第17章 一元二次方程 单元测试卷(原卷版+解析版)

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第17章 一元二次方程单元测试卷（原卷版）
【沪科版】
考试时间：120分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ）
A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1
2．(本题4分)（2022·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2＋x＋8＝0的根，则a4＋a3-8a﹣1的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．62 B．63 C．64 D．65
3．(本题4分)（2021·广东南海·九年级阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ 　 ）www.21-cn-jy.com
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣14．(本题4分)（2022·重庆潼南·九年级期末）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值是（ ）21*cnjy*com
A．3 B．1 C．1或 D．或3
5．(本题4分)（2020·广东·深圳市宝安区和平中英文实验学校九年级阶段练习）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：21*cnjy*com
①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；
②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；
③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
6．(本题4分)（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题4分)（2022·重庆黔江·九年级期末）若、是的两个根，且，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
8．(本题4分)（2021·河北赵县·九年级阶段练习）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（　　）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
9．(本题4分)（2021·山西·九年级期中）2021年是中国共产党成立100周年，山西某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动，学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又分别邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有1641人参与了传递活动，则方程列为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题4分)（2021·陕西·西安市中铁中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（　　）
A．2 B．4 C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2021·吉林朝阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为______．
12．(本题5分)（2021·四川·成都新津为明学校九年级阶段练习）代数式的最小值是_______．
13．(本题5分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，那么的值是______．
14．(本题5分)（2021·辽宁沈阳·模拟预测）某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季度的总营业额要达到9100万元．设该公司8、9两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意可列方程为_______．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2021·河南·濮阳市华龙区高级中学九年级阶段练习）解下列方程：
(1)（公式法）
(2)（配方法）
(3)
(4)．
16．(本题8分)（2022·广西博白·九年级期末）已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m的值．
17．(本题8分)（2018·山东峄城·九年级期中）化简，再求值：，其中m，n是方程的两根.
18．(本题8分)（2021·江苏东台·九年级阶段练习）某品牌童装进价每件120元、售价160元，平均每天可售出50件，为了迎接“国庆”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件．
（1）商场原来平均每天盈利 元；
（2）要想平均每天销售这种童装盈利3000元，那么每件童装应降价多少元？
19．(本题10分)（2022·江苏溧水·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
(1)求小路的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
20．(本题10分)（2022·山西襄汾·八年级期末）阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．【出处：21教育名师】
例如：
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解
①；
②
（2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数
（3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
21．(本题12分)（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）2019年我校附近某楼盘推出一种面积为100平方米的三室两厅的户型，以每平方米12000元的均价对外销售．我校张老师打算买一套自住，由于购房资金不足，张老师只好“望楼兴叹”，决定等两年再考虑买房．自2019年底出现疫情以来，商品房价格稳中略有下降，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，自2019年经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米10830元．
(1)求这一户型房价平均每年下调的百分率；
(2)进入2022年，近日张老师得知该楼盘自己两年前想买的这一户型仍有少量剩余房在售，单价较2021年的均价再次下调10%．张老师认真计算了一下，过去两年，每月固定存入相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），刚好存满2年（24个月），加上原有积蓄40万元，还可以根据个人征信情况向银行贷款50万元，可以凑齐房款，决定马上购买．请问张老师这两年每月至少固定存入多少元？【版权所有：21教育】
22．(本题12分)（2016·河北·九年级专题练习）李老师布置了两道解方程的作业题：
(1)选用合适的方法解方程：（x+1）（x+2）=6；
(2)用配方法解方程：2x2＋4x－5＝0.
以下是小明同学的作业：
(1)解：由（x+1）（x+2）=6， (2)解：由2x2＋4x－5＝0，
得x＋1＝2，x＋2＝3， 得2x2＋4x＝5，
所以x1＝1，x2＝1. x2＋2x＝，
x2＋2x＋1＝－1，
(x+1)2＝，
x＋1＝±
x1＝－1＋，x2＝－1－.
