安徽省六安市商业干校2013届高三12月月考数学（文）试题

六安市商业干校2013届高三12月月考数学（文）试题
分值:150分 时量:120分钟
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.
1.已知,且在第二象限,则( )
A． B． C． D．
2.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.在中,是的中点,,点在上,且满足,则(　　)
A． B． C． D．
4．下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是
A. B. C. D.
5.抛物线的的中心在原点,焦点与双曲线的右焦点重合,则抛物线的方程为( )
A． B． C． D．
6.若在区域内任取一点,则点落在单位圆内的概率为( )
A． B． C． D．
7.已知两圆和都经过点,则同时经过点和点的直线方程为 ( )
A． B． C． D．
8.若.当时,.若在区间内,有两个零点,则实数 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上.
(一)选做题(请在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)
9.(优选法和实验设计初步选做题)某化工厂准备对一化工产品进行技术改造,决定优选加工温度,假定最佳温度在到之间.现用分数法进行优选,则第二个试点的温度为 0C.
10.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点,动点在曲线上移动,当线段最短时,点的极径为 .
(二)必做题(11?16题)
11.是虚数单位,若,则乘积的值是 .
12.已知,由不等式,…,启发我们可以得出推广结论:,则 .
13.某几何体的直观图如图所示,则该几何体的侧视图的面积为 .
14.已知数列是以3为公差的等差数列,是其前项的和,若是数
列中的唯一最小项,则数列的首项的取值范围是 .
15.已知,且,则的最小值为
16.对于三次函数,定义:设是函数的导数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现作为条件.
(1)函数的对称中心为
(2)若函数,则 .
三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在中,角的对边分别是,设向量,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)求的取值范围.
18.(本小题满分12分)
学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试,初步确定了文科生中有资格的学生40人,其中男生10名,女生30名,决定按照分层抽样的方法选出一个4人小组进行培训.
(Ⅰ)求40人中某同学被选到培训小组的概率,并求出培训小组中男、女同学的人数;
(Ⅱ)经过一个月的培训,小组决定选出两名同学进行模拟面试,方法是先从小组里选出一名同学面试,该同学面试后,再从小组内剩下的同学中选一名同学面试,求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率;.
(Ⅲ)面试时,每个同学回答难度相当的5个问题并评分,第一个同学得到的面试分数分别为?68,70,71,72,74第二个同学得到的分数分别为69,70,70,72,74.请问哪位同学的成绩更稳定?并说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰三角形,,平面平面,点在上,且平面.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
20.(本小题满分13分)
祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商到大陆投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元.设表示前年的纯收入(=前年的总收入－前年的总支出－投资额)
(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?
(Ⅱ)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案最合算?
21.(本小题满分13分)
已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点,其准线与轴交于点.
(Ⅰ)写出抛物线的焦点坐标及准线方程;
(Ⅱ)求证:平分;
(Ⅲ)为坐标原点,直线分别交准线于点,求的最小值.
22.(本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)当时,在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)如果函数在公共定义域上,满足那么就称为的“伴随函数”.已知函数.若在区间上,函数是的“伴随函数”,求的取值范围.
参考答案
一、选择题:A A A ;D B A D
7.【解】因为两圆都经过点,所以,故点和点均在直线
上,所求直线方程为,故选A.
8.【解】依题意有,当时,有,所以
也所以,,作出图像如右,
显然当时符合题意,故选D.
二、填空题:9. 68 ; 10.; 11. -2 ; 12.; 13. 5a2 ; 14. (-30,-27); 15;
16.(1) (1,1) ; (2) 2012 .
10.【解】如图,将点及曲线化为直角坐标下的点、曲线方程分别为
易知圆心坐标为,显然为等腰直角三角形,
由圆的平面几何性质,最短时,当且仅当三点
共线时,故此时
所以.
14.【解】由等差数列前和公式知,其对应图像是开口向上抛物线的上一系列点,其对称为,由题知, 解得.
15.【解】由题知,所以
所以所以即求.
