2021-2022学年苏科版八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形单元整合练习题（基础）（Word版含答案）

第9章 中心对称图形—平行四边形 单元整合练习题（基础）
2021-2022学年苏科版八年级数学下册
一、选择题
1、（2020秋 盘龙区期末）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2、（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC
3、（2020秋 朝阳区校级月考）如图，在 ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为14cm，则 ABCD的周长为（　　）
A．14cm B．28cm C．10cm D．20cm
4、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
5、如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，且，则的度数为　　
A． B． C． D．
6、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
7、如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
8、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
9、（2020春 温州期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值为（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
10、如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
11、（2021·山东泰安市·九年级期末）如图：在中，点分别是的中点，连接，如果那么的周长是___．
12、（2019 达州）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为　 　．
13、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.
14、（2021春 崇川区期末）已知菱形中，，连接，则等于　　
A． B． C． D．
15、（2020春 滨湖区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足　 　时，四边形EGFH是菱形．
16、（2020春 常州期中）如图，正方形中，点、分别是、边上的点，且，垂足为点，的面积为，则图中阴影部分的面积为　　．
17、（2020春 曲阜市期末）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为　　．
18、如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则　　．
三、解答题
19、如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
20、如图所示平行四边形中，分别是边，上的点，且．
（1）求证：；
（2）连结，若，，求的度数．
21、（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．
22、（2020春 蔡甸区期中）如图，已知E，F是四边形ABCD的对角线BD的三等分点，CE，CF的延长线分别平分AB，AD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
23、如图，将的边延长至点，使，连接，，，交于点
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形．
24、（2020春 博白县期末）如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若AF＝10，求AE的长．
25、如图，在中，，是上任一点，且．
（1）若平分，求证：；
（2）若，且在中点时，试判断四边形的形状，并说明你的理由．
26、（2020 朝阳区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
27、（2020 官渡区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．
第9章 中心对称图形—平行四边形 单元整合练习题（基础）
2021-2022学年苏科版八年级数学下册（解析）
一、选择题
1、（2020秋 盘龙区期末）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【点拨】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解析】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；
②是中心对称图形，故本选项符合题意；
③不是中心对称图形，故本选项不合题意；
④是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2、（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B．
3、（2020秋 朝阳区校级月考）如图，在 ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为14cm，则 ABCD的周长为（　　）
A．14cm B．28cm C．10cm D．20cm
【点拨】先根据AC＝4cm，△ACD的周长为14cm得出AD+CD＝10cm，再结合四边形ABCD是平行四边形知AB＝CD、BC＝AD，从而得出答案．
【解析】解：∵△ACD的周长为14cm，即AD+CD+AC＝14cm，且AC＝4cm，
∴AD+CD＝10cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD、BC＝AD，
则 ABCD的周长为AB+BC+AD+CD＝10+10＝20（cm），
故选：D．
4、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理，利用勾股定理求得AD的长是解题的关键．
先依据菱形的性质求得OA、OD的长，然后依据勾股定理可求得AD的长，最后依据三角形中位线定理求的EF的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3．
在Rt△AOD中，依据勾股定理可知：AD＝＝＝5．
∵点E，F分别为AO，DO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝AD＝2.5；
故选：A．
5、如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，且，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解析】，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到△，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
6、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD.∴△OAB是等腰三角形.
∵∠AOB=60° ，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA.
∵AB=2，AB=OA，∴OA=2.
∵OA=OC，OA=2，∴AC=4.
故选B.
7、如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；
B、AB∥CD，AB＝CD，可以判定为平行四边形，又有AB⊥AD，可判定为矩形，故此选项错误；
C、AO＝BO，CO＝DO，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；
D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误．
故选：C．
8、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
【思路点拨】由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形ABCD是菱形．
【答案】解：需要添加的条件是AB＝BC；
理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故选：D．
9、（2020春 温州期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值为（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【思路点拨】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【答案】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，∴BC＝＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，
∴OP＝＝4.8，∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
10、如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【点拨】证明△ABF≌△DAE得BF＝AF，AF＝DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BF⊥AM，∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，
∵DE⊥AM，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE＝1，
设BF＝AE＝x，则EF＝x﹣1，
∵四边形ABED的面积为6，∴，即，
解得：x＝﹣4（舍）或x＝3，∴BF＝3，
故选：B．
二、填空题
11、（2021·山东泰安市·九年级期末）如图：在中，点分别是的中点，连接，如果那么的周长是___．
【答案】30
【分析】根据三角形的中位线性质，求出AC的长，再求出ΔABC的周长．
【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，∴DE是ΔABC的中位线，∴ DE=AC ，
∵ DE=2.5 ，∴ AC=5 ，∵ AB=13 ， BC=12 ，∴ C△ABC=AB+BC+AC=13+12+5=30．故答案为：30.
12、（2019 达州）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为　 　．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
根据平行四边形的性质可得BO＝DO＝BD，进而可得OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出BC＝2OE，再根据平行四边形的性质可得AB＝CD，从而可得△BCD的周长＝△BEO的周长×2．
【解析】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，∴O为BD中点，
∵点E是AB的中点，∴AB＝2BE，BC＝2OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴CD＝2BE．
∵△BEO的周长为8，∴OB+OE+BE＝8，
∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，∴△BCD的周长是16，
故答案为16．
13、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.