请你帮小明检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．
23．(本题14分)（2021·福建省莆田市中山中学八年级期中）同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式．小明发现像等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式．
他还发现像等神奇对称式都可以用表示．例如：，．于是小明把和称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式①，②，③，④中，属于神奇对称式的是________（填序号）；
(2)已知．
①若，则神奇对称式_________；
②若，求神奇对称式的最小值．
第17章 一元二次方程单元测试卷（解析版）
【沪科版】
考试时间：120分钟；满分：150分
题号 一 二 三 总分
得分
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ）
A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1
【答案】A
【解析】
【分析】
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】
解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0，
一次项系数、常数项分别是-5，1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．(本题4分)（2022·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2＋x＋8＝0的根，则a4＋a3-8a﹣1的值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【解析】
【分析】
把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．
【详解】
解：∵a是一元二次方程x2+x+8=0的一个根，
∴a2+a+8=0
∴a2+a=-8，
∴a4+a3+8a-1=a2（a2+a）-8a-1=-8a2-8a-1=64-1=63，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值．
3．(本题4分)（2021·广东南海·九年级阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ 　 ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣1【答案】C
【解析】
【分析】
利用表中数据得到x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，则可以判断方程x2 +12x﹣15=0时，有一个解x满足1.1【详解】
∵x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，
x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，
∴ 1.1即方程x2 +12x﹣15=0必有一个解x满足1.1故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．(本题4分)（2022·重庆潼南·九年级期末）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值是（ ）
A．3 B．1 C．1或 D．或3
【答案】A
【解析】
【分析】
把x=0代入原方程得到转化关于k的方程，然后结合二次项系数不等于0求解即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴-2k-3=0，且k+1≠0,
∴k=3．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．2-1-c-n-j-y
5．(本题4分)（2020·广东·深圳市宝安区和平中英文实验学校九年级阶段练习）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：
①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；
②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；
③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①令，，，由判别式即可判断；②若，则a、c异号，由判别式即可判断；③令得，即可判断；④取，，来进行判断即可．
【详解】
①由当，，，，方程此时没有实数根，故①错误；
②若，a、c异号，则，方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；
③令得，则方程一定有一个根为；③正确；
④当，，时，有两个不相等的根为，但方程只有一个根为1，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键．
6．(本题4分)（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．
【详解】
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．
7．(本题4分)（2022·重庆黔江·九年级期末）若、是的两个根，且，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数关系得出，由配方得，得出方程，解方程即可．
【详解】
解：∵、是的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
解得，
但b=-7时，方程为，此时，所以原方程无实数根，
故选B．
【点睛】
本题考查根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程，掌握根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程是解题关键．21·cn·jy·com
8．(本题4分)（2021·河北赵县·九年级阶段练习）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（　　）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
设x2+y2＝z，则原方程换元为z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，由此即可求解．
【详解】
解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为（z+1）（z﹣3）＝5，
整理得：z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z1＝4，z2＝﹣2，
即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝﹣2不合题意，舍去，
∴x2+y2＝4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键，注意代数式x2+y2本身的取值范围不能忘．
9．(本题4分)（2021·山西·九年级期中）2021年是中国共产党成立100周年，山西某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动，学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又分别邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有1641人参与了传递活动，则方程列为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设邀请了n个好友转发朋友圈，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有1641人参与列出方程即可．21cnjy.com
【详解】