16.【解】(1)由所以,得,所以对称中心为
(2)令,则,所以得,,又
所以关于点中心对称,又函数关于点中心对称,
所以也会关于点中心对称,即
所以……①
……②
故,
即.
三、解答题
17.【解】(Ⅰ)由得,
根据正弦定理知,,即.
由于
所以或,
又,故,所以所以.………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
又显然,所以
也所以,即
即的取值范围是.……………………………………………………………12分
18.【解】(Ⅰ),某同学被选到的概率为;………………………………………2分
设有名女同学,则,所以,
所以男、女同学人数分别为1,3. ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)把3名女同学和1名男同学分别记为1,2,3,4(男),则选取两名同学的基本事件如表所示,
显然所有基本事件数有12,其中有一名男同学的有6种,
所以事件{选出的两名同学中恰有一名男同学}发生
的概率为.……………………………8分
(Ⅲ)由
,

所以第二个同学的成绩更稳定. ……………………………………………………………12分
19.【解】(Ⅰ)证明:因为平面,所以………………………2分
又因为平面平面,
平面平面=,所以平面,
从而,,且,所以平面,………………5分
又平面,故平面平面.…………………………6分
(Ⅱ)〖方法一〗如图,连结交于点,则点是的中点,
所以点与点到平面的距离相等.
因为平面,所以为点到平面的距离.……………8分
因为平面,所以.
又因为所以是等腰直角三角形,
因为,所以,………………………………………9分
又在中,,所以.
故点到平面的距离是.……………………………………………………………12分
〖方法二〗过作,垂足为,因为平面平面,所以平面.
因为平面,所以.
又因为所以是等腰直角三角形,从而为的中点,
又,所以.……………………………………………8分
因为平面,所以
又…………………………………………10分
设点到平面的距离为,因为,则
所以
故点到平面的距离是.……………………………………………………………12分
20.【解】(Ⅰ)由题知每年的经费是以12为首项,4为公差的等差数列,
则………………………………………3分
又因为获取纯利润就是要求,即,解得
故第3年开始获取纯利润.…………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)①由题知年平均利润为,当且仅当时取等号.
故此方案为经营6年时,年平均利润最大,此时再出售可共获得6×16+48=144(万美元)……9分
②,当时,.
故此方案为经营10年时,总利润和最大,此时再出售共获得128+16=144(万美元)…………12分
所以比较两种方案可知,最终获利一样,但第一种方案经营周期短,更划算,故选择第①种方案.…13分
21【解】(Ⅰ)抛物线焦点坐标为,准线方程为……………………………………………2分
(Ⅱ)设,直线方程为,
如右图所示,要证平分,只需证即可.
也即证
又由于,代入上式即证（※）…………………………4分
则由得,恒成立),
所以,所以（※）式显然成立,即证.…………………………6分
(Ⅲ)由三点共线可求出点坐标为,
同理由三点共线可求出点坐标为,……………………………………………9分
所以……………12分
当时,.……………………………………………………………………………13分
〖二法〗(Ⅱ)如图右,过点作于,
过点作于,则
一方面由平行线分线段成比例定理得
另一方面由抛物线定义得,
比较两式得,
显然,所以,也即.
所以有平分.
(Ⅲ) 设,直线方程为,则
由得,恒成立),所以,
且,于是,
即三点共线,即与点重合,同理可证与点重合,
于是
所以当时,.
22.【解】(Ⅰ)当时,…………………………………1分
所以函数在区间上为增函数,
所以…………………………………………4分
(2)在区间上,函数是的“伴随函数”,则恒成立.
令恒成立;
恒成立.
所以,故在上递增,
得……①…………………………………………8分
由①式知,所以,故在上递增,
得……②…………………………………………………………12分
由①②式知,的取值范围为.………………………………………13分
〖二法〗或者先考虑
(i)若,即时,,故在上递增,
得,即此时……①
(ii)当,即时,令,得
易知时,,时,,函数递减,
事实上,时,由于,所以
这与恒成立矛盾.故舍去.
又,故在上递增,
得……②
所以综上①②可知,的取值范围为.