由现行的每立方米1.51元拟上涨到1.96元.市民张先生一家三口人,他按自己家庭月均用水量计算了一下,按目前新价格,他一个月要缴纳74.48元水费.请问张先生一家月均用水量是多少立方米?和调整前比较,他家每月平均多缴纳多少元水费?
小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱．其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）
某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍。乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠。该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）。问：（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？（2）当购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车或一国营出租公司中的一家鉴定月租车合同，个体车主的收费是3元/千米，国营出租公司的月租费为2000元，另外每行驶1千米收2元，试根据行驶的路程的多少讨论用哪个公司的车比较合算？
9.某农户2000年承包荒山若干公顷，投资7800元改造后，种果树2000棵，今年水果总产量为18000kg，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b ①分别用a、b表示用两种方式出售水果的收入。
②若a=1.3元，b=1.1元，且两种出售水果方式都在相同时间内售完全部水果，请通过计算说明，选择哪种出售方式较好？
10.育才中学需要添置某种教学仪器, 方案1: 到商家购买, 每件需要8元; 方案2: 学校自己制作, 每件4元, 另外需要制作工具的月租费120元, 设需要仪器x件.
(1)试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用; (2)当所需仪器为多少件时, 两种方案所需费用一样多? （3）当所需仪器为多少件时, 选择哪种方案所需费用较少? 说明理由.
11.某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟, 再付话费0.3元； 乙种使用者不缴月租费, 每通话1分钟, 付话费0.6元。若一个月内通话时间为x分钟, 甲、乙两种的费用分别为y1和y2元。
(1)、试求一个人要打电话30分钟,他应该选择那种通信业务?
（2）、根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？
某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游，甲旅行社说“如果校长买一张票，则其余学生可享受半价优惠”，乙旅行社说“包括校长在内全部按票价的6折优惠”（即按票的60%收费）。现在全票价为240元，学生数为5人，请算一下哪家旅行社优惠？你喜欢哪家旅行社？如果是一位校长，两名学生呢？
13.据电力部门统计，每天8︰00至21︰00是用点高峰期，简称“峰时”，21︰00至次日8︰00是用电低谷期，简称“谷时”。为了缓解供电需求紧张的矛盾，我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：
时间
换表前
换表后
峰时（8︰00—21︰00）
谷时（21︰00—8︰00）
每度0.55元
每度0.30元
小明家对换表后最初使用的95度电进行测算，经测算比换表前使用95度电节约了5.9元，问小明家使用“峰时” 电和“谷时” 电分别是多少度？
14.小明想在两种灯中选购一种，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价50元，另一种是100瓦（即0.1千瓦）的白炽灯，售价5元，两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时内）节能灯售价高，但较省电，白炽灯售价低，但用电多，电费0.5元/千瓦·时
（1）照明时间500小时选哪一种灯省钱？（2）照明时间1500小时选哪一种灯省钱？
（3）照明多少时间用两种灯费用相等？
题型十六： 设辅助未知数：
1.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的,若提前购票,则给予不同程度的优惠.在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的,零售票每张16元,共售出零售票的一半,如果在六月份内,团体票按16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
题型十七：古典数学：
1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。
2.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
题型十八：浓度问题：
1.有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水______________千克。
某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50％的硫酸多少千克？
2.今需将浓度为80％和15％的两种农药配制成浓度为20％的农药4千克，问两种农药应各取多少千克？
3.甲、乙两块合金，含银和铜的比分别是甲为4：3，乙为7：9，今从两块合金中各取多少千克，能得到含银84千克、含铜82千克的新合金？
4.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，两种合金应各取多少？