第17章一元二次方程单元测试卷（含答案）

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第17章 一元二次方程 单元测试卷（沪科版八年级下）
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 得分：__________
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题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
评分
一、单选题（共10题；每题4分，共40分，请将答案代号填写在下面表格内）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（　　） 21cnjy.com
A．x2+3x+4=0 B．x2+4x﹣3=0 C．x2﹣4x+3=0 D．x2+3x﹣4=0
2．关于x的一元二次方程x2+kx-2=0（k为实数）根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（ ）=（　　） 21·cn·jy·com
A． B．- C．4 D．﹣4
4．对于一元二次方程ax2+bx+c=0，有9a+3b+c=0和4a﹣2b+c=0成立，则的值为（　　）2·1·c·n·j·y
A．7 B．-7 C．5 D．-5
5．若m是方程 的一个根，设 ， ，则p与q的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p＝q
C．p＞q D．与c的取值有关
6．某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入4000万元，预计2022年投入6000万元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．4000（1+x）2=6000
B．4000x2=6000
C．4000（1+x%）2=6000
D．4000（1+x）+4000（1+x）2=6000
7．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则此三角形的周长是（　　） 2-1-c-n-j-y
A．12 B．14 C．15 D．12或14
8．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程bx2+x﹣k=0根的存在情况是（　 　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．抛物线 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围是（　 　） 【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
10．已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（　　） 【版权所有：21教育】
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
二、填空题（共4题；每题5分，共20分）
11．若方程 的一个根为 ，则 　 　.
12．已知m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则3mn+n+m的值为 　 　.
13．关于x的一元二次方程x2＋2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　．21*cnjy*com
14．反比例函数y＝ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋ ＝0的根的情况是 　 　．
三、（共2题；每题8分，共16分）
15．已知关于 的一元二次方程有 两个不相等的实数根，求k的取值范围.
16．试证明关于x的方程 无论a取何值，该方程都是一元二次方程；
四、（共2题；每题8分，共16分）
17．等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，求这个等腰三角形的周长。
18．解方程：
我们已经学习了一元二次方程的多种解法，如：因式分解法（十字相乘法是其中的一种），配方法和公式法等，请选择适当的方法解下列方程．www-2-1-cnjy-com
五、（共2题；每题10分，共20分）
19．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根.
20．已知：m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式5m2﹣5m+2022的值．
六、（本题12分）
21．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，并求出x的值.
解方程： （用“换元法”解）
解：设，则有. 原方程可化为：
续解：
七、（本题12分）
22．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．【出处：21教育名师】
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；21教育名师原创作品
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）21*cnjy*com
八、（本题14分）
23．如图，已知正方形 的对角线 ， 相交于点 ． 是 上的点，过点 作 ， 交线段 于点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ．且 。
①求证： ； ②当 时，求 的长。
答案解析
一、单选题（共10题；每题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B A A A C A C
二、填空题（共4题；每题5分，共20分）
11．【答案】 1或－2 12．【答案】 －9
13．【答案】 k ≥﹣1 14．【答案】 没有实数根
三—八题：（附后）
附：详细解析：
1．【答案】C
【解析】方程两根分别为x1=3，x2=1， 则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3
∴p=﹣4，q=3，∴原方程为x2﹣4x+3=0．故选C．
2．【答案】A
【解析】由题意，得△=+8 ∴△>0, ∴一元二次方程有两个实数根. 故答案为：A.
3．【答案】D
【解析】∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2， ∴ ，
∴则m2（ ）= = =﹣4． 故答案选D．
【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解题关键．
4．【答案】B
【解析】∵有9a+3b+c=0和4a﹣2b+c=0成立，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=3，x2=﹣2，
∵﹣=1，=﹣6，∴=+=﹣1+（﹣6）=﹣7．故选B．
5．【答案】A
【解析】∵m是方程 的一个根， ∴
∵ ， ，
∴ ，
∴p＜q 故答案为：A．
6．【答案】A
【解析】设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为：4000×（1+x）
2022的教育经费为：4000×（1+x）2．那么可得方程：4000（1+x）2=6000．故选A．
7．【答案】A
【解析】解方程x2﹣12x+35＝0得x＝5或x＝7，
当x＝5时，三角形三边长为3、4、5，此时三角形的周长为3+4+5＝12；
当x＝7时，三角形三边长为3、4、7，由于3+4＝7，不能构成三角形，此情况舍去.
故答案为：A.
