8.6.3　平面与平面垂直第二课时　平面与平面垂直的性质练习题（word含解析）

第二课时　平面与平面垂直的性质
一、选择题
1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
2.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是(　　)
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A.4 B.3
C.2 D.1
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)
A.平行 B.EF 平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
4.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
5.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　)
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆，但要去掉两个点
二、填空题
6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是________.
7.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形.
8.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
三、解答题
9.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.
求证：BF⊥平面ACFD.
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.
求证：(1)AB⊥平面BCD；
(2)平面ACD⊥平面ABD.
11.(多选题)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是(　　)
A.若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
B.若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α
C.若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
D.若α⊥β，m∥α，则m⊥β
12.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.
13.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积.
14.(多选题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有(　　)
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
参考答案
1答案　C
解析　因为α∩β＝l，所以l β，又n⊥β，所以n⊥l.
2答案　C
解析　①设α∩β＝l，a α，b β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.
3答案　D
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF 面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.
4答案　B
解析　∵PA＝PB，AD＝DB，
∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，PD 平面PAB，
∴PD⊥平面ABC.
5答案　D
解析　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC 平面PBC，
∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
6答案　平行
解析　∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，
∴AA1∥EF.
7答案　直角
解析　设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形.
8答案　
解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA 平面PAC，
∴PA⊥平面ABC，
又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝.
9证明　延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC 平面ABC，
所以AC⊥平面BCK，又BF 平面BCK，因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
又CK∩AC＝C，CK，AC 平面ACFD，
所以BF⊥平面ACFD.
10证明　(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，
∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，
∴AB⊥平面BCD.
(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，
∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD.
∵AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
又∵CD 平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD.
11答案　AC
解析　根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m α时，只可能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m β或m与β相交，不正确.故选AC.
12答案　
解析　取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG 平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，又NG 平面DCEF.
可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
13(1)证明　∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面BGC，
∴AD⊥平面BGC.
又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
(2)解　在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，∴h＝.
在△BCD中，BF＝BD·cos 60°＝2×＝1，
DF＝BD·sin 60°＝，∴DC＝2，
故S△DCB＝BF·DC＝×1×2＝.
∴VD－BCG＝VG－BCD＝S△DCB·h＝××＝.
14答案　AC
解析　由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG.同理GF⊥平面GSE，所以平面EFG，SFG，SEG两两垂直，所以选项A，C正确.
若SE⊥平面EFG，则SE⊥EG，这与SG⊥EG矛盾.
同理可知EF⊥平面SEG不正确，所以B，D不正确.