解：由题意，得
n2+n+1=1641，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为1641人建立方程是关键．
10．(本题4分)（2021·陕西·西安市中铁中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得AB的长，设DE=x，用x表示出CD，在Rt△ACD中，利用勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝1，
∴AB=，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠BAD=45°，∴AE=DE，
设DE=x，则AE=DE=x，AD=，BE=，
在Rt△BDE中，,
∴BD=，
则CD=，
在Rt△ACD中，,
即,
，
，
，
，即，
，
∴x=，
∴x1=(舍去)，x2=，
∴点D到AB的距离是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2021·吉林朝阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为______．
【答案】-2011
【解析】
【分析】
由关于x的一元二次方程的一个根是m，可得，再由求解即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的一个根是m，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-2011．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
12．(本题5分)（2021·四川·成都新津为明学校九年级阶段练习）代数式的最小值是_______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】
利用配方法得到：．利用非负数的性质作答．
【详解】
解：因为≥0，
所以当x=1时，代数式的最小值是，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
13．(本题5分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，那么的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到a≠0且Δ=0，即b2-4a=0，即b2=4a，最后代入b2=4a计算即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴a≠0且Δ=0，
∴b2-4a=0，
∴b2=4a，
∴原式=．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
14．(本题5分)（2021·辽宁沈阳·模拟预测）某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季度的总营业额要达到9100万元．设该公司8、9两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意可列方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
分别表示出8月，9月的营业额进而得出等式即可．
【详解】
解：设该公司8、9两月的营业额的月平均增长率为．根据题意列方程得：
．
故答案是：．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，得到等量关系．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2021·河南·濮阳市华龙区高级中学九年级阶段练习）解下列方程：
(1)（公式法）
(2)（配方法）
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用公式法，即可求解；
（2）利用配方法，即可求解；
（3）利用因式分解法，即可求解；
（4）利用因式分解法，即可求解．
(1)
解：∵，
∴，
∴，
即；
(2)
解：，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
∴；
(3)
解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：；
(4)
，
整理得：，
∴，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
16．(本题8分)（2022·广西博白·九年级期末）已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)1或2
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式解答即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝1，x2＝，由已知可得出为不等于1的整数，结合m为整数即可求出m值．www-2-1-cnjy-com
(1)
由题意可知：m≠0，
∵Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2+4m+4﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∴Δ≥0，
故不论m为何值时，方程总有两个实数根；
(2)
解：由已知，得（x-1）（mx-2）=0，
∴x-1=0或mx-2=0，
∴，，
当m为整数1或2时，x2为正整数，
即方程的两个实数根都是正整数，
∴整数m的值为1或2
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与其判别式的关系、解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与其判别式的关系是解答的关键．21·世纪*教育网
17．(本题8分)（2018·山东峄城·九年级期中）化简，再求值：，其中m，n是方程的两根.
【答案】,.
【解析】
【详解】
【分析】括号内根据同分母分式加减法法则进行加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除法运算，由于m，n是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n、mn的值代入分式化简后的结果进行计算即可得.21教育名师原创作品
【详解】原式==，
因为m，n是方程的两根，
所以，mn=1，
所以，原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系，准确进行分式的混合运算是解题的关键.
18．(本题8分)（2021·江苏东台·九年级阶段练习）某品牌童装进价每件120元、售价160元，平均每天可售出50件，为了迎接“国庆”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件．
（1）商场原来平均每天盈利 元；
（2）要想平均每天销售这种童装盈利3000元，那么每件童装应降价多少元？
（3）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装销售价应定为多少元？
【答案】（1）2000；（2）20元；
【解析】
【分析】
（1）根据利润等于售价减进行加乘以销售量，即可求得每天盈利；
（2）设每件童装应降价x元，根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件，分别表示出降价后的利润与销量，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
【详解】
（1）依题意，
（元），
故答案为：
（2）设每件童装应降价x元，根据题意得：（160-120﹣x）（50+5x）=3000，
整理得：x2﹣30x+200=0，
即（x﹣20）（x﹣10）=0，
解得：x=20或x=10（不合题意，舍去），
答：每件童装应降价20元；
【点睛】
本题考查了配方法的应用，以及一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程方程是解答本题的关键．
