8.6.3　平面与平面垂直第一课时　平面与平面垂直的判定练习题（word含解析）

8.6.3　平面与平面垂直
第一课时　平面与平面垂直的判定
一、选择题
1.直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A.平行 B.可能重合
C.垂直 D.相交不垂直
2.下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(　　)
A.①③ B.②④
C.③④ D.①②
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是(　　)
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D.若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(　　)
A. B.
C. D.
5.如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论不正确的是(　　)
A.平面VAC⊥平面ABC B.平面VAB⊥平面ABC
C.平面VAC⊥平面VBC D.平面VAB⊥平面VBC
6.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有________对平面与平面垂直(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题
7.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为________.
8.已知△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－D1C1－C的大小为________，二面角A－D1C1－C的大小为________.
10.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.
11.(开放题)α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.
三、解答题
12.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
证明：平面ACD⊥平面ABC.
13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.
(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
14如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC.
(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－BD－A的余弦值.
参考答案
1答案　C
解析　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直.
2答案　B
解析　由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B.
3答案　B
解析　A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C不正确；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确.故选B.
4答案　C
解析　如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设A1A＝a，则AO＝a，所以tan ∠A1OA＝＝.
5答案　C
解析　由题设VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，
∴VA⊥平面ABC，又VA 平面VAB，VA 平面VAC.
∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确；
又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，
∴BC⊥平面VAB，又BC 平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，故D正确，故选C.
6答案　C
解析　由PA⊥平面ABC，PA 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC.
同理，平面PAC⊥平面ABC.
又AC⊥BC，BC⊥PA，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，由BC 平面PBC，从而平面PBC⊥平面PAC，故图中相互垂直的平面有3对.
7答案　60 °
解析　正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角的大小为60°.
8答案　平面PBC⊥平面ABC
解析　因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
9答案　90°　45°
解析　如图，连接AD1，BC1，
∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1⊥平面DCC1D1，
∴二面角A1－D1C1－C的大小为90°.
又D1C1⊥平面BCC1B1，∴D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角A－D1C1－C的平面角，故二面角A－D1C1－C的大小为45°.
10答案　
解析　如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l，则∠ACO为二面角α－l－β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角.
设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.
由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.
11答案　①③④ ②
解析　m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α.
∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.
故答案为①③④ ②.
12证明　由题设可得
△ABD≌△CBD.从而AD＝CD.
又△ACD为直角三角形，
所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO，
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角.
在Rt△AOB中，BO2＋OA2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，所以平面ACD⊥平面ABC.
13证明　(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，
得A1B1∥AB.
因为A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，
所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1 平面BCC1B1，
BC 平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B.
所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
14(1)证明　取AB中点O，连接OD，OC，则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C－AB－D的平面角，
设AC＝a，则OC＝OD＝a，又CD＝AD＝AC，
∴CD＝a，∴△COD是直角三角形，即∠COD＝90°，
∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
(2)解　如图所示，取BD的中点E，连接CE，OE，OC.
∵△BCD为等边三角形，∴CE⊥BD.
∵△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角C－BD－A的平面角.
由(1) 可证得OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE，
∴△OEC为直角三角形，∠EOC＝90°.
设BC＝b，得CE＝b，OE＝b，
∴cos∠OEC＝＝，
故二面角C－BD－A的余弦值为.