【答案】2
【考点】三角形中位线定理，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=8，
又∵矩形对角线的交点等分对角线，
∴OD=4，
又∵在△AOD中，EF为△AOD的中位线，
∴EF=2．
故答案为2．
14、（2021春 崇川区期末）已知菱形中，，连接，则等于　　
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质可得，，即可求解．
【解析】菱形中，，
，，
，
故选：．
15、（2020春 滨湖区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足　 　时，四边形EGFH是菱形．
【思路点拨】本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG＝HF，因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH＝CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG＝EH，那么就需要AB、CD满足AB＝CD的条件．
【答案】解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝AB，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG＝AB，又可同理证得EH＝CD，
∵AB＝CD，∴EG＝EH，∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB＝CD．
16、（2020春 常州期中）如图，正方形中，点、分别是、边上的点，且，垂足为点，的面积为，则图中阴影部分的面积为　　．
【分析】证明得到，两个三角形的面积都减去的面积得到图中阴影部分的面积．
【解析】四边形为正方形，，，
，，
，，
在和中，，，
图中阴影部分的面积．
故答案为．
17、（2020春 曲阜市期末）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为　　．
【点拨】证明△AOE≌△BOF（ASA），得出△AOE的面积＝△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1即可．
【解析】解：∵四边形ABD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；
故答案为：1．
18、如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则　　．
【分析】首先可判断四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，则可判断四边形是菱形，设，则，，在中利用勾股定理可求出的值．
【解析】，，四边形是平行四边形，
，，
又点是中点，，四边形是菱形，
设，则，，
在中，，
，即，解得：，即．
故答案是：5．
三、解答题
19、如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【答案】（1）△AB 1C 1如图所示；见解析；（2）△A 2B 2C 2如图所示；见解析．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；
（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【详解】（1）△AB 1C 1如图所示；
（2）△A 2B 2C 2如图所示．
20、如图所示平行四边形中，分别是边，上的点，且．
（1）求证：；
（2）连结，若，，求的度数．
【解】：（1）证明：在平行四边形中，，，
，
，
四边形是平行四边形
．
（2），
．
21、（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】连接AC，根据三角形的中位线定理得到，，同理推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形
【详解】证明：连接AC．
是DC的中点，H是AD的中点，，且，
同理可知，且，，且，四边形是平行四边形．
22、（2020春 蔡甸区期中）如图，已知E，F是四边形ABCD的对角线BD的三等分点，CE，CF的延长线分别平分AB，AD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】连接AC交BD于O，连接AE，AF，首先证得四边形AFCE是平行四边形得到AO＝OC，然后证出OB＝OD，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可．
【解答】证明：连接AC交BD于O，连接AE，AF，如图所示：
∵G是AB中点，BE＝EF∴GE是△ABF的一条中位线，∴EG∥AF，即CE∥AF，
同理：CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵BE＝DF，∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23、如图，将的边延长至点，使，连接，，，交于点
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形．
【证明】：（1）四边形是平行四边形
，
，且，
（2）四边形是平行四边形
，，且
，，
四边形是平行四边形，
，
又，
是矩形
24、（2020春 博白县期末）如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若AF＝10，求AE的长．
【点拨】（1）由正方形的性质可得∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，由余角的性质可得∠BAE＝∠CBF，可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF；
（2）由勾股定理可求DF＝6，可得FC＝2，由勾股定理可求AE＝BF＝2．
【解析】证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AF＝10，AD＝8，
∴DF＝＝＝6，
∴CF＝8﹣6＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴AE＝2．
25、如图，在中，，是上任一点，且．
（1）若平分，求证：；
（2）若，且在中点时，试判断四边形的形状，并说明你的理由．
【解】：（1）证明：，．
又平分，．
．；
（2）四边形是正方形，理由如下：
，是 的中点，，即．
又，．．
又且是的中点，．．
，四边形是平行四边形．
，四边形是正方形．
26、（2020 朝阳区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；
（2）由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，
∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，
∵AD∥BC，∴∠CEG＝∠G＝30°，
∵AE⊥BC，AD∥BC，∴∠EAG＝90°，且∠G＝30°，∴EG＝2AE＝4．
27、（2020 官渡区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．
【点拨】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，先由角平分线的性质得出EG＝EA，再证Rt△ADE≌Rt△GDE（HL）得AD＝GD＝6，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，OC＝5，∴∠BAD＝90°，BD＝AC＝2OC＝10．
在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝10，∴AD＝＝＝6，
∵∠DAB＝90°，∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的平分线，EG⊥BD，∴EG＝EA，∠EGB＝90°．
在Rt△ADE和Rt△GDE中，，∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL），∴AD＝GD＝6，
∴BG＝BD﹣GD＝10﹣6＝4，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：BE2＝EG2+BG2，即（8﹣AE）2＝AE2+42，解得：AE＝3．