19．(本题10分)（2022·江苏溧水·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．21教育网
(1)求小路的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】(1)小路的宽度是2m；
(2)每次降价的百分率为20%
【解析】
【分析】
（1）设小路的宽度为xm，根据总面积为480列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．
(1)
解：设小路的宽度为xm，根据题意，
得：（20+2x）（16+2x）=480，
整理得： x2+18x－40＝0，
解得：x1=2，x2=－20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
(2)
解：设每次降价的百分率为y，根据题意，
得：50（1－y）2=32，
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），
答：每次降价的百分率为20%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
20．(本题10分)（2022·山西襄汾·八年级期末）阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．【来源：21cnj*y.co*m】
例如：
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解
①；
②
（2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数
（3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可；
（3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．
【详解】
解：（1）①
．
②
（2）
∵
∴
∴多项式的值总是一个正数．
（3）为等边三角形．
理由如下：∵
∴
∴
∴，
∴
∴为等边三角形．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法．
21．(本题12分)（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）2019年我校附近某楼盘推出一种面积为100平方米的三室两厅的户型，以每平方米12000元的均价对外销售．我校张老师打算买一套自住，由于购房资金不足，张老师只好“望楼兴叹”，决定等两年再考虑买房．自2019年底出现疫情以来，商品房价格稳中略有下降，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，自2019年经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米10830元．
(1)求这一户型房价平均每年下调的百分率；
(2)进入2022年，近日张老师得知该楼盘自己两年前想买的这一户型仍有少量剩余房在售，单价较2021年的均价再次下调10%．张老师认真计算了一下，过去两年，每月固定存入相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），刚好存满2年（24个月），加上原有积蓄40万元，还可以根据个人征信情况向银行贷款50万元，可以凑齐房款，决定马上购买．请问张老师这两年每月至少固定存入多少元？【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】(1)
(2)3200元
【解析】
【分析】
（1）设这一户型房价平均每年下调的百分率为，根据“自2019年经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米10830元”，列出方程，即可求解；
（2）设张老师这两年每月固定存入元，则2年存款为元，根据题意，列出不等式，即可求解．
(1)
解：设这一户型房价平均每年下调的百分率为，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
∵
答：这一户型房价平均每年下调的百分率为；
(2)
解：设张老师这两年每月固定存入元，则2年存款为元，2022年的房价为每平方米元，则一套100平方米的总房价为元，
根据题意得：
，
解得：，
又∵存入的资金是100的整数倍，
∴的最小值为3200，
答：张老师这两年每月至少固定存入3200元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
22．(本题12分)（2016·河北·九年级专题练习）李老师布置了两道解方程的作业题：
(1)选用合适的方法解方程：（x+1）（x+2）=6；
(2)用配方法解方程：2x2＋4x－5＝0.
以下是小明同学的作业：
(1)解：由（x+1）（x+2）=6， (2)解：由2x2＋4x－5＝0，
得x＋1＝2，x＋2＝3， 得2x2＋4x＝5，
所以x1＝1，x2＝1. x2＋2x＝，
x2＋2x＋1＝－1，
(x+1)2＝，
x＋1＝±
x1＝－1＋，x2＝－1－.
请你帮小明检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．
【答案】(1) x1＝1，x2＝－4.(2) x1＝－1＋，x2＝－1－.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先整理方程，然后进行因式分解，再求解即可；
（2）首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
试题解析：（1）（x+1）（x+2）=6，
x2+3x+2-6=0，
即x2+3x-4=0，
∴（x+4）（x-1）=0，
∴x1=-4，x2=1；
（2）由原方程，得
2x2+4x=5，
x2+2x=，
（x+1）2=1+，即（x+1）2=．
x＋1＝±
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
23．(本题14分)（2021·福建省莆田市中山中学八年级期中）同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式．小明发现像等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式．
他还发现像等神奇对称式都可以用表示．例如：，．于是小明把和称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式①，②，③，④中，属于神奇对称式的是________（填序号）；
(2)已知．
①若，则神奇对称式_________；
②若，求神奇对称式的最小值．
【答案】(1)①，④；
(2)①；②的最小值为-2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意新定义的神奇对称式任意交换两个字母的位置，式子的值不变来判断
（2）①把 通分用mn与m+n的形式表示，然后转换成用p、q表示的代数式代入即可求出值；
②把神奇对称式转换成用p、q表示的代数式，再利用配方利用非负数性质求出最值．
(1)
解：∵，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．
∴①是神奇对称式，
∵，交换字母的位置，式子的值变相反数，
∴②不是神奇对称式，
∵，交换字母的位置，式子的值变倒数，
∴③不是神奇对称式，
∵交换字母的位置，式子的值不变，
∴④是神奇对称式；
①④符合神奇对称式的定义，②③交换字母的位置，式子的值会变故不符合神奇对称式的定义．
故答案为①，④；
(2)
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
，
故答案应为：；
②∵，
∴，
，
= ，
=，
=，
∵，
∴.
即q=±p，
（i）当时，
∴原式==.
（ii）当时，
∴原式==.
综上，的最小值为-2．
【点睛】
本题是一道综合性比较强的题，运用了整式的乘除法、根与系数关系，代数式的值，分式最值，根式化简，分式化简，完全平方数的性质等知识点；对新定义的公式的理解也是一项考点．难度相对较大．2·1·c·n·j·y
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