第18章平行四边形（基础篇）单元测试卷（含解析）

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第18章 平行四边形（基础篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
2．如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐变小
C．线段EF的长不变 D．无法确定
5．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
7．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．22.5° B．25° C．23° D．20°
8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（　　）
A．∠B＝90° B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
9．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．（－3，1） B．（4，1） C．（－2，1） D．（2，－1）
10．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　 　）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
12．求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点．
求证：．
以下是排乱的证明过程：①又，
②∴，即．
③∵四边形是菱形，
④∴．
证明步骤正确的顺序是( )
A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．
14．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．
15．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________．
16．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__．
17．如图，的对角线与相交于点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点，若，则线段的长为_______.
18．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为_________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
20．（8分）如图，平行四边形中，，，、分别是、上的点，且，连接交于．
（1）求证：；
（2）若，延长交的延长线于，当，求的长．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．
22．（10分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
23．（12分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
24．（12分）在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）.通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F.
【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得FG=FD．
【探究】如图2，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由.
【应用】在图2中，当AB=5，BE=3时，利用探究结论，求FG的长.
参考答案
1．D
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．
解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
2．C
【分析】先证△ABO≌△AFO得到OB的长度，再用勾股定理求AO的长，再证△AOF≌△EOB，从而得到AE=2AO，即可求得AE的长．
解：设AG与BF交点为O，如图所示：
∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,
∴△ABO≌△AFO,
∴BO=FO，∠AOB=∠AOF=90 ，
∵BF＝6
∴BO=FO=BF＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
在 ABCD中，AF∥BE,
∴∠FAO=∠BEO
又∵BO=FO，∠AOB=∠AOF
∴△AOF≌△EOB,
∴AO=EO,
∴AE=2AO=8，
故选C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理及用尺规作图的方法画角平分线．
3．C
【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
解：A．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意；
B．根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故选项正确，不符合题意；
C．一组对边平行，另一组对边相等不能判断这个四边形是平行四边形，故选项错误，符合题意；
D． 如图，
∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．
4．C
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．
解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．掌握三角形的中位线定理是解题关键．
5．C
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．
解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝4．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得：a＝3，
∴8﹣a＝5．
故选C．
【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
6．D
【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
解：记AC与BD的交点为，
菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．
【点拨】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
7．A
【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，
则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
考点：正方形的性质．
8．A
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或有一内角为直角即可．
解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：对角线相等（AC＝BD）或有一个内角等于90°．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理与矩形的判定定理．掌握对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．
9．A
解：因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1、 ABOC2、 AOC3B．根据平行四边形的性质，可知B、C、D正好是C1、C2、C3的坐标，
故选A．
10．D
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
【点拨】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
11．A
∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴ABCD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
故选A.
12．B
试题分析：根据菱形的性质，首先得到AB=AD和BO=DO，再根据等腰三角形的“三线合一”证明⊥BD，故答案选B.
考点：菱形的性质，等腰三角形的性质.
13．5
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5.
考点：直角三角形斜边上的中线．
14．20
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴ ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为20．
考点：平行四边形的性质．
15．36°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°－72°＝36°；
故答案为36°．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
16．5．
试题分析：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案为5．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．
17．4.
【分析】连接和,根据全等三角形的判定与性质及中位数定理即可求解.
连接和,因为,,,所以,所以，,所以,又因为是中点，所以是△的中位线，所以,所以.
【点拨】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及中位线的应用.
18．1
试题分析：根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，则周长=（7+4+5）×=1．
考点：三角形中位线的性质．
19．（1）详见解析；（2）.
试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF，即可得出结果．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×2=4．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
20．（1）详见解析；（2）3
【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；
（2）证出AE＝GE，再证明DG＝DO，得出OF＝FG＝1，即可得出结果．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴
在与中，
∵
∴
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由（1）可知，
∴
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
21．（1）见解析；（2）96
【分析】（1）根据菱形的性质结合已知条件即可得证；
（2）由（1）所得结合菱形的性质计算出、的长度，再计算面积即可．
解：（1）证明：∵，，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形AEBO为矩形；
（2）∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝8，
∴，
∴，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝．
【点拨】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理；掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）AB=BC
【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；根据四边形ABCD是平行四边形，AB=BC即可得出四边形ABCD是菱形，再由（1）可知四边形AMCN是矩形；从而得出结论；
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵ AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴AC⊥MN，
由（1）可知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
【点拨】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；
23．(1)证明见解析；(2)四边形EFGH是平行四边形，理由见解析；(3)四边形EFGH的周长一半大于或者等于矩形ABCD一条对角线长度，理由见解析.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得FE=HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；
（3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴在与中，，
∴；
(2)∵由(1)知，，则，同理证得，则，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(3) 四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．
连接AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
∴四边形AEG′C为平行四边形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
【点拨】考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
24．【探究】FG=FD；【应用】.
试题分析：【探究】连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．
【应用】设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，在RT△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．
【探究】猜想FD=FG．
连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
，
∴△AGF≌△ADF．
∴FG=FD；
【应用】设GF=，则CF=5-，则EF=+3
在△ECF中由勾股定理得，，解得
∴FG的长为．
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