8．【答案】C
【解析】观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0．
在方程bx2+x﹣k=0中，△=12﹣4b （﹣k）=1+4kb，
∵k＜0，b＜0， ∴kb＞0， ∴△=1+4kb＞0，
∴一元二次方程bx2+x﹣k=0有两个不相等的实数根． 故选C．
9．【答案】A
【解析】∵ 的对称轴为直线 ， ∴ ，∴ ，
∴一元二次方程 的实数根可以看做 与函数 的有交点，
∵方程在 的范围内有实数根，
当 时， ； 当 时， ，
函数 在 时有最小值2， ∴ ，故答案为：A．
【分析】也可用特殊值法结合逻辑判断得到答案。【来源：21·世纪·教育·网】
10．【答案】C
【解析】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数，
∴ 两根之和 与 两根之积 均为整数，
∵ 已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），a的值只能为1，
又∵ △=b2 4ac≥0 ，于是只有 b=4，c=3 符合题意。
（b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意）
当a=1，b=4，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；
因此，以1，3和此方程的所有解（仍然是1和3）为边长能构成的多边形为四边形。
有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
11．【答案】 或
【解析】解：若方程为一元一次方程，此时 ，此时解得 ，当 时，方程的解是 满足条件，当 时，方程的解是 不满足题意；
若方程为一元二次方程，此时 ，此时 ，此时将 代入方程可得 解得
综上所述，a=1或-2 故答案为： 或
【分析】分两种情况讨论：当方程为一元一次方程，得出，求出a的值，当方程为一元二次方程，把x=1代入方程求出a的值，即可得出答案.
12．【答案】-9
【解析】解：根据题意得m＋n＝ 3，mn＝ 2，
所以3mn+n+m＝3×（-2） 3＝-9. 故答案为：-9.
13．【答案】k ≥﹣1
【解析】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0， 解得k≥﹣1． 故答案为k≥﹣1．
14．【答案】没有实数根
【解析】解：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限， ∴a+4＞0， ∴a＞-4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12， ∴2xy＞12，
即a+4＞6，a＞2， ∴a＞2．
∴△=（-1）2-4（a-1）× =2-a＜0，
∴关于x的方程（a-1）x2-x+ =0没有实数根． 故答案为：没有实数根．
15．【答案】解：∵原方程是一元二次方程， ∴ ，解得 ；
∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ， 解得 ；
∴使原方程有两个不相等的实数根， 的取值范围为 且 .
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围. 21教育网
16．【答案】解：∵a2 8a+20=(a 4)2+4≥4，
∴无论a取何值，a2 8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程(a2 8a+20)x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2-8a+20不等于0即可．
17．【答案】解：解方程x2﹣5x+6＝0，得：x＝2或x＝3，
当2为腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；
当3为腰时，3+3＞2，可以构成三角形，周长为8.
18．【答案】解：第①个方程，解法如下：x（2x+1）=8x-3，整理得：2x2-7x+3=0，分解因式得：（2x-1）（x-3）=0，可得2x-1=0或x-3=0， 解得：x1= ，x2=3；
第②个方程，解法如下：x2-9=4（x-3），变形得，（x+3）（x-3）-4（x-3）=0，
因式分解得，（x-3）（x+3-4）=0，∴x-3=0或x+3-4=0，解得： x1=3，x2=1
19．【答案】解：根据题意得 ，解得 .
此时方程为 ，解得
【解析】【分析】根据题意可得△=0，据此求出m的值，得到方程，然后利用因式分解法求解即可得到方程的根.21·世纪*教育网
20．【答案】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：m2﹣m﹣1=0， 即m2﹣m=1，
所以5m2﹣5m+2022 = 5（m2﹣m）+2022 = 5+2022 = 2027．
【解析】【分析】本题考察整体求值的数学思想．
21．【答案】解：， ∴，，
∵， ∴，
则有，配方，得：，
解得：，
经检验：，是原方程的根.
22．【答案】解：（1）由题意，得
当0＜x≤5时， y=30．
当5＜x≤30时，
y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．
∴y= ；
（2）当0＜x≤5时， （32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，
当5＜x≤30时， [32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，
解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．
答：该月需售出10辆汽车．
【解析】【分析】（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；21世纪教育网版权所有
（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
23．【答案】①证明∵OD=OC,∠DOG=∠COE=90°.
又OE=OG. ∴△DOG≌△COE（SAS）. ∴∠ODG=∠OCE.
②解：设CH=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1， ∴BH=1-x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°
∵EH⊥BC，∴∠BEH=∠EBH=45°， ∴EH=BH=1-x
∵∠ODG=∠OCE， ∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE， ∴∠HDC=∠ECH
∵EH⊥BC， ∴∠EHC=∠HCD=90°， ∴△CHE∽△DCH
∴=， ∴HC2=EH·CD， 得x2+x-1=0，
解得x1=, x2= （舍去）， ∴HC=.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定ASA和性质即可.
（2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论.
②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定于性质可得=,然后列方程求解即